12.4專題　電磁感應中的動力學和能量問題（講）

第十二章電磁感應專題電磁感應中的動力學和能量問題一電磁感應中的動力學問題1．導體的兩種運動狀態(tài)(1)導體的平衡狀態(tài)——靜止狀態(tài)或勻速直線運動狀態(tài)．處理方法：根據(jù)平衡條件列式分析．(2)導體的非平衡狀態(tài)——加速度不為零．處理方法：根據(jù)牛頓第二定律進行動態(tài)分析或結(jié)合功能關系分析．2．用動力學觀點解答電磁感應問題的一般步驟3．導體常見運動情況的動態(tài)分析v↓E＝Blv↓I＝↓F安＝BIl↓F合若F合＝0勻速直線運動若F合≠0↓F合＝maa、v同向v增大，若a恒定，拉力F增大v增大，F(xiàn)安增大，F(xiàn)合減小，a減小，做加速度減小的加速運動，減小到a＝0，勻速直線運動a、v反向v減小，F(xiàn)安減小，a減小，當a＝0，靜止或勻速直線運動二電磁感應中的能量問題1．電磁感應中的能量轉(zhuǎn)化2．求解焦耳熱Q的三種方法3．解題的一般步驟(1)確定研究對象(導體棒或回路)；(2)弄清電磁感應過程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互轉(zhuǎn)化；(3)根據(jù)功能關系或能量守恒定律列式求解．考點一電磁感應中的動力學問題1.研究對象和分析步驟2.解題關鍵：抓住力學對象和電學對象間的橋梁——感應電流I、切割速度v。典例精析變式鞏固1.如圖所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置，與水平方向的夾角為θ。兩導軌間距為，M、P兩點間接有阻值為R的電阻。一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直。整套裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下。導軌和金屬桿的電阻可忽略。讓ab桿沿導軌由靜止開始下滑，導軌和金屬桿接觸良好，不計它們之間的摩擦。（1）由b向a方向看到的裝置如圖，在此圖中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖；（2）在加速下滑時，當ab桿的速度大小為v時，求此時ab桿中的電流及其加速度的大?。唬?）求在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值。【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【詳解】（1）經(jīng)過分析可得，ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖如下圖所示（2）當ab桿速度為v時，感應電動勢為此時電路中電流為ab桿受到安培力為即有可得（3）當時，ab桿達到最大速度，則有2.如圖，矩形閉合導體線框在勻強磁場上方，由不同高度靜止釋放，用t1、t2分別表示線框ab邊和cd邊剛進入磁場的時刻．線框下落過程形狀不變，ab邊始終保持與磁場水平邊界線OO′平行，線框平面與磁場方向垂直．設OO′下方磁場區(qū)域足夠大，不計空氣阻力影響，則下列圖像不可能反映線框下落過程中速度v隨時間t變化的規(guī)律（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】線框先做自由落體運動，ab邊進入磁場做減速運動，加速度應該是逐漸減小，而A圖象中的加速度逐漸增大．故A錯誤．線框先做自由落體運動，ab邊進入磁場后做減速運動，因為重力小于安培力，當加速度減小到零做勻速直線運動，cd邊進入磁場做勻加速直線運動，加速度為g．故B正確．線框先做自由落體運動，ab邊進入磁場后因為重力大于安培力，做加速度減小的加速運動，cd邊離開磁場做勻加速直線運動，加速度為g，故C正確．線框先做自由落體運動，ab邊進入磁場后因為重力等于安培力，做勻速直線運動，cd邊離開【點睛】解決本題的關鍵能夠根據(jù)物體的受力判斷物體的運動，即比較安培力與重力的大小關系，結(jié)合安培力公式、切割產(chǎn)生的感應電動勢公式進行分析．3.如圖所示，U形光滑金屬導軌與水平面成37°角傾斜放置，現(xiàn)將一金屬桿垂直放置在導軌上且與兩導軌接觸良好，在與金屬桿垂直且沿著導軌向上的外力F的作用下，金屬桿從靜止開始做勻加速直線運動。整個裝置處于垂直導軌平面向上的勻強磁場中，外力F的最小值為8N，經(jīng)過2s金屬桿運動到導軌最上端并離開導軌。已知U形金屬導軌兩軌道之間的距離為1m，導軌電阻可忽略不計，金屬桿的質(zhì)量為1kg、電阻為1Ω，磁感應強度大小為1T，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝，cos37°＝0.8.下列說法正確的是（）A.拉力F是恒力B.拉力F隨時間t均勻增加C.金屬桿運動到導軌最上端時拉力F為12ND.金屬桿運動的加速度大小為2m/s2【答案】BCD【解析】【分析】【詳解】AB．t時刻，金屬桿的速度大小為v＝at產(chǎn)生的感應電動勢為E＝Blv電路中的感應電流I＝金屬桿所受安培力大小為F安＝BIl＝由牛頓第二定律可知F＝ma＋mgsin37°＋可見F是t的一次函數(shù)，選項A錯誤，B正確；CD．t＝0時，F(xiàn)最小，代入數(shù)據(jù)可求得a＝2m/s2當t＝2s時F＝12N選項CD正確．故選BCD。4.如圖所示，兩根足夠長光滑平行金屬導軌PP′、QQ′傾斜放置，勻強磁場垂直于導軌平面，導軌的上端與水平放置的兩金屬板M、N相連，板間距離足夠大，板間有一帶電微粒，金屬棒ab水平跨放在導軌上，下滑過程中與導軌接觸良好．現(xiàn)同時由靜止釋放帶電微粒和金屬棒ab，則()A.金屬棒ab最終可能勻速下滑B.金屬棒ab一直加速下滑C.金屬棒ab下滑過程中M板電勢高于N板電勢D.帶電微粒不可能先向N板運動后向M板運動【答案】BC【解析】【詳解】靜止釋放金屬棒，金屬棒沿光滑導軌加速下滑，棒中有感應電動勢而對電容器充電，充電電流通過金屬棒時受安培力作用，只有金屬棒速度增大時才有充電電流，因此總有，所以金屬棒將一直加速，故A錯誤，B正確；由右手定則可知，電流經(jīng)b流向a，則金屬棒a端(即M板)電勢高，故C正確；若微粒帶負電，則電場力豎直向上，與重力反向，開始時電場力為0，微粒向下加速，當靜電力增大到大于重力時，微粒的加速度向上，可以向下減速到零后再向上運動，故D錯誤．故答案為BC．5.如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】【分析】（1）由法拉第電磁感應定律，求出感應電動勢；再與相結(jié)合求出電荷量與速度的關系式。（2）由左手定則來確定安培力的方向，并求出安培力的大小，借助于，及牛頓第二定律來求出速度與時間的關系。【詳解】（1）設金屬棒下滑的速度大小為v，則感應電動勢為E=BLv平行板電容器兩極板之間的電勢差為U=E設此時電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有聯(lián)立可得Q=CBLv（2）設金屬棒的速度大小為v時，經(jīng)歷的時間為t，通過金屬棒的電流為I，金屬棒受到的磁場力方向沿導軌向上，大小為f1=BLI設在時間間隔（t，t+t）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為Q，則Q=CBLv按定義有Q也是平行板電容器極板在時間間隔（t，t+t）內(nèi)增加電荷量，由上式可得，v為金屬棒的速度變化量，金屬棒所受到的摩擦力方向沿導軌斜面向上，大小為f2=μFN式中，F(xiàn)N是金屬棒對于導軌的正壓力的大小，有FN=mgcosθ金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下，設其大小為a，根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ﹣f1﹣f2=ma即mgsinθ﹣μmgcosθ=CB2L2a+ma聯(lián)立上此式可得由題意可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運動，t時刻金屬棒的速度大小為【點評】本題讓學生理解左手定則、安培力的大小、法拉第電磁感應定律、牛頓第二定律、及運動學公式，并相互綜合來求解。命題點二電磁感應中的能量問題(師生互動)[核心整合]能量轉(zhuǎn)化及焦耳熱的求法(1)能量轉(zhuǎn)化(2)求解焦耳熱Q的三種方法典例精析變式鞏固6.如圖甲所示，在豎直方向上有四條間距相等的水平虛線L1、L2、L3、L4，在L1L2之間、L3L4之間存在勻強磁場，大小均為1T，方向垂直于虛線所在平面．現(xiàn)有一矩形線圈abcd，寬度cd，質(zhì)量為，電阻為2Ω，將其從靜止釋放，速度隨時間的變化關系如圖乙所示，t=0時刻cd邊與L1重合，t1時刻cd邊與L2重合，t2時刻ab邊與L3重合，t3時刻ab邊與L4重合，已知t1～t2的時間間隔為，整個運動過程中線圈平面始終處于豎直方向．（重力加速度g取10m/s2）則A.線圈長度ad=1mB.線圈勻速運動的速度大小為8m/sC.在0～t1時間內(nèi)，通過線圈的電荷量為D.0～t3時間內(nèi)，線圈產(chǎn)生的熱量為【答案】BCD【解析】【詳解】B、根據(jù)平衡有：mg=BIL，而，聯(lián)立兩式解得：；故B正確；A、t1～t2的時間間隔內(nèi)線圈一直做勻加速直線運動，知ab邊剛進上邊的磁場時，cd邊也剛進下邊的磁場．設磁場的寬度為d，則線圈的長度L′=2d；線圈下降的位移為：x=L′+d=3d，則有：，將v=8m/s，t，代入解得：d=1m，所以線圈的長度為L′=2d=2m；故A錯誤；C、在0～t1時間內(nèi)，cd邊從L1運動到L2，通過線圈的電荷量為：；故C正確.D、0～t3時間內(nèi)，根據(jù)能量守恒得：；故D正確.故選BCD.7.如圖，MN和PQ是電阻不計的平行金屬導軌，其間距為L，導軌彎曲部分光滑，平直部分粗糙，兩部分平滑連接，平直部分右端接一個阻值為R的定值電阻。平直部分導軌左邊區(qū)域有寬度為d、方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。質(zhì)量為m、電阻也為R的金屬棒從高度為h處由靜止釋放，到達磁場右邊界處恰好停止。已知金屬棒與平直部分導軌間的動摩擦因數(shù)為μ，金屬棒與導軌間接觸良好，則金屬棒穿過磁場區(qū)域的過程中（）A.流過金屬棒的最大電流為B.通過金屬棒的電荷量為C.克服安培力所做的功為mghD.金屬棒內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為mg（h－μd）【答案】BD【解析】【分析】【詳解】A．金屬棒下滑到彎曲部分底端時，根據(jù)動能定理有mgh＝mv2金屬棒在磁場中運動時產(chǎn)生的感應電動勢E＝BLv金屬棒受到的安培力F＝BIL當金屬棒剛進入磁場中時，感應電流最大，分析可得Imax＝所以A錯誤；B．金屬棒穿過磁場區(qū)域過程中通過金屬棒的電荷量q＝t＝＝所以B正確；CD．對整個過程由動能定理得mgh－WF安－μmgd＝0金屬棒克服安培力做的功WF安＝mgh－μmgd金屬棒內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q＝WF安＝mg（h－μd）所以C錯誤；D正確；故選BD。(2023·北京市模擬)8.如圖所示，AB、CD為兩個平行的、不計電阻的水平光滑金屬導軌，置于方向垂直導軌平面向里、磁感應強度為B的勻強磁場中。AB、CD的間距為L，左右兩端均接有阻值為R的電阻。質(zhì)量為m、長為L且電阻不計的導體棒MN放在導軌上，與導軌接觸良好，并與輕質(zhì)彈簧組成彈簧振動系統(tǒng)。開始時，彈簧處于自然長度，導體棒MN具有水平向左的初速度v0，經(jīng)過一段時間，導體棒MN第一次運動到最右端，這一過程中AC間的電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，則（）A.導體棒水平方向做簡諧運動B.初始時刻導體棒所受的安培力大小為C.當導體棒第一次到達最右端時，彈簧具有的彈性勢能為D.當導體棒再次回到初始位置時，AC間的電阻R的熱功率小于【答案】D【解析】【詳解】AD．導體棒運動過程中，安培力做功，電阻產(chǎn)生焦耳熱，則棒和彈簧的機械能有損失，則當棒再次回到初始位置時速度小于，導體棒水平方向做的不是簡諧運動，則導體棒回到初始位置時產(chǎn)生的感應電動勢根據(jù)電功率公式可知，AC間的電阻R的熱功率故A錯誤D正確；B．根據(jù)公式，，可得，初始時刻導體棒所受的安培力大小為故B錯誤；C．當導體棒第一次到達最右端時，設彈簧的彈性勢能為，根據(jù)能量守恒定律有解得故C錯誤。故選D。9.如圖所示，粗細均勻的正方形導線框abcd放在傾角為的絕緣光滑斜面上，通過輕質(zhì)細線繞過光滑的定滑輪與木塊相連，細線和線框共面、與斜面平行。距線框cd邊為的MNQP區(qū)域存在著垂直于斜面、大小相等、方向相反的兩個勻強磁場，EF為兩個磁場的分界線，?，F(xiàn)將木塊由靜止釋放后，木塊下降，線框沿斜面上滑，恰好勻速進入和離開勻強磁場。已知線框邊長為、質(zhì)量為、電阻大小為R，木塊質(zhì)量也為，重力加速度為g，試求：（1）勻強磁場的磁感應強度B；（2）導線框通過勻強磁場過程中線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】【詳解】（1）導線框勻速進入磁場時，受力平衡，受力情況如圖所示根據(jù)平衡條件有其中導線框與木塊通過光滑細線相連，線框勻速進入磁場時，木塊勻速下降，根據(jù)平衡條件有對導線框和木塊構成的系統(tǒng)，進入磁場前二者一起做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)運動學方程可得進入磁場時速度以上各式聯(lián)立求解可得（2）線框恰好勻速進入和離開勻強磁場，導線框通過勻強磁場過程中，線框和木塊組成系統(tǒng)減少重力勢能轉(zhuǎn)化為電路中產(chǎn)生焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律得所以導線框通過勻強磁場過程中線框中產(chǎn)生的焦耳熱（2018·江蘇·高考真題）10.如圖所示，豎直放置的形光滑導軌寬為L，矩形勻強磁場Ⅰ、Ⅱ的高和間距均為d，磁感應強度為B．質(zhì)量為m的水平金屬桿由靜止釋放，進入磁場Ⅰ和Ⅱ時的速度相等．金屬桿在導軌間的電阻為R，與導軌接觸良好，其余電阻不計，重力加速度為g．金屬桿（）A.剛進入磁場Ⅰ時加速度方向豎直向下B.穿過磁場Ⅰ的時間大于在兩磁場之間的運動時間C.穿過兩磁場產(chǎn)生的總熱量為4mgdD.釋放時距磁場Ⅰ上邊界的高度h可能小于【答案】BC【解析】【詳解】本題考查電磁感應的應用，意在考查考生綜合分析問題的能力．由于金屬棒進入兩個磁場的速度相等，而穿出磁場后金屬桿做加速度為g的加速運動，所以金屬感進入磁場時應做減速運動，選項A錯誤；對金屬桿受力分析，根據(jù)可知，金屬桿做加速度減小的減速運動，其進出磁場的vt圖象如圖所示，由于0~t1和t1~t2圖線與t軸包圍的面積相等（都為d），所以t1>（t2t1），選項B正確；從進入Ⅰ磁場到進入Ⅱ磁場之前過程中，根據(jù)能量守恒，金屬棒減小的機械能全部轉(zhuǎn)化為焦耳熱，所以Q1=mg．2d，所以穿過兩個磁場過程中產(chǎn)生的熱量為4mgd，選項C正確；若金屬桿進入磁場做勻速運動，則，得，有前面分析可知金屬桿進入磁場的速度大于，根據(jù)得金屬桿進入磁場的高度應大于，選項D錯誤．點睛：本題以金屬桿在兩個間隔磁場中運動時間相等為背景，考查電磁感應的應用，解題的突破點是金屬棒進入磁場Ⅰ和Ⅱ時的速度相等，而金屬棒在兩磁場間運動時只受重力是勻加速運動，所以金屬棒進入磁場時必做減速運動．（2021·湖南高考）11.兩個完全相同的正方形勻質(zhì)金屬框，邊長為，通過長為的絕緣輕質(zhì)桿相連，構成如圖所示的組合體。距離組合體下底邊處有一方向水平、垂直紙面向里的勻強磁場。磁場區(qū)域上下邊界水平，高度為，左右寬度足夠大。把該組合體在垂直磁場的平面內(nèi)以初速度水平無旋轉(zhuǎn)拋出，設置合適的磁感應強度大小使其勻速通過磁場，不計空氣阻力。下列說法正確的是（）A.與無關，與成反比B.通過磁場的過程中，金屬框中電流的大小和方向保持不變C.通過磁場的過程中，組合體克服安培力做功的功率與重力做功的功率相等D.調(diào)節(jié)、和，只要組合體仍能勻速通過磁場，則其通過磁場的過程中產(chǎn)生的熱量不變【答案】CD【解析】【分析】【詳解】A．將組合體以初速度v0水平無旋轉(zhuǎn)拋出后，組合體做平拋運動，后進入磁場做勻速運動，由于水平方向切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢相互低消，則有mg=F安=，vy=綜合有B=則B與成正比，A錯誤；B．當金屬框剛進入磁場時金屬框的磁通量增加，此時感應電流的方向為逆時針方向，當金屬框剛出磁場時金屬框的磁通量減少，此時感應電流的方向為順時針方向，B錯誤；C．由于組合體進入磁場后做勻速運動，由于水平方向的感應電動勢相互低消，有mg=F安=則組合體克服安培力做功的功率等于重力做功的功率，C正確；D．無論調(diào)節(jié)哪個物理量，只要組合體仍能勻速通過磁場，都有mg=F安則安培力做的功都為W=4F安L則組合體通過磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱不