數(shù)字信號處理課件5

5.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)特點與表示方法5.2無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）濾波器的基本結(jié)構(gòu)5.3有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）濾波器的結(jié)構(gòu)5.4數(shù)字濾波器的MATLAB實現(xiàn)5.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)特點與表示方法一、數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)特點數(shù)字濾波器實際上是一種運算過程，是指完成頻率選擇或頻率分辨任務(wù)的線性時不變系統(tǒng)的通用名稱。

離散時間LTl系統(tǒng)也稱為數(shù)字濾波器。其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺數(shù)字式的處理設(shè)備。

數(shù)字濾波器按頻率特性劃分也有低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型。由于頻率響應(yīng)的周期性，頻率變量以數(shù)字頻率ω來表示(ω＝ΩΤ＝Ω／fs，Ω為模擬角頻率，Τ為抽樣時間間隔，fs為抽樣頻率，所以數(shù)字濾波器設(shè)計中必須給出抽樣頻率)。

數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng)，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程

（5.1）則其系統(tǒng)函數(shù)，即濾波器的傳遞函數(shù)為

（5.2）實現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法有兩種：一種是設(shè)計專用的數(shù)字硬件、專用的數(shù)字信號處理器或采用通用的數(shù)字信號處理器來實現(xiàn)；另一種是直接用計算機(jī)，將所需要的運算編成程序來執(zhí)行，這也就是用軟件來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。P149實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器需要三種基本的運算單元

1.加法器：此元件有兩個輸入和一個輸出，三個或多個信號的相加由相連的兩輸入加法器實現(xiàn)。2.乘法器(增益)：這是一個單人單出元件，由于乘1時易于理解，因此，這里明確給出示意圖。

3.延遲元件(移位或記憶)：此元件把通過它的信號延遲一個樣本，是由移位寄存器實現(xiàn)的。

對于同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z)，對輸入信號的處理可實現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對應(yīng)于一種不同的運算結(jié)構(gòu)(網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu))。因而一個數(shù)字濾波器的運算結(jié)構(gòu)也有這樣兩種表示法:方框圖表示法、線性信號流圖表示法。

二、數(shù)字濾波器的表示方法線性信號流圖本質(zhì)上與方框圖表示法等效，只是符號上有差異。

現(xiàn)以一個二階數(shù)字濾波器系統(tǒng)為例，說明表示離散時間系統(tǒng)運算結(jié)構(gòu)的方框圖和信號流圖方法。設(shè)此二階數(shù)字系統(tǒng)的差分方程為則其系統(tǒng)函數(shù)為

由式(5．3)可得如圖5．2所示的方框圖

由圖可知實現(xiàn)離散時間系統(tǒng)的運算結(jié)構(gòu)。如果系統(tǒng)是在一臺通用計算機(jī)上進(jìn)行軟件實現(xiàn)，圖5．2所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可作為實現(xiàn)該系統(tǒng)的編程基礎(chǔ)；如果是用硬件實現(xiàn)，該方框圖給出了系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)。

在信號流圖中，基本運算單元形成的有向支路將節(jié)點連接成一個網(wǎng)絡(luò)，每一節(jié)點可以有幾條輸入支路和幾條輸出支路，與各節(jié)點相關(guān)的節(jié)點變量值等于該節(jié)點的所有輸入信號之和，如果一個節(jié)點有兩個以上的輸入支路，該節(jié)點就相當(dāng)于一個加法器。輸入信號x(n)處的節(jié)點稱為源節(jié)點，輸出信號y(n)處的節(jié)點稱為匯節(jié)點，源節(jié)點沒有輸入支路，匯節(jié)點只有輸入支路。每一支路都有輸入信號和輸出信號，輸出信號值等于該支路的傳輸函數(shù)與輸入信號Z變換的乘積。因此，當(dāng)支路傳輸函數(shù)為常數(shù)時，輸出信號值等于該支路起點處的節(jié)點信號值與常數(shù)的乘積；如果支路上沒有標(biāo)明傳輸系數(shù)值，則其傳輸系數(shù)為1；當(dāng)支路傳輸函數(shù)為單位延遲Z-1時，輸出信號值等于該支路起點處的節(jié)點信號值延遲一個樣本。由式(5．3)可得如圖5．3所示的信號流圖

因此，運算結(jié)構(gòu)是非常重要的，不同的結(jié)構(gòu)會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性以及運算速度等重要的性能。在有限精度(有限字長)情況下，不同運算結(jié)構(gòu)的誤差、穩(wěn)定性是不同的。

數(shù)字濾波器有無限長單位沖激響應(yīng)(infiniteimpulseresponse，IIR)數(shù)字濾波器和有限長單位沖激響應(yīng)(finiteimpulseresponse，F(xiàn)IR)數(shù)字濾波器兩種。

從結(jié)構(gòu)上看，無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器采用遞歸結(jié)構(gòu)，有限長單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器采用非遞歸結(jié)構(gòu)。兩者各有不同的特點。5.2無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)濾波器的基本結(jié)構(gòu)

如果一個LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)具有無限長度，則此系統(tǒng)稱為無限長沖激響應(yīng)(IIR)濾波器。無限長單位沖激響應(yīng)濾波器有三個特點：（1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的。（2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（0＜z＜∞）上有極點存在。無限長單位沖激響應(yīng)濾波器的基本結(jié)構(gòu)有：（3）結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞歸的。直接I型、直接II型、級聯(lián)型和并聯(lián)型P151P151一、直接I型IIR濾波器

一個N階的IIR濾波器的輸入輸出關(guān)系可以用如式(5．1)所示的N階的差分方程來描述。(5．1)構(gòu)成直接I型特點：（1）表示將輸入及延時后的輸入組成M節(jié)的延時網(wǎng)絡(luò)，即橫向延時網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)零點。（2）表示輸出及其延時組成N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)極點。（3）直接I型需要N+M級延時單元。如圖5.4二、直接Ⅱ型IIR濾波器

一個線性時不變系統(tǒng)，交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，即總的輸入輸出關(guān)系不改變。直接II型是直接I型變換結(jié)構(gòu)。直接Ⅱ型IIR濾波器結(jié)構(gòu)又稱為正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)。

直接I型IIR濾波器結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可以看成是獨立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積。輸入信號x(n)先通過系統(tǒng)H1(z)，得到中間輸出變量yl(z)，通過系統(tǒng)H2(z)得到輸出信號y(n)，即可得到另一種結(jié)構(gòu)(如圖5．5所示)。它包含了兩個級聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)，第一個實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的極點，第二個實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的零點。兩行串行延時支路有相同的輸入，因而可以把它們合并，得到圖5．6的結(jié)構(gòu)，稱為直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)或典范型結(jié)構(gòu)。

比較圖5．4和圖5．6可知：

⑴直接Ⅱ型比直接Ⅰ型IIR濾波器的結(jié)構(gòu)延時單元少，用硬件實現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，比直接I型經(jīng)濟(jì)；若用軟件實現(xiàn)則可節(jié)省存儲單元。⑵它們都是直接型的實現(xiàn)方法，其共同的缺點是系數(shù)aκ，bκ對濾波器的性能控制作用不明顯，這是因為它們與系統(tǒng)函數(shù)的零、極點關(guān)系不明顯，因而調(diào)整困難；⑶這種結(jié)構(gòu)極點對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系數(shù)的變化過于靈敏，也就是對有限精度(有限字長)運算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。高階系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)都存在調(diào)整零、極點困難，對系數(shù)量化效應(yīng)敏感度高等缺點。例1用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)。

解（5.2）

謝謝！作業(yè)：P169)5.3

三、級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

若把式(5．2)描述的N階IIR濾波器的函數(shù)H(Z)的分子和分母分別進(jìn)行因式分解，則可表示成：

式中，A為常數(shù)，Ck和dk分別表示H(z)的零點和極點。

由于H(z)分子、分母是實系數(shù)多項式，而實系數(shù)多項式的根只有實根和共軛復(fù)根兩種情況。將每一對共軛零點(極點)合并起來構(gòu)成一個實系數(shù)的二階因子，并把單個的實根因子看成是二次項系數(shù)等于零的二階因子，則可以把H(z)表示成多個實系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的連乘積形式，如式(5．6)所示：系統(tǒng)函數(shù)按零極點進(jìn)行分解得把共軛因子合并有H(z)完全分解成實系數(shù)的二階因子形式

若每一個實系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)函數(shù)Hk(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，則可以得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖5．7所示。在級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每個一階網(wǎng)絡(luò)只關(guān)系到濾波器的一個零點、一個極點；每個二階網(wǎng)絡(luò)只關(guān)系到濾波器的一對共軛零點和一對共軛極點。調(diào)整系數(shù)β0j，β1j，β2j只影響濾波器的第j對零點，對其他零點并無影響；同樣，調(diào)整分母多項式的系數(shù)α1j，α2j也只單獨調(diào)整了第j對極點。所以，這種結(jié)構(gòu)，便于準(zhǔn)確實現(xiàn)濾波器頻率響應(yīng)的性能。因此，與直接型結(jié)構(gòu)相比，級聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確地實現(xiàn)濾波器零、極點的調(diào)整。

級聯(lián)各節(jié)之間要有電平的放大和縮小，以使變量值不會太大或太小。不能太大是為了避免在定點運算中產(chǎn)生溢出現(xiàn)象；不能太小是為了防止信號與噪聲的比值太小，這將在以后討論。級聯(lián)結(jié)構(gòu)具有最少的存儲器。四、并聯(lián)型結(jié)構(gòu)將傳遞函數(shù)H(z)展開成部分分式的形式，就得到并聯(lián)型HR濾波器的基本結(jié)構(gòu)，即表示為若干一階和二階基本節(jié)網(wǎng)絡(luò)與一個常數(shù)B0之和其中M1+2M2＝N，同樣也可以統(tǒng)一表示為二階基本節(jié)的形式

并聯(lián)型結(jié)構(gòu)信號如圖5.8所示，其中二階基本節(jié)網(wǎng)絡(luò)可以用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。

并聯(lián)型結(jié)構(gòu)也可以單獨調(diào)整極點位置，但卻不能像級聯(lián)型結(jié)構(gòu)那樣直接控制零點的分布。因為并聯(lián)型結(jié)構(gòu)各二階基本節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點。因此，當(dāng)要準(zhǔn)確傳輸零點時，以采用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)為宜。不過，由于并聯(lián)型基本節(jié)之間互不影響，所以運算誤差比級聯(lián)型的要小一些。

傳輸函數(shù)為H(z)的濾波器的頻率特性為H(ejw)＝H(z)z=ejw。由于實際的濾波器都是穩(wěn)定系統(tǒng)，所有極點都在Z平面的單位圓內(nèi)，單位抽樣響應(yīng)h(n)是一個無限長的衰減序列，所以要截取有限長的一段來做頻率特性分析。截取的長度越長，逼近的程度越高。5．3有限長單位沖激響應(yīng)(FIR)濾波器的結(jié)構(gòu)

如果一個LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)長度有限，則此系統(tǒng)稱為有限長度沖激響應(yīng)(或FIR)濾波器。FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)是一個有限序列，其濾波器的結(jié)構(gòu)采用非遞歸結(jié)構(gòu)。有限長單位沖激響應(yīng)濾波器有三個特點：⑴系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個n個值處不為零；

⑵系統(tǒng)函數(shù)H(z)在︱z︱＞0處收斂，︱z︱＞0處只有零點，有限Z平面只有零點，而全部極點都在z＝0處(因果系統(tǒng))；⑶結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中(例如頻率抽樣結(jié)構(gòu))也包含有反饋的遞歸部分。

設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)為一個N點序列；0≤n≤N一1，則濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：有(N一1)階極點在z＝0處，有(N一1)個零點位于有限Z平面的任何位置。

基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有四種：直接型、級聯(lián)型、頻率采樣型和快速卷積型。

P154式(5．9)系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式為：該結(jié)構(gòu)利用輸入信號x(n)和濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)的線性卷積來描述輸出信號y(n)，故稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也可稱為直接型結(jié)構(gòu)。一、直接型很明顯，這就是線性時不變系統(tǒng)的卷積和公式，也是x(n)的延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)(如圖5．9所示)

為了得到FIR系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實系數(shù)因子的形式：二、級聯(lián)型由于式(5．11)可得到FIR系統(tǒng)的級聯(lián)結(jié)構(gòu)(如圖5．10所示)。

級聯(lián)結(jié)構(gòu)中每一基本節(jié)控制一對零點，所用的系數(shù)乘法次數(shù)比直接型多，運算時間較直接型長。

由頻率采樣定理可知，對有限長序列h(n)的Z變換，H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣，N個頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對應(yīng)的時域信號h(n)，是原序列h(n)以采樣點數(shù)N為周期進(jìn)行周期延拓的結(jié)果，當(dāng)N大于等于原序列h(n)長度M時，hN(n)＝h(n)，不會發(fā)生信號失真，此時H(z)可以用頻域采樣序列H(R)內(nèi)插得到，內(nèi)插公式如下：則有

這個公式就為FIR濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)由兩部分級聯(lián)組成。三、頻率采樣型H(z)的第一部分Hc(z)＝1一e—N，其頻率響應(yīng)為

頻率特性是一個由N階延時單元組成的梳狀濾波器(如圖5．11所示)

它在單位圓上有N個等間隔的零點。

第二部分由N個一階網(wǎng)絡(luò)Hk′(z)組成的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，每個一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點，因此，H(z)的第二部分是一個有N個極點的諧振網(wǎng)絡(luò)。這些極點正好與第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應(yīng)等于H(k)。N個并聯(lián)諧振器與梳狀濾波器級聯(lián)后，就得到圖5．12的頻率采樣結(jié)構(gòu)。此頻率采樣結(jié)構(gòu)的特點是它的系數(shù)H(k)就是濾波器在處的響應(yīng)，因此，控制濾波器的頻率響應(yīng)很方便。

FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)的主要優(yōu)點：（1）它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在ω＝處的響應(yīng)值，因此可以直接控制濾波器的響應(yīng)；（2）只要濾波器的N階數(shù)相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結(jié)構(gòu)便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)的兩個缺點：（1）該濾波器所有的系數(shù)H(k)和WN-k一般為復(fù)數(shù)，增加了乘法次數(shù)和存儲量，復(fù)數(shù)相乘運算實現(xiàn)起來較麻煩；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證