專題1.1 絕對值貫穿有理數(shù)經(jīng)典題型（八大題型）原卷版

專題1.1絕對值貫穿有理數(shù)經(jīng)典題型（八大題型）重難點題型歸納【題型1利用絕對值的性質(zhì)化簡或求值】【題型2根據(jù)絕對值的非負性求值】【題型3根據(jù)參數(shù)的取值范圍化簡絕對值】【題型4根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】【題型5根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】【題型6絕對值中分類討論問題】【題型7絕對值中的分類討論之多絕對值問題】【題型8絕對值中最值問題】滿分必練【題型1利用絕對值的性質(zhì)化簡或求值】【典例1】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示．（1）在數(shù)軸上表示﹣c，|b|．（2）試把﹣c，b，0，a，|b|這五個數(shù)從小到大用“＜”連接起來；（3）化簡|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|．【變式1-1】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，化簡|b+a|+|a+c|+|c﹣b|的結果是（）A．2b﹣2c B．2c﹣2b C．2b D．﹣2c【變式1-2】a、b、c三個數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，且|a|＝|b|（1）求出a、b、c各數(shù)的絕對值；（2）比較a，﹣a、﹣c的大??；（3）化簡|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【題型2根據(jù)絕對值的非負性求值】【典例2】已知|a?|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【變式2-1】已知實數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化簡|a|+|﹣2b|+3a．【變式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．計算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【變式2-4】已知m，n滿足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【變式2-5】已知|a﹣3|與|2b﹣4|互為相反數(shù)．（1）求a與b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反數(shù)．【變式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【變式2-7】若a、b都是有理數(shù)，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求+++……+的值．【題型3根據(jù)參數(shù)的取值范圍化簡絕對值】【典例3】已知1＜a＜4，則|4﹣a|+|1﹣a|的化簡結果為（）A．5﹣2a B．﹣3 C．2a﹣5 D．3【變式3-1】已知1＜x＜2，則|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2 C．2x D．﹣2【變式3-2】若1＜x＜2，則化簡|x+1|﹣|x﹣2|的結果為（）A．3 B．﹣3 C．2x﹣1 D．1﹣2x【變式3-3】已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|b+1|﹣|b﹣a|的結果為（）A．a(chǎn)﹣2b﹣1 B．a(chǎn)+1 C．﹣a﹣1 D．﹣a+2b+1【變式3-4】若a＜0，則化簡|3﹣a|+|2a﹣1|的結果為．【題型4根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】、【典例4】在實數(shù)a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，則下列結論：①|(zhì)a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-1】將符號語言“|a|＝a（a≥0）”轉(zhuǎn)化為文字表達，正確的是（）A．一個數(shù)的絕對值等于它本身 B．負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù) C．非負數(shù)的絕對值等于它本身 D．0的絕對值等于0【變式4-2】已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡|a+c|﹣|a+b|的結果是（）A．2a+b+c B．b﹣c C．c﹣b D．2a﹣b﹣c【變式4-3】下列說法中正確的是（）A．兩個負數(shù)中，絕對值大的數(shù)就大 B．兩個數(shù)中，絕對值較小的數(shù)就小 C．0沒有絕對值 D．絕對值相等的兩個數(shù)不一定相等【題型5根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】【典例5】若|5﹣x|＝x﹣5，則x的取值范圍為（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【變式5-1】已知|a|＝﹣a，則化簡|a﹣1|﹣|a﹣2|所得的結果是（）A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a【變式5-2】若|1﹣a|＝a﹣1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)≤1【變式5-3】若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是．【題型6絕對值中分類討論問題】【典例6】計算：（abc≠0）＝．【變式6-1】若n＝，abc＞0，則n的值為．【變式6-2】已知abc＞0，則式子：＝（）A．3 B．﹣3或1 C．﹣1或3 D．1【變式6-3】已知a，b為有理數(shù)，ab≠0，且．當a，b取不同的值時，M的值等于（）A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【變式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．則m共有x個不同的值，若在這些不同的m值中，最大的值為y，則x+y＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式6-5】已知a、b、c均為不等于0的有理數(shù)，則的值為．【變式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值為n，求的值．【變式6-8】在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的“探究”【提出問題】三個有理數(shù)a、b、c滿足abc＞0，求++的值．【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①當a，b，c都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時，則：++＝++＝1+1+1＝3；②當a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，設a＞0，b＜0，c＜0，則：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值為3或﹣1．【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）三個有理數(shù)a，b，c滿足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【變式6-9】閱讀下列材料完成相關問題：已知a，b、c是有理數(shù)（1）當ab＞0，a+b＜0時，求的值；（2）當abc≠0時，求的值；（3）當a+b+c＝0，abc＜0，的值．【題型7絕對值中的分類討論之多絕對值問題】【典例7】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點之間的距離；（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說明理由．【變式7-1】（2022春?寶山區(qū)校級月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為．【變式7-2】（2022秋?玉門市期末）在數(shù)軸上有四個互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【題型8絕對值中最值問題】【典例8】結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是；表示﹣2和1兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣3與5之間，則|a+3|+|a﹣5|＝．（5）當a＝1時，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【變式8-1】結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．如果表示數(shù)a和﹣1的兩點之間的距離是3，那么a＝．（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|的值為；（3）利用數(shù)軸找出所有符合條件的整數(shù)點x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，這些點表示的數(shù)的和是．（4）當a＝時，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【變式8-2】結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|＝．【變式8-3】閱讀下面材料并解決有關問題：我們知道：|x|＝．現(xiàn)在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在實數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和，x＝2可將全體實數(shù)分成不重復且