1.3.2正方形的判定課件北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

1.3.2正方形的判定九年級(jí)上冊(cè)BSD初中數(shù)學(xué)四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸.正方形的性質(zhì)有哪些？對(duì)邊平行，四條邊都相等知識(shí)回顧1.理解并掌握正方形的判定和推導(dǎo)過(guò)程.2.能熟練運(yùn)用正方形的判定進(jìn)行計(jì)算和證明.學(xué)習(xí)目標(biāo)陽(yáng)陽(yáng)在商場(chǎng)看中了一塊手帕，但不知是否是正方形，只見(jiàn)售貨員阿姨拉起手帕的一組對(duì)角，另一組對(duì)角能完全重合，看陽(yáng)陽(yáng)還在猶豫，又拉起手帕的另一組對(duì)角，剩下的那組對(duì)角也能完全重合.阿姨認(rèn)為這樣就能證明手帕是正方形，那么你認(rèn)為這塊手帕一定是正方形嗎？課堂導(dǎo)入將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開(kāi).怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？提示：剪口線(xiàn)與折痕成45°角即可.知識(shí)點(diǎn)1：正方形的判定新知探究+有一個(gè)角是直角+有一組鄰邊相等+有一組鄰邊相等+有一個(gè)角是直角+對(duì)角線(xiàn)相等+對(duì)角線(xiàn)垂直如何判定一個(gè)四邊形是正方形，一般思考方法是什么？平行四邊形矩形菱形正方形判斷四邊形是正方形有哪些方法？1.先說(shuō)明它是平行四邊形，再說(shuō)明有一組鄰邊相等，有一個(gè)角是直角.（定義法）2.先說(shuō)明它是矩形，再說(shuō)明這個(gè)矩形有一組鄰邊相等.3.先說(shuō)明它是菱形，再說(shuō)明這個(gè)菱形有一個(gè)角是直角.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.定理數(shù)學(xué)語(yǔ)言：在矩形ABCD中，∵AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形.ABDC已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，試證明ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理證明數(shù)學(xué)語(yǔ)言：在矩形ABCD中，∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是正方形.ABDCO對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形.定理已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，試證明ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD，又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴AB=AD，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理證明有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.定理數(shù)學(xué)語(yǔ)言：在菱形ABCD中，∵∠A=90?,∴四邊形ABCD是正方形.ABDC已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，試證明ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理證明對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形.定理數(shù)學(xué)語(yǔ)言：在菱形ABCD中，∵AC=BD,∴四邊形ABCD是正方形.ABDCO已知：ABCD

是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理證明例2已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF

是菱形（菱形的定義）.在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）.例2已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于它的一半．如圖，在△ABC中，EF為△ABC的中位線(xiàn)，①若∠BEF=30°，則∠A=______.②若EF=8cm,則AC=______.你還記得三角形的中位線(xiàn)定理嗎？30°16cm新知探究知識(shí)點(diǎn)2：中點(diǎn)四邊形如圖，任意畫(huà)一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？任意四邊形的中點(diǎn)四邊形

是平行四邊形.ABCDEFGH●●●●

如果四邊形

ABCD

變?yōu)樘厥獾乃倪呅?，中點(diǎn)四邊形

EFGH會(huì)有怎樣的變化呢？原四邊形中點(diǎn)四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形？矩形？菱形？正方形？1.平行四邊形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.你能試著證明這個(gè)結(jié)論嗎？（提示：連接AC、BD）●●●●ABCDEFGH矩形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.你能試著證明這個(gè)結(jié)論嗎？ABCDEFGH●●●●

已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是矩形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為菱形.

ABCDEGH●●●●F菱形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.你能試著證明這個(gè)結(jié)論嗎？ABCDEGH●●●●F

已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是菱形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是菱形,∴AC⊥BD（菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）.ABCDEGH●●●●F∟∟12PQO正方形的中點(diǎn)四邊形會(huì)是什么形狀？原四邊形中點(diǎn)四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再證明.ABCDEGH●●●●F

已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為正方形.

ABCDEGH●●●●F又∵四邊形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的對(duì)角線(xiàn)相等）

AC⊥BD（正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四邊形EFGH是菱形（四邊相等的四邊形是菱形），∠2=90°.∴四邊形EFGH

為正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）.ABCDEGH●●●●F

已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為正方形.思考：決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵因素是什么？對(duì)角線(xiàn)不垂直，不相等平行四邊形對(duì)角線(xiàn)不垂直，不相等平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相等菱形對(duì)角線(xiàn)垂直矩形對(duì)角線(xiàn)相等且垂直正方形●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

決定中點(diǎn)四邊形

EFGH

的形狀的主要因素是原四邊形

ABCD的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度和位置關(guān)系.原四邊形對(duì)角線(xiàn)關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形總結(jié)1.（教材P25習(xí)題第2題）已知：如圖，E，F(xiàn)

是正方形ABCD

的對(duì)角線(xiàn)BD

上的兩點(diǎn)，且BE=DF.求證：四邊形AECF

是菱形.證明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四邊形AECF是菱形．隨堂練習(xí)2.（教材P25習(xí)題1.8第3題）如圖，在正方形ABCD

中，E，F(xiàn)，G，H

分別在它的四條邊上，且AE=BF=CG=DH.四邊形EFGH是什么特殊四邊形？你是如何判斷的？解：四邊形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易證△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH

＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝90°,∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,∴四邊形EFGH

是正方形3.（教材P25習(xí)題1.8第4題）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′O與正方形

ABCD的邊長(zhǎng)相等.在正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，兩個(gè)正方形重疊的部分與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

EF4.在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在A(yíng)C上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE.（1）求證：BF=DE.（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明四邊形AFBE是正方形.ABDCEF（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD，∠BAD=90?.∵AF⊥AC

,∴∠BAF+∠BAE=90?.∵∠BAE+∠DAE=90?,∵AD=AB，∠DAE=∠BAF，

AE=AF,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.∴∠BAF=∠DAE.ABDCEF

（2）∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC.∵AF=AE,∴BE=AF=AE,∴BE//AF.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90?,∵BE=AF,∴四邊形AFBE是平行四邊形.∵∠FA