兩階段單純形法在馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)優(yōu)化問題中的應(yīng)用

兩階段單純形法在馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)優(yōu)化問題中的應(yīng)用

關(guān)于馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)優(yōu)化問題本文的發(fā)展思想和馬克思的理論和方法對研究經(jīng)濟活動規(guī)律具有重要的理論指導(dǎo)作用。馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)模型的具體結(jié)構(gòu),形成了對馬克思擴大再生產(chǎn)問題進行優(yōu)化的條件;《資本論》中大量的舉例,提供了對馬克思擴大再生產(chǎn)問題進行優(yōu)化的豐富的背景素材(馬克思,2004)。研究解決馬克思擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題,對于推進馬克思主義經(jīng)濟學(xué)的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化以及對現(xiàn)實經(jīng)濟宏觀調(diào)控的指導(dǎo),都具有重要的理論意義。已經(jīng)有某些學(xué)者研究馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題并得出一些結(jié)果,譬如陶為群和韋生瓊(1987)就該問題建立了一個線性規(guī)劃模型,并引用和借鑒《資本論》中的一個舉例,給出了此模型的最優(yōu)解。陶為群和陶川(2010)研究馬克思的兩大部類再生產(chǎn)模型時指出,該模型中以每個部類的資本有機構(gòu)成、剩余價值率、兩部類間的比例參數(shù)共同構(gòu)成完整的結(jié)構(gòu)參數(shù)。如果針對完全用這些結(jié)構(gòu)參數(shù)而不用具體數(shù)值表現(xiàn)的,最一般情形的馬克思擴大再生產(chǎn)模型,能夠建立一個多參數(shù)線性規(guī)劃模型,并獲得其最優(yōu)解,就相當于獲得任何數(shù)值型的馬克思擴大再生產(chǎn)線性規(guī)劃模型的全部解。本文針對馬克思再生產(chǎn)模型的具體結(jié)構(gòu),以馬克思《資本論》第二卷第二十一章中的舉例作為背景素材,建立馬克思擴大再生產(chǎn)模型的多參數(shù)線性規(guī)劃,并運用兩階段單純形法,求得全部最優(yōu)解。一、兩個學(xué)科的馬克思擴大生產(chǎn)模式的特殊結(jié)構(gòu)和線性規(guī)劃模型1.馬克思的和諧觀是其價值構(gòu)成原理的具體描述,其模型所體現(xiàn)的本質(zhì)馬克思的兩大部類擴大再生產(chǎn)模型劃分了不變資本和可變資本,它們的價值實現(xiàn)在實物上分別對應(yīng)于生產(chǎn)資料和消費資料兩個部類。模型設(shè)定各部類的資本有機構(gòu)成和剩余價值率不變,也就是設(shè)定在全社會擴大再生產(chǎn)過程中,每個部類的邊際資本有機構(gòu)成和邊際剩余價值率分別等于資本有機構(gòu)成和剩余價值率,這樣就構(gòu)建了一個特別的兩部類經(jīng)濟模型。陶為群和陶川(2010)指出該模型具有下述的特殊結(jié)構(gòu):以C和V分別表示不變資本、可變資本,M表示剩余價值,Y表示新創(chuàng)造價值;以h=C/V表示資本有機構(gòu)成,e表示剩余價值率,Mx表示企業(yè)所有者把剩余價值中用于自身消費的部分;分別用下標Ⅰ、Ⅱ表示生產(chǎn)資料部類和消費資料部類。那么,在每個部類內(nèi)部,不變資本、可變資本、剩余價值、新創(chuàng)造價值之間具有確定的關(guān)系,如式(1)。{Cj=hj1+ejYjVj=11+ejYjΜj=ej1+ejYjj=Ⅰ?Ⅱ(1)由于每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系,已經(jīng)在式(1)中寫明的各部類資本有機構(gòu)成、剩余價值率、剩余價值積累率這些參數(shù)固定,因而兩個部類之間任一個對應(yīng)部分之間的比例關(guān)系都足以表現(xiàn)整個部類之間的比例關(guān)系。為便于和現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟模型溝通,可以用兩個部類新創(chuàng)造價值之間的比例關(guān)系YⅡ/YⅠ,從總體上反映兩個部類之間的比例關(guān)系。于是,馬克思的兩大部類擴大再生產(chǎn)模型的特殊結(jié)構(gòu),就被完整地刻畫出來。馬克思再生產(chǎn)理論包含了價值構(gòu)成原理和實物構(gòu)成原理,把總產(chǎn)品的價值劃分成不變資本、可變資本、剩余價值三個部分,是價值構(gòu)成原理的體現(xiàn);而兩部類間的比例關(guān)系YⅡ/YⅠ,則是實物構(gòu)成原理的一種具體體現(xiàn)。2.中國馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)模型的優(yōu)化問題對確定了含義的字母前面加符號Δ表示增量。第j部類的剩余價值Mj(j=Ⅰ,Ⅱ)用于本部類的積累和企業(yè)所有者自身消費。由于每個部類的邊際有機構(gòu)成與有機構(gòu)成相同,j部類的積累分解為ΔCj和ΔVj兩個部分時,兩者間的關(guān)系與式(1)表明的Cj和Vj關(guān)系相同,即ΔCj=hjΔVj。因而在擴大再生產(chǎn)狀況下,對于剩余價值的使用存在關(guān)系如式(2):ΔCⅠ和ΔCⅡ同時為0對應(yīng)的是沒有積累即簡單再生產(chǎn)狀況。第Ⅰ部類的總產(chǎn)品CⅠ+YⅠ的實物是生產(chǎn)資料,扣除補償本部類和第Ⅱ部類的生產(chǎn)資料消耗CⅠ和CⅡ,剩余的YⅠ-CⅡ都必然用于本部類和第Ⅱ部類新增生產(chǎn)資料ΔCⅠ和ΔCⅡ。因此就存在關(guān)系如式(3):所以馬克思兩部類擴大再生產(chǎn)問題,等價于在約束條件式(2)、式(3)下求解一組ΔCⅠ和ΔCⅡ的匹配。只要兩部類間的比例YⅡ/YⅠ取值處于適當區(qū)間,也就是符合實物構(gòu)成原理,此問題存在無窮多個解。由于每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系固定不變,在擴大再生產(chǎn)狀況下,下一年相對于本年第j部類(j=Ⅰ,Ⅱ)新增的新創(chuàng)造價值ΔYj與新增生產(chǎn)資料ΔCj間的關(guān)系與式(1)表明的Yj與Cj的關(guān)系相同。所以,兩個部類新增的新創(chuàng)造價值總和是:ΔYⅠ+ΔYⅡ=1+eⅠhⅠΔCⅠ+1+eⅡhⅡΔCⅡ(4)而任何一組馬克思的兩大部類擴大再生產(chǎn)問題的解ΔCⅠ和ΔCⅡ的匹配,都能形成兩個部類新增的新創(chuàng)造價值總和的一個具體數(shù)值?，F(xiàn)在,對于馬克思的兩大部類擴大再生產(chǎn)模型增加一個目標函數(shù),把兩個部類新增的新創(chuàng)造價值總和最大化,作為最一般的目標函數(shù),就構(gòu)成了馬克思的兩大部類擴大再生產(chǎn)模型的優(yōu)化問題。目標函數(shù)是:Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅠhⅠΔCⅠ+1+eⅡhⅡΔCⅡ(5)對這一優(yōu)化問題求解,即在式(2)、式(3)表示的約束條件下,求出滿足目標函數(shù)式(5)的一組ΔCⅠ、ΔCⅡ和MxⅠ、MxⅡ。這一優(yōu)化問題具有標準的線性規(guī)劃形式,但是當中目標函數(shù)的價值系數(shù)中含有各部類的資本有機構(gòu)成、剩余價值率參數(shù);約束條件式(2)、式(3)的技術(shù)系數(shù)中也含有各部類的資本有機構(gòu)成參數(shù);約束條件右端常數(shù)項是各部類的剩余價值,也是以參數(shù)而不是數(shù)值形式出現(xiàn)。所以,這一優(yōu)化問題是一個含有多個參數(shù)的線性規(guī)劃,與典型的、僅僅是在目標函數(shù)中的價值系數(shù)或者約束條件右端常數(shù)項之中含有單一參數(shù)的參數(shù)線性規(guī)劃有所不同。不過,目標函數(shù)值也是隨著價值系數(shù)和約束條件右端常數(shù)項的連續(xù)變動而呈線性變動,因而同樣能夠運用單純形法求解。二、目標函數(shù)中的價值系數(shù)下面運用兩階段單純形法求解。記z1=ΔCⅠ,z2=ΔCⅡ,z3=MxⅠ,z4=MxⅡ,引入人工變量z5。約束條件式(2)、式(3)可表示成:{z1+z2+z5=YⅠ-CⅡ1+hⅠhⅠz1+z3=ΜⅠ1+hⅡhⅡz2+z4=ΜⅡzj≥0j=1,?,5并且z1?z2不同時為0(6)在第一階段,設(shè)目標函數(shù)是:Μin(z5)(7)以zj表示線性規(guī)劃模型中的各個變量(j=1,…,5),dj表示變量zj在目標函數(shù)中的價值系數(shù),σj表示zj的檢驗數(shù),b表示約束方程組右端的常數(shù),zB表示在單純形法求解過程中的基變量。于是獲得初始單純形表(見表1)。表1中,z5、z3、z4三個變量是初始基變量?，F(xiàn)在要在第一階段,按照θ法,對表1做基變換。因為對于表1中所含的約束方程,在所涉數(shù)值的相對大小關(guān)系不同時,要選取的換入基變量和換出變量也不同,所以首先必須明確所涉數(shù)值的相對大小關(guān)系。在擴大再生產(chǎn)狀況下,ΔCⅠ和ΔCⅡ不同時為0?！顿Y本論》中指出擴大再生產(chǎn)的一個必要條件是VⅠ+MⅠ>CⅡ,即YⅠ-CⅡ>0。根據(jù)在式(1)中寫明的每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系,這個必要條件體現(xiàn)在兩個部類之間的比例上,即:在兩個部類之間的比例滿足式(8)的前提下,當且僅當式(9)成立:hⅠ1+eⅠ≥eⅡ/(1+hⅡ)eⅠ/(1+hⅠ)(9)根據(jù)式(1)表明的每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系,使得:hⅡ1+hⅡΜⅡ<hⅠ1+hⅠΜⅠ(10)因為通常式(9)是成立的,所以現(xiàn)在把式(10)作為求最優(yōu)解過程中的一個假定條件。根據(jù)式(1),第j部類(j=Ⅰ,Ⅱ)的資本利潤率是Mj/(Cj+Vj)=ejVj/(hjVj+Vj)=ej/(1+hj),所以式(9)右端體現(xiàn)的是兩個部類的資本利潤率相對高低關(guān)系。至此,首先確定式(8)和式(10)是求解馬克思擴大再生產(chǎn)模型的多參數(shù)線性規(guī)劃所需的兩部類間比例條件。三、原問題的基因條件分析在假定條件式(10)之下,由于在YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ?hⅡ1+hⅡΜⅡ≤YⅠ-CⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ?hⅠ1+hⅠΜⅠ≤YⅠ-CⅡ三種不同的情形下,對表1做基變換時,是選取不同的換入基變量和換出變量,因而最終有不同的計算結(jié)果。而這三種不同的情形,恰好對應(yīng)著兩個部類之間的比例YⅡ/YⅠ取值,處于三個不同的區(qū)間。所以,下面區(qū)別這三種不同的情形,分別求出最優(yōu)解。1.兩大部類間的比例是(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ<1+eⅡhⅡ情形的最優(yōu)解在YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ情形下,將式(1)標明的每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系以及擴大再生產(chǎn)的必要條件式(8)代入此情形下不等式,得出兩個部類之間的比例是:(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ<1+eⅡhⅡ(11)《資本論》第二卷第二十一章中所舉第一例的起始年份數(shù)值就屬于此種情形。在第一階段對表1做基變換,按照θ法,此情形下取z1作為換入基變量,z5為換出變量。得到計算結(jié)果見表2。從表2看到,非基變量z2、z5的檢驗數(shù)σ2和σ5都大于或等于0,所以獲得第一階段的最優(yōu)解Μin(z5)=0;因人工變量z5=0,所以原問題有基本可行解。于是可以開始第二階段的計算。將表2中的人工變量z5所在列劃掉,并換成原問題的目標函數(shù),將z1、z2的價值系數(shù)分別換成(1+eⅠ)/hⅠ和(1+eⅡ)/hⅡ構(gòu)成原問題的初始單純形表(見表3)。原問題的目標函數(shù)為:Μax{1+eⅠhⅠz1+1+eⅡhⅡz2}=1+eⅠhⅠz1+1+eⅡhⅡz2(12)由于表3中含有4個變量、3個約束等式,所以在最優(yōu)解存在的情形下,必然有3個基變量和1個非基變量。從表3看到,如果hⅠ/(1+eⅠ)≤hⅡ/(1+eⅡ),非基變量z2的檢驗數(shù)σ2是負數(shù)或0,那么原問題已經(jīng)獲得最優(yōu)解。最優(yōu)解是z1=YⅠ-CⅡ?z2=0?z3=ΜⅠ-1+hⅠhⅠ(YⅠ-CⅡ)?z4=ΜⅡ;目標函數(shù)值為Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅠhⅠ(YⅠ-CⅡ)。如果hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ,則需要對表3繼續(xù)施行基變換,取z2作為換入基變量。按照θ法,在已知YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ情形下,z1為換出變量。得到計算結(jié)果是非基變量z1的檢驗數(shù)σ1=(1+eⅠ)/hⅠ-(1+eⅡ)/hⅡ是負數(shù),所以原問題已經(jīng)獲得最優(yōu)解。最優(yōu)解是z1=0?z2=YⅠ-CⅡ?z3=ΜⅠ?z4=ΜⅡ-1+hⅡhⅡ(YⅠ-CⅡ);目標函數(shù)值為Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅡhⅡ(YⅠ-CⅡ)。2.兩大部類間的比例是11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)≤YⅡYⅠ≤(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)情形的最優(yōu)解在hⅡ1+hⅡΜⅡ≤YⅠ-CⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ情形下,將式(1)表明的每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系代入此情形不等式,得出兩個部類之間的比例是:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)≤YⅡYⅠ≤(1+eⅡhⅡ)11+eⅡ/(1+hⅡ)(13)《資本論》第二卷第二十一章中所舉第二例的起始年份數(shù)值就屬于此情形。在第一階段對表1做基變換,按照θ法,此情形下仍然取z1作為換入基變量,z5為換出變量,得到計算結(jié)果(見表2和表3)。如果hⅠ/(1+eⅠ)≤hⅡ/(1+eⅡ),就獲得與在YⅠ-CⅡ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ≤hⅠ1+hⅠΜⅠ情形下完全相同的最優(yōu)解。而如果hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ,則需要對表3繼續(xù)施行基變換,按照θ法,取z2作為換入基變量,z4為換出變量。計算結(jié)果見表4。從表4看到,因為hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ,非基變量z4的檢驗數(shù)σ4=hⅡ1+hⅡ(1+eⅠhⅠ-1+eⅡhⅡ)是負數(shù),所以已經(jīng)獲得最優(yōu)解。最優(yōu)解是:z1=(YⅠ-CⅡ)-hⅡ1+hⅡΜⅡ?z2=hⅡ1+hⅡΜⅡ?z3=ΜⅠ-1+hⅠhⅠ[(YⅠ-CⅡ)-hⅡ1+hⅡΜⅡ]?z4=0。目標函數(shù)值為Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅠhⅠ(YⅠ-CⅡ)+hⅠ(1+eⅡ)-hⅡ(1+eⅠ)hⅠ(1+hⅡ)(1+eⅡ)eⅡYⅡ。3.兩大部類間的比例是11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ≤11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)情形的最優(yōu)解在hⅠ1+hⅠΜⅠ≤YⅠ-CⅡ情形下,將式(1)表明的每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系代入此情形不等式,得出此兩個部類之間的比例關(guān)系是:YⅡYⅠ≤11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)(14)在第一階段對表1做基變換,按照θ法,取z1作為換入基變量,則z3為換出變量。計算結(jié)果見表5。繼續(xù)對于表5做基變換。如果:(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ≤hⅡ1+hⅡΜⅡ(15)就可以取z2作為換入基變量,則z5為換出變量。計算結(jié)果見表6。從表6看到,非基變量z3、z5的檢驗數(shù)σ3和σ5都大于或等于0,所以獲得第一階段的最優(yōu)解Μin(z5)=0;因人工變量z5=0,所以原問題有基本可行解。于是可以開始第二階段的計算。將表6中的人工變量z5所在列劃掉,并換成原問題的目標函數(shù),將z1、z2的價值系數(shù)分別換成(1+eⅠ)/hⅠ和(1+eⅡ)/hⅡ,構(gòu)成原問題的初始單純形表(見表7)。從表7看到,如果hⅠ/(1+eⅠ)≤hⅡ/(1+eⅡ),則非基變量z3的檢驗數(shù)σ3是負數(shù)或0,所以原問題已經(jīng)獲得最優(yōu)解。最優(yōu)解是z1=hⅠ1+hⅠΜⅠ?z2=(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ?z3=0?z4=ΜⅡ-1+hⅡhⅡ[(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ]。目標函數(shù)值為:Μax{ΔYⅠ+ΔYⅡ}=1+eⅡhⅡ(YⅠ-CⅡ)-hⅠ(1+eⅡ)-hⅡ(1+eⅠ)hⅡ(1+hⅠ)(1+eⅠ)eⅠYⅠ如果hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ),則表7中非基變量z3的檢驗數(shù)σ3是正數(shù),就需要繼續(xù)施行基變換。需取z3作為換入基變量,由于這里已假定滿足式(15),所以z4為換出變量。計算結(jié)果與表4相同,因而所獲最優(yōu)解也與在滿足式(13)并且hⅠ/(1+eⅠ)>hⅡ/(1+eⅡ)/hⅡ情形下的最優(yōu)解完全一樣。而當對于表5做基變換時,如果不滿足式(15),即(YⅠ-CⅡ)-hⅠ1+hⅠΜⅠ>hⅡ1+hⅡΜⅡ,就只能取z2作為換入基變量,z4為換出變量。計算結(jié)果是獲得第一階段的最優(yōu)解zj=0(j=1,2,3,4),z5=1;Μin(z5)=1。因人工變量z5>0,所以原問題無解。從以上計算過程和結(jié)果得知,當兩個部類之間的比例處于式(14)表明的區(qū)間時,式(15)成為原問題是否存在最優(yōu)解的充分必要條件。而將式(1)表明的每個部類內(nèi)部各部分的相互關(guān)系代入式(15),得出此式中兩個部類之間的比例是:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ(16)將式(14)、式(16)加以綜合,兩個部類之間的比例是:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ≤11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)(1+eⅠ1+hⅠ)(17)四、馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)問題有解的一般處理歸納以上三種情形下的全部計算結(jié)果,得到兩個部類之間的比例關(guān)系取值處于:11+eⅠ(1+eⅡhⅡ)1+eⅠ/(1+hⅠ)1+eⅡ/(1+hⅡ)≤YⅡYⅠ<1+eⅡhⅡ(18)式(18)所示的區(qū)間是馬克思的兩大部類擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題有解的充分必要條件。這個充分必要條件,與陶為群(2011)給出的馬克思兩大部類擴大再生產(chǎn)問題有解的必要條件完全相同。將以上獲得的以公式形式表達的擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題全部最優(yōu)解,整理列成表8。對于任何一個確定各個結(jié)構(gòu)參數(shù)具體數(shù)值的兩大部類擴大再生產(chǎn)問題的舉例,只需把具體數(shù)值代入表8中對應(yīng)的最優(yōu)解公式,就得到數(shù)值化的最優(yōu)解。因此,兩大部類擴大再生產(chǎn)模型的多參數(shù)線性規(guī)劃的最優(yōu)解,能夠替代任何一個具體的兩大部類擴大再生產(chǎn)線性規(guī)劃問題的數(shù)值解。本文給出了比較完整的、以公式形式表達的最優(yōu)解,此最優(yōu)解屬于靜態(tài)分析的范疇。單純形法并不能確定此最優(yōu)解是不是唯一的,而最優(yōu)解是否唯一存在,對于所給出的最優(yōu)解的重要性,尤其是它的經(jīng)濟含義,有著重要影