人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 21.29 《一元二次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）

專題21.29《一元二次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．【知識要點】要點一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.特別說明：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．要點二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．特別說明：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法．要點三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.特別說明：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題．2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．要點四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗解的合理性.2.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.3.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；答(寫出答案，切忌答非所問).4.常見應(yīng)用題型數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.特別說明：列方程解應(yīng)用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.【典型例題】類型一、一元二次方程的有關(guān)概念1、已知關(guān)于的一元二次方程．若方程有一個根的平方等于9，求的值．【答案】1或-5【分析】根據(jù)題意，該方程的根可能是或，分類討論，把x的值代入原方程求出m的值．解：∵方程有一個根的平方等于9，∴這個根可能是或，當(dāng)，則，解得，當(dāng)，則，解得，綜上：m的值是1或-5．【點撥】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根的定義．舉一反三：【變式1】如果方程與方程有且只有一個公共根，求a的值．【答案】-2【分析】有且只有一個公共根，建立方程便可求解了．解：∵有且只有一個公共根∴∴∵當(dāng)a=-1時兩個方程完全相同，故a≠-1，∴∴當(dāng)時，代入第一個方程可得1-a+1=0解得：【點撥】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵在于有一個公共根的理解，從而建立方程，求得根．【變式2】已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一個根，且a≠b，求的值.【答案】20【分析】先根據(jù)一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式進(jìn)行化簡得到=（a+b），再利用整體代入的方法計算；解：把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40，所以原式=類型二、一元二次方程的解法2、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2－x－1＝0； (2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－2x＋1＝0； (4)(x＋8)(x＋1)＝－12．【答案】(1)，(2)x1＝，x2＝2(3)x1＝，x2＝(4)x1＝－4，x2＝－5【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∴x＝＝即原方程的根為x1＝，x2＝(2)解：移項，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∴x1＝，x2＝2．(3)解：配方，得（x－）2＝1，∴x－＝±1．∴x1＝＋1，x2＝－1．(4)解：原方程可化為x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∴x1＝－4，x2＝－5．【點撥】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用指定方法解下列方程：(1)2x2-5x+1＝0(公式法)； (2)x2-8x+1＝0(配方法)．【答案】(1)x1＝，x2＝(2)x1＝4+，x2＝4-【分析】（1）根據(jù)公式法，可得方程的解；（2）根據(jù)配方法，可得方程的解．(1)解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝．(2)解：移項得，并配方，得，即(x-4)2＝15，兩邊開平方，得x＝4±，∴x1＝4+，x2＝4-．【點撥】本題考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是配方，利用公式法解方程要利用根的判別式．【變式2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋孩?/p>

②（用配方法解）③．

④．【答案】①

，；

②，；③，；

④，．【分析】①利用因式分解法解方程；②利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；③先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程；④先移項得到，然后利用因式分解法解方程．解：①，或，所以，；②，，，所以，；③，，或，所以，；④，，或，所以，．【點撥】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．類型三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用3、已知：關(guān)于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0（1）求證：無論k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【答案】（1）見分析；（2）5【分析】（1）把一元二次方程根的判別式轉(zhuǎn)化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程總有實數(shù)根；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求出b、c的長，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系檢驗，綜合后求出△ABC的周長．（1）解：由題意知：Δ＝（k+2）2﹣4?2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）解：當(dāng)b＝c時，Δ＝（k﹣2）2＝0，則k＝2，方程化為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周長＝2+2+1＝5；當(dāng)b＝a＝1或c＝a＝1時，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化為x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三邊的關(guān)系，此情況舍去，∴△ABC的周長為5．【點撥】本題考查了根的判別式△＝b2－4ac：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝k．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；（2）當(dāng)k＝6時，求方程的實數(shù)根．【答案】（1）k＞﹣；（2）x1＝﹣3，x2＝2．【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得△=12-4×1（-k）=1+4k＞0，然后解不等式即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，解得：k＞﹣；（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，整理得：x2+x﹣6＝0，分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【點撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根；也考查了解一元二次方程．【變式2】已知關(guān)于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，（1）求證：無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根．（2）若等腰△ABC的一邊長為a=6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長．【答案】（1）見分析；（2）16或22【分析】（1）先計算判別式，將結(jié)果寫成完全平方形式，再根據(jù)判別式的意義得出結(jié)論．（2）運用求根公式得到方程的兩個根，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，將兩個根代入計算，分情況討論求出等腰三角形的周長．解：（1）證明：=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=(k-1)2，∵無論k取什么實數(shù)值，(k-1)2≥0，∴≥0，所以無論k取什么實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）x2-(3k+1)x+2k2+2k=0，因式分解得：(x-2k)(x-k-1)=0，解得：x1=2k，x2=k+1，b，c恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，設(shè)b=2k，c=k+1，分三種情況討論：第一種情況：∵若c為等腰三角形的底邊，a、b為腰，則a=b=2k=6，∴k=3，c=k+1，∴c=4，檢驗：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a，∴a=b=6，c=4，可以構(gòu)成等腰三角形，此時等腰三角形的周長為：6+6+4=16；第二種情況：∵若b為等腰三角形的底邊，a、c為腰，則a=c=k+1=6，∴k=5，b=2k，∴b=10，檢驗：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，b-a＜c，a-c＜b，b-c＜a，∴a=c=6，b=10，可以構(gòu)成等腰三角形，此時等腰三角形的周長為：6+6+10=22；第三種情況：∵若a為等腰三角形的底邊，b、c為腰，則b=c，∴即：2k=k+1，解得k=1，∴a=6，b=2，c=2，檢驗：b+c＜a，∴a=6，b=2，c=2，不能構(gòu)成等腰三角形；綜上，等腰三角形的周長為16或22．【點撥】本題主要考查一元二次方程根的判別式，本題第二問，根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，分類討論是解題關(guān)鍵．類型四、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系4、關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，請說明理由．【答案】（1）m＜1；（2）m=-1【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么△＞0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1?x2=m2-1，由條件可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出m的值．解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，∴m<1；（2）∵原方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2=-2（m-1），x1?x2=m2-1．∵x12+x22=16+x1x2∴(x1+x2)2＝16+3x1x2，∴4（m-1）2=16+3（m2-1），解得：m1=-1，m2=9，∵m＜1，∴m2=9舍去，即m=-1．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根找出根與系數(shù)的關(guān)系；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m的值，注意不能忽視判別式應(yīng)滿足的條件．舉一反三：【變式1】關(guān)于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的兩根分別為x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．【答案】(1)見分析(2)-3【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可證出方程總有兩個實數(shù)根；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再將它們代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值．(1)證明：∵Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根；(2)解：由根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x1+x2+x1x2=2，∴k-3+（-2k+2）=2，解得k=-3．【點撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，用到的知識點：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根；（4）x1+x2=-，x1?x2=．【變式2】已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的兩實數(shù)根．(1)若這個方程有一個根為-1，求m的值；(2)若這個方程的一個根大于-1，另一個根小于-1，求m的取值范圍；(3)已知Rt△ABC的一邊長為7，x1，x2恰好是此三角形的另外兩邊的邊長，求m的值．【答案】(1)m的值為1或-2(2)-2＜m＜1(3)m＝或m＝【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的兩根，然后列出m的不等式組，求出m的取值范圍；（3）首先用m表示出方程的兩根，分直角△ABC的斜邊長為7或2m+3,根據(jù)勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的兩實數(shù)根，這個方程有一個根為-1，∴將x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∴m的值為1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∴解得-2＜m＜1．∴m的取值范圍是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的兩根分別為2m+3，2m-3．若Rt△ABC的斜邊長為7，則有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝±．∵邊長必須是正數(shù)，∴m＝．若斜邊為2m+3，則(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝．綜上所述，m＝或m＝．【點撥】本題主要考查了根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系以及根的判別式的知識，此題難度一般.類型五、一元二次方程的實際應(yīng)用5、水果批發(fā)市場有一種高檔水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷量將減少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的單價出售，求每天的總毛利潤為多少元；(2)現(xiàn)市場要保證每天總毛利潤為7500元，同時又要使顧客得到實惠，求每千克應(yīng)漲價多少元；(3)現(xiàn)需按毛利潤的10%繳納各種稅費，人工費每日按銷售量每千克支出1.5元，水電房租費每日300元．若每天剩下的總純利潤要達(dá)到6000元，求每千克應(yīng)漲價多少元．【答案】(1)每天的總毛利潤為7820元；(2)每千克應(yīng)漲價5元；(3)每千克應(yīng)漲價15元或元【分析】（1）設(shè)每千克盈利x元，可售y千克，由此求得關(guān)于y與x的函數(shù)解析式，進(jìn)一步代入求得答案即可；（2）利用每千克的盈利×銷售的千克數(shù)＝總利潤，列出方程解答即可；（3）利用每天總毛利潤﹣稅費﹣人工費﹣水電房租費＝每天總純利潤，列出方程解答即可．(1)解：設(shè)每千克盈利x元，可售y千克，設(shè)y=kx+b，則當(dāng)x＝10時，y＝600，當(dāng)x＝11時，y＝600﹣20＝580，由題意得，，解得．所以銷量y與盈利x元之間的關(guān)系為y＝﹣20x+800，當(dāng)x＝17時，y＝460，則每天的毛利潤為17×460＝7820元；(2)解：設(shè)每千克盈利x元，由（1）可得銷量為（﹣20x+800）千克，由題意得x（﹣20x+800）＝7500，解得：x1＝25，x2＝15，∵要使得顧客得到實惠，應(yīng)選x＝15，∴每千克應(yīng)漲價15﹣10＝5元；(3)解：設(shè)每千克盈利x元，由題意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，解得：x1＝25，x2，則每千克應(yīng)漲價25﹣10＝15元或10元．【點撥】此題主要一元二次方程的實際運用，找出題目蘊含的數(shù)量關(guān)系，理解銷售問題中的基本關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖所示，有一面積為150m2的的長方形養(yǎng)雞場，雞場邊靠墻(墻長18米)，另三邊用竹籬笆圍成．如果竹籬笆的長為35m，求雞場長和寬各是多少?【答案】雞場的長與寬各為15m，10m．【分析】設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，則長為（35﹣2x）m，列出一元二次方程計算即可；解：設(shè)養(yǎng)雞場的寬為xm，則長為（35﹣2x）m，由題意得，x（35﹣2x）＝150，解這個方程：x1＝7.5，x2＝10，當(dāng)養(yǎng)雞場的寬為x1＝7.5時，養(yǎng)雞場的長為20m不符合題意，應(yīng)舍去，當(dāng)養(yǎng)雞場的寬為x2＝10m時，養(yǎng)雞場的長為15m，答：雞場的長與寬各為15m，10m．【點撥】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【變式2】年春節(jié)期間，新型冠狀病毒肆虐，突如其來的疫情讓大多數(shù)人不能外出，網(wǎng)絡(luò)銷售成為這個時期最重要的一種銷售方式．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)貿(mào)易公司因此開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)啬撤N農(nóng)產(chǎn)品．已知該農(nóng)產(chǎn)品成本為每千克元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量與銷售單價(元)滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系(其中)．寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤可達(dá)到元？【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售單價為元時，每天的銷售利潤可達(dá)到元．【分析】（1）設(shè)函數(shù)解析式為，根據(jù)題意：銷售單價為10元時，銷售量為600kg，銷售單價為40元時，銷售量為150kg，代入熟知求得k、b的值即可求得解析式；（2）每天的銷售利潤等于每千克的銷售利潤乘以銷售量列式求解．解：（1）根據(jù)題意：銷售單價為10元時，銷售量為600kg，銷售單價為40元時，銷售量為150kg，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為：，則可得：，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）根據(jù)題意可知每天的銷售利潤為：解得：；答：當(dāng)銷售單價為元時，每天的銷售利潤可達(dá)到元．【點撥】本題主要考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，結(jié)合屬性結(jié)合的思想求出一次函數(shù)解析式，以及明確每天的銷售利潤等于每千克的銷售利潤乘以銷售量是解題的關(guān)鍵．類型六、一元二次方程的幾何應(yīng)用6、已知：如圖所示，在中，，，，點P從點A開始沿AB邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以的速度移動．當(dāng)P、Q兩點中有一點到達(dá)終點，則同時停止運動．（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于？（3）的面積能否等于？請說明理由．【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由見分析【分析】（1）設(shè)P、Q分別從A、B兩點出發(fā)，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，則△PBQ的面積等于×2x（5-x），令該式等于4，列出方程求出符合題意的解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看△PBQ的面積能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化簡該方程后，判斷該方程的與0的關(guān)系，大于或等于0則可以，否則不可以．解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒以后，面積為，此時，，，由得，整理得：，解得：或舍，答：1秒后的面積等于；（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，PQ的長度等于由，即，解得：t=3或-1(舍)，∴3秒后，PQ的長度為；（3）假設(shè)經(jīng)過t秒后，的面積等于，即，，整理得：，由于，則原方程沒有實數(shù)根，∴的面積不能等于．【點撥】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系列出方程求解，判斷某個三角形的面積是否等于一個值，只需根據(jù)題意列出方程，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在．舉一反三：【變式1】已知：如圖A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=6cm，動點P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點P以3cm/S的速度向點B移動，一直到達(dá)點B為止，點Q以2cm/S的速度向點D移動（1）P，Q兩點從出發(fā)點出發(fā)幾秒時，四邊形PBCQ面積為33cm2（2）P，Q兩點從出發(fā)點出發(fā)幾秒時，P，Q間的距離是為10cm．【答案】（1）5秒；（2）P，Q兩點出發(fā)秒或秒時，點P和點Q的距離是10cm．【分析】當(dāng)運動時間為t秒時，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）利用梯形的面積公式結(jié)合四邊形PBCQ的面積為33cm2，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）過點Q作QM⊥AB于點M，則PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理結(jié)合PQ=10cm，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．解：當(dāng)運動時間為t秒時，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）依題意，得：×（16-3t+2t）×6=33，解得：t=5．答：P，Q兩點從出發(fā)開始到5秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2．（2）過點Q作QM⊥AB于點M，如圖所示．∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，∴PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，解得：t1=，t2=．答：P，Q兩點出發(fā)秒或秒時，點P和點Q的距離是10cm．【點撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)梯形的面積公式，找出關(guān)于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出關(guān)于t的一元二次方程．【變式2】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，設(shè)運動時間為ts．問：(1)幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?(2)是否存在t，使△PDQ的面積等于26cm2?【答案】(1)2秒或4秒后△PBQ的面積等于8cm2；(2)不存在t，使△PDQ的面積等于26cm2.

【分析】（1）設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm

2，用含x的代數(shù)式分別表示出PB，QB的長，再利用△PBQ的面積等于8列式求值即可；

（2）假設(shè)存在t使得△PDQ面積為26cm

2，根據(jù)△PDQ的面積等于26cm

2列式計算即可．解：(1)設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2.∵AP＝x，QB＝2x.∴PB＝6－x.

∴(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，故2秒或4秒后△PBQ的面積等于8cm2.(2)假設(shè)存在t使得△PDQ的面積為26cm2，則72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26，整理得，t2－6t＋10＝0，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，

∴原方程無解，∴不存在t，使△PDQ的面積等于26cm2.【點撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，表示出△PBQ的的兩條直角邊長是解決本題的突破點;用到的知識點為:直角三角形的面積=兩直角邊積的一半.本題也考查了矩形的性質(zhì)和割補法求圖形的面積.類型七、一元二次方程的拓展應(yīng)用6、關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，另一個根．（1）若直線經(jīng)過點，，求直線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線的圖象，是軸上一動點，是否存在點，使是直角三角形，若存在，直接寫出點坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點P的坐標(biāo)為或．【分析】（1）將x=2代入方程求出k=8，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出=4，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（），利用待定系數(shù)法求出解析式；（2）分情況求解：第一種：AB是斜邊，∠APB＝90°，得到點P與原點O重合；第二種：設(shè)AB是直角邊，點B為直角頂點，即∠ABP＝90°，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)，，解得x=-8，求出點P的坐標(biāo)；第三種：設(shè)AB是直角邊，點A為直角頂點，即∠BAP＝90°，由點P是x軸上的動點，得到∠BAP＞90°，情況不存在.解：（1）當(dāng)x=2時，方程為，解得k=8，∵2+=6，∴一元二次方程為的另一個根=4.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（），∵直線AB經(jīng)過點A（2，0），B（0，4），∴，解得k=-2，b=4，直線AB的解析式：y=-2x+4；（2）第一種：AB是斜邊，∠APB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴當(dāng)點P與原點O重合時，∠APB＝90°，∴當(dāng)點P的坐標(biāo)為（0，0），△ABP是直角三角形.第二種：設(shè)AB是直角邊，點B為直角頂點，即∠ABP＝90°，∵線段AB在第一象限，∴這時點P在x軸負(fù)半軸.設(shè)P的坐標(biāo)為（x，0），∵A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，OP＝-x，∴，，.∵，∴，解得x=-8，∴當(dāng)點P的坐標(biāo)為（―8，0），△ABP是直角三角形.第三種：設(shè)AB是直角邊，點A為直角頂點，即∠BAP＝90°.∵點A在x軸上，點P是x軸上的動點，∴∠BAP＞90°，∴∠BAP＝90°的情況不存在．∴當(dāng)點P的坐標(biāo)為（―8，0）或（0，0）時，△ABP是直角三角形.【點撥】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，直角三角形的性質(zhì)，勾