2022年陜西省榆林市高考數(shù)學二模試卷（文科）（學生版+解析版）

2022年陜西省榆林市高考數(shù)學二模試卷（文科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）復數(shù)z=i（1+2戶）的實部為（）

A.-2B.0C.1D.2

2.（5分）定義集合A-8={x|xeA且它團.已知集合4={0,2,4,5},B={-1,0,3},

則A-B=（）

A.{0}B.{-1,3}

C.{2,4,5}D.{-1,0,2,3,4,5）

3.（5分）若方程/+y2+6x+m=0表示一個圓，則〃?的取值范圍是（）

A.（-8,9）B.（-8,-9）C.（9,+8）D.（-9,+°°）

4.（5分）曲線尸步7在點（1,0）處的切線方程為（）

A.y=4x-4B.y=5x-5C?y=6x-6D.y=7x-7

5.（5分）甲和乙約定周日早上在學校門口見面，當天先到者等未到者20分鐘，超過20分

鐘對方未到就離開.當天早上，乙將在6點40分到7點50分之間任意時刻到達學校門

口，甲于7點10分到達學校門口，則兩人可以碰面的概率為（）

2345

A.一B.-C.一D.一

7777

6.（5分）某公司為了確定下一年投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：萬元）

對年銷售量y（單位：千件）的影響.現(xiàn)收集了近5年的年宣傳費x（單位：萬元）和年

銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)如下表所示，且y關于x的線性回歸方程為y=

以-8.2,則下列結論錯誤的是（）

X4681012

y1571418

A.x,y之間呈正相關關系

B.6=2.15

C.該回歸直線一定經過點（8,7）

D.當此公司該種產品的年宣傳費為20萬元時，預測該種產品的年銷售量為34800件

7.(5分)2sinl400+cos70°=()

A.V3sinll00B.V3sinllO°+2sin20°

C.V3cosllO°D.V3cosl10°+2sin20°

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=0,則輸入的實數(shù)x的取值共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.(5分)已知函數(shù)/(x)—Igx,現(xiàn)有下列四個命題：

◎(2),f(同),/(5)成等差數(shù)列；

②/X2),/(4),/(8)成等差數(shù)列；

(3)/(2),/(12),f(72)成等比數(shù)列；

④f(2),/(4),/(16)成等比數(shù)列.

其中所有真命題的序號是()

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

10.(5分)已知|&|=\AB\=2,\OB\=1,則+3OB\=()

A.2B.4C.V10D.V15

11.（5分）函數(shù)/（x）=Asin（3x+（p）（4>0,3>0,|cp|<n）的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將

f（x）的圖象向右平移，個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則g（x）在區(qū)間［金，

修］上的值域為（）

A.[-V2,2]B.[-1,V2]C.[0,V2]D.[0,2]

12.（5分）如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是1675cm2的正

三角形.若在該酒杯內放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則酒杯

可放置圓柱形冰塊的最大體積為（）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.

2"0<y<2"—4）

，一，則C,、=_____.

（x+2,x>2,/（I）

14.（5分）在四棱錐尸-ABC。中，底面48co是矩形，PA1.）&^ABCD,S.PA=AB,AD=

MAB,則tan/4PC=.

15.（5分）ZViBC的內角A,8,C所對的邊分別為a",c.已知4$1尼=$耐4,cosB=-總

則5-______?

b

16.（5分）設P為橢圓M；1+y2=1和雙曲線N；—一0=1的一個公共點，且尸在第

一象限，F(xiàn)是”的左焦點，則"的離心率為,|/￥1=.

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.(12分)一次性醫(yī)用口罩是適用于覆蓋使用者的口、鼻及下頜，用于普通醫(yī)療環(huán)境中阻

隔口腔和鼻腔呼出或噴出污染物的一次性口罩.按照我國醫(yī)藥行業(yè)標準，口罩對細菌的

過濾效率達到95%及以上為合格，98%及以上為優(yōu)等品.某部門為了檢測-一批口罩對細

菌的過濾效率，隨機抽檢了200個口罩，將它們的過濾效率(百分比)按照[95,96),[96,

97),[97,98),[98,99),[99,100]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中加的值及這200個口罩中優(yōu)等品的頻率;

(2)為了進一步檢測樣本中優(yōu)等品的質量，用分層抽樣的方法從[98,99)和[99,100]

兩組中抽取21個口罩，已知過濾效率百分比低于99%的檢測費為每個8元，不低于99%

的檢測費為每個12元，求這21個口罩的檢測總費用.

18.(12分)已知『+22+…+〃2=，(n+1)(2n+1),數(shù)列｛的｝滿足即+i-”"=〃2+2〃+1,a\—

1.

(1)求｛〃”｝的通項公式；

(2)設加=缶，求數(shù)列色■｝的前〃項和S”.

十JLDfi

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-481C1中，點81在底面ABC內的射影恰好是點C.

(1)若點。是AC的中點，且證明：ABLCCi.

(2)已知BiCi=2,BK=2同求△BCC1的周長.

B

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=/-(67+1)阮v(aW-l).

(1)當a=0時，求/(x)的單調區(qū)間；

(2)若/(x)》(a2-a)//tr對(1,+°°)恒成立，求”的取值范圍.

21.(12分)已知直線/：x+2=0，何為平面內一動點，過M作/的垂線,垂足為N,且向M?加=0

(。為坐標原點)，動點M的軌跡記為C.

(1)證明。為拋物線，并指出它的焦點坐標.

(2)已知P(0,1),直線x-y+/=0(r<0)與Q交于A,B兩點，直線PA,PB與a

的另一交點分別是C,。，證明：AB//CD.

(二)選考題：共10分.請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一個題目計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(10分)在數(shù)學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中著名的有笛卡爾心型曲線.如

圖，在直角坐標系中，以原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線

就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為p=l-sine(0W8<如，p'O),M為該曲線上

一動點.

(1)當|?！眧=如，求M的直角坐標;

7T

(2)若射線OM逆時針旋轉$后與該曲線交于點M求△OMN面積的最大值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知正數(shù)a,b,c,d滿足證明:

1

(1)0<ac+bd<2；

1144

⑵了+屹+/+》236.

2022年陜西省榆林市高考數(shù)學二模試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）復數(shù)z=i（1+2尸）的實部為（）

A.-2B.0C.1D.2

【解答】解：'：z=i（1+2,3）=i+2ii=2+i,

，z的實部為2.

故選：D.

2.（5分）定義集合且煌8}.已知集合4={0,2,4,5},B=[-0,3},

則A-B=（）

A.{0}B.{-1,3}

C.{2,4,5}D.{-1,0,2,3,4,5}

【解答】解：已知集合4={0,2,4,5},B=[-1,0,3},

又集合A-B={x\xEA且x^B],

則A-B={2,4,5）,

故選：C.

3.（5分）若方程/+丫2+61+m=0表示一個圓，則"?的取值范圍是（）

A.（-8,9）B.（-8,-9）C.（9,+8）D.（-9,+°°）

【解答】解：?.,f+）2+6x+,w=0表示一個圓，

（x+3）2+/=9-;n>0,解得機<9,

故m的取值范圍是（-8,9）.

故選：A.

4.（5分）曲線y=￥-x在點（1,0）處的切線方程為（）

A.y=4x-4B.y—5x-5C.y—6x-6D.y—lx-7

【解答】解：因為y'=6/-l,

所以曲線y=F-x在點（1,0）處的切線的斜率為6-1=5,

故所求切線方程為y=5x-5.

故選：B.

5.（5分）甲和乙約定周日早上在學校門口見面，當天先到者等未到者20分鐘，超過20分

鐘對方未到就離開.當天早上，乙將在6點40分到7點50分之間任意時刻到達學校門

口，甲于7點10分到達學校門口，則兩人可以碰面的概率為（）

2345

A.-B.一C.一D.—

7777

【解答】解：由題意乙在6點50分至7點30分到達學校門口，兩人可以碰面，

...兩人可以碰面的概率為P=常接=

。UI乙U/

故選：C.

6.（5分）某公司為了確定下一年投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：萬元）

對年銷售量y（單位：千件）的影響.現(xiàn)收集了近5年的年宣傳費x（單位：萬元）和年

銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)如下表所示，且y關于x的線性回歸方程為y=

bx-8.2,則下列結論錯誤的是（）

X4681012

y1571418

A.x,y之間呈正相關關系

B.b=2.15

C.該回歸直線一定經過點（8,7）

D.當此公司該種產品的年宣傳費為20萬元時，預測該種產品的年銷售量為34800件

11

【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得，元=/（4+6+8+10+12）=8，9氣X（1+5+7+

14+18）=9,

故回歸直線一定經過點（8,9）,

故9=8b—8.2,解得b=2.15,故AB正確，C錯誤，

將x=20代入y=2.15%—8.2,解得y=34.8,

故當此公司該種產品的年宣傳費為20萬元時，預測該種產品的年銷售量為34800件，故

D正確.

故選：C.

7.（5分）2sinl400+cos70°=（）

A.V3sinll0°B.V3sinll00+2sin20°

C.V3cosllO°D.V3cosllO°+2sin20°

【解答】解：2sinl400+cos700=2sin(110°+30°)+cos700=V3sinll00+cos110"

+cos700=V3sinll00.

故選：A.

8.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的5=0,則輸入的實數(shù)尤的取值共有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：由程序框圖可知，該循環(huán)需循環(huán)2次輸出結果，

則輸出5=(x2-1)2-1,令(x2-1)2-]=0,解得x=0或x=±V2,

故輸入的實數(shù)x的取值共有3個.

故選：C.

9.(5分)已知函數(shù)/(x)=lgx,現(xiàn)有下列四個命題：

◎(2),/(V10),/(5)成等差數(shù)列；

(gy(2),/(4),/(8)成等差數(shù)列；

(§y(2),/(12),/(72)成等比數(shù)列；

@(2),/(4),/(16)成等比數(shù)列.

其中所有真命題的序號是()

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

【解答】解：對于①，/(2)4/(5)=/g2+/g5=/gl0=l,2/-(VT0)=2^V10=L

故/(2),/(V10),/(5)成等差數(shù)列，故是真命題；

對于②，f(2)+f(8)=/g2+/g8=/gl6,2/-(4)=2/g4=/gl6,

故f(2),/(4),/(8)成等差數(shù)列，故是真命題；

對于③，f(2)?/(72)=lg2'lg12<(如產￡)2=[g2]2=/(12),

故/(2),f(12),/(72)不成等比數(shù)列，故是假命題；

對于④，f(2)/(16)=lg2rgi6=4貸2=(2/g2)2=lg24=f(4),

故”2),f⑷,/(16)成等比數(shù)列，故是真命題；

故選：D.

10.(5分)已知|&|==2,|而|=1,貝“&+3而|=()

A.2B.4C.V10D.V15

【解答】解：由題意，可得|&|==|后-

即&2=(OB-OA)2=OB2-2OA-OB+OA2,

又|易|=2,\OB\=1,

代人可得4-=\-2OA-OB+4,解得&-OB=

TT(->/->T—TI1-

所以|OA+3OB|=J(CM+3OB)2=^OA2+6OA-OB+9OB2=14+6x升9=4,

故選：B.

11.(5分)函數(shù)/(x)=Asin(3x+cp)(A>0,<o>0,|q)|<ir)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將

/(%)的圖象向右平移菅個單位長度，得到函數(shù)尸g(x)的圖象，則g(x)在區(qū)間電，

著]上的值域為()

A.[-V2,2]B.[-1,V2]C.[0,V2]D.[0,2]

【解答】解：根據(jù)

函數(shù)/(x)=4sin(wx+<p)(A>0,a)>0,|<p|<ir)的部分圖象，

127rUTT77r

可嶗.了=一,.*.0)=3.

1212

結合五點法作圖,3xY24_<p=2ir,(p=故/(X)=Asin(3x+,).

7T37rTC

再把點97)代入‘可得7=Asin(3+J,

.\A=V2,f(x)=V2sin(3x+*).

71

現(xiàn)將/(X)的圖象向右平移三個單位長度,

6

得到函數(shù)產g(x)=V2sin(3x-J)的圖象,

在區(qū)間[金，瑞]上，3x—nJ,

g(x)=V2sin(3x-左)G[0,V2],

故選：C.

12.(5分)如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是16百cm2的正

三角形.若在該酒杯內放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則酒杯

可放置圓柱形冰塊的最大體積為()

A.3V37rcm3B.8yf3ncm3

25673,

C.--------ncmD.9V37rczn3

27

【解答】解：設圓錐底面圓的半徑為Rem,圓柱形冰塊的底面圓半徑為XC7”，高為hem,

由題意得一X(2R)2=16百，解得R=4,

4

n「

/zWtan—?(R-x)=y/3(4-x),(0<x<4),

3

設圓柱形冰塊的體積為區(qū)〃3

貝(JVwV57rx2(4-x)(0<x<4),

設/(x)=V3TTX2(4-x),則/(x)=y/3nx(8-3x),

Q8

當0<冗<與時，/(x)>0,當一<rV4時，f(x)<0,

3J3

.V(x)=V3TTX2(4-x)在工=9處取得極大值，也是最大值，

..zx—3_256757r

??/(X)max-f=—2y~?

???酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為紀鐺^.

27

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.

13.(5分)己知f(x)為奇函數(shù)，當x>0時，"幻=12"0、久&2,則學義=-3

廢+2,x>2,/(I)

‘2",0<x<2,

【解答】解：根據(jù)題意，當x>0時，/(x)=

.%+2,x>2,

則/(I)=21=2,f(4)=4+2=6,

又由/(x)為奇函數(shù)，則/(-4)=-f(4)=-6,

小J(一4)-6

故、/、=一:

/⑴2

故答案為：-3.

14.(5分)在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO是矩形，附，底面ABC。，且%=48,AD=

用AB,則tan/4PC=2.

【解答】解：：B4_L底面A8CD,ACu底面ABC。,

：.PALAC,

設AB=1,則以=1,AD=V3,AC=ylAD2+CD2=2,

Ar

/.tanZAPC=方=2.

故答案為：2.

15.(5分)△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4sin2C=sin2A,cosB=

【解答】解:因為4sin2c=sin2A,

所以由正弦定理可得4c2=/，可得。=2c,

a2+c2—b5

因為cosB=

故答案為：

16.（5分）設P為橢圓M：9+y2=1和雙曲線N；/一1=i的一個公共點，且「在第

V14一

一象限，F(xiàn)是M的左焦點，則M的離心率為一,|尸網=1+2人.

【解答】解：M的離心率6=卜二=孚；

\O4,

設M的右焦點為尸'，因為8-1=1+6,且M與N的焦點都在x軸上，

所以橢圓M與雙曲線N的焦點相同，

所以|PF|+|PF'|=2展=4V2,\PF\-|PFZ|=2,

解得|PF|=1+2V2,

故答案為：;1+2-\/2.

4

三、解答題：共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）一次性醫(yī)用口罩是適用于覆蓋使用者的口、鼻及下頜，用于普通醫(yī)療環(huán)境中阻

隔口腔和鼻腔呼出或噴出污染物的一次性口罩.按照我國醫(yī)藥行業(yè)標準，口罩對細菌的

過濾效率達到95%及以上為合格，98%及以上為優(yōu)等品.某部門為了檢測一批口罩對細

菌的過濾效率，隨機抽檢了200個口罩，將它們的過濾效率（百分比）按照[95,96）,[96,

97）,[97,98）,[98,99）,[99,100]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中機的值及這200個口罩中優(yōu)等品的頻率；

（2）為了進一步檢測樣本中優(yōu)等品的質量，用分層抽樣的方法從[98,99）和[99,100]

兩組中抽取21個口罩，已知過濾效率百分比低于99%的檢測費為每個8元，不低于99%

的檢測費為每個12元，求這21個口罩的檢測總費用.

【解答】解:(1)由圖可知，m=\-(0.15+0.20+0.30+0.10)=0.25,

這200個口罩中優(yōu)等品的頻率為0.25+0.1=0.35：

0.25

(2)因為機=0.25,所以從［98,99)中抽取--------x21=15個，從［99,100］中抽取

0.25+0.1

0.1,

--------x21=6個，

0.25+0.1

故這21個口罩的檢測總費用為15X8+6X12=192元.

18.(12分)已知正+22+…+九2=酊(九+1)(2/1+1),數(shù)列｛4〃｝滿足〃〃+1-〃〃=〃2+2〃+1,a\=

1.

(1)求｛〃〃｝的通項公式；

(2)設兒=篇,求數(shù)列｛a｝的前〃項和品.

【解答】解：(1)因為mM-a〃=/+2〃+l=(n+1)2,

222

所以-=2/a3-a2=3,…，0n—an_r=n(n>2),

2

以上各式相加得，0n—的=2?+32+…+n(n>2),

222

又m=l,所以an=I4-2H---Fn=^n(n+l)(2n+1),

當〃=1時，ai=1=x1x(1+1)x(2x1+1),滿足上式，

故｛?！ǎ耐椆綖閮?^n(n+l)(2n+1).

(2)由(1)知，bn=￡1=看幾(九+1)，

71Zn4-16''

1611

所以丁=—77=6(———7)，

bnn(n+l)nn+1

4故"Sn=6xx(zil—2I+.21—w1+.…+.而1一帝I、)=6，乂(“1一有1、)=曰6n.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，點Bi在底面ABC內的射影恰好是點C.

(1)若點。是4c的中點，且證明：AB1CC1.

(2)已知BiCj=2,BrC=2V3,求△BCCi的周長.

【解答】（1）證明：???點在底面A8C內的射影是點C,

平面A8C,

：ABu平面ABC,/.BiClAB.

在△ABC中，DA=DB=DC,：.BC±AB,

'：BCQB\C=C,."B_L平面BCC1B1,

；CCiu平面BCC1B1,：.ABLCC\.

（2）解：（方法一）延長BC至點E,使BC=CE,

連接CiE,則BiGIICE,四邊形BiCECi為平行四邊形，

則GEIIBC

由（1）知BiCJ_平面ABC,平面ABC,

ACiEXCE,C\ELBE,

"：CrE=BrC=2V3,CE=BC=B?=2,BE=4,

CCi=yjCE2+CjE2=4,8G=JC[E2+BE2=2^7,

：./\BCCi的周長為2+4+2夕=6+2yH.

（方法二）在RtABiCCi中，CQ=yjBC+B[C?=4,

tanZB^^==冬貝ij/Bg=看，

?_yryr_27r

-8+2-丁

VBC=B1C1=2,

；.由余弦定理得BCi=心+42-2x2X4cos爭=2夕，

：./\BCCi的周長為6+2V7.

20.（12分）已知函數(shù)f（x）=x2-（a+1）Inx（a#-1）.

（1）當。=0時，求/（x）的單調區(qū)間；

（2）若/（x）2（/_〃）對正（1,+8）恒成立，求〃的取值范圍.

【解答】解：（1）/（x）的定義域為（0,+8）,……（1分）

192_I

當“=0時，f'（x）=2%-i=^Y-!..……（2分）

當》6（0,孝）時，f（x）<0,則/（X）的單調遞減區(qū)間為（0,孝），……（4分）

當*6（孝，+8）時，/（x）>0,則/（x）的單調遞增區(qū)間為（孝，+00）.……（6分）

（2）由/（x）》（.a2-a）/nx對（1,+°°）恒成立，得a2+1士第對無€（1,+~）

恒成立.……（7分）

設/（X）=30>1），貝必/0）=劌瞪？］.當x€（1,孤）時，h'（x）<0；當x6（近，

+8）時，h（x）>0.……（9分）

所以4（x）min=九（叁）=2e,......（10分）

則d+iWZe,.......（11分）

解得72e-1<a<V2e-1,

故〃的取值范圍是［-757=1,快=1］.……（12分）

21.（12分）已知直線/：萬+2=0,用為平面內一動點,過出作/的垂線,垂足為可,且疝?加=0

（。為坐標原點），動點M的軌跡記為C.

（1）證明Q為拋物線，并指出它的焦點坐標.

（2）已知尸（0,1）,直線x-y+r=0GV0）與Q交于A,2兩點，直線B4,PB與C

的另一交點分別是C,D,證明：AB//CD.

【解答】(1)證明：設M(x,y),則N(-2,y),OM=(x,y),ON=(—2,y),

因為OM?ON=0,所以-2x+y2=0,

則Q的方程為B=2x,

故Q為拋物線，且焦點坐標為0）；

（2）證明：設4（xi,yi）,B（X2,）2）,C（刈，”），D（%4,泗）,

聯(lián)立卜-2X，,得y2-2y+2f=0,

\y=x1,

則A=4-8/>0,yi+y2=2,y\y2=2t,

直線PA的方程為y=2/%+1,

2（為一1）

yx+1/

聯(lián)立yl>得Si-l)y2-yfy+yf=0,

y22x,

由韋達定理得為力丁3=望彳，

所以曠3=懸，同理可得以,y2

丫2一「

九一為=%一丫3=2=2=2/仍一仇+及)+1]=2(2t-2+l)=