清華大學靜力學(十)

材料力學歡送學習張毅主編董桂花徐繼忠潘立常副主編2006年6月第1章靜力學根底第2章平面匯交力系第3章力矩平面力偶系第4章平面一般力系第6章材料力學根底第8章剪切第9章扭轉(zhuǎn)第5章空間力系重心第7章軸向拉伸和壓縮材料力學第10章截面的幾何性質(zhì)第11章彎曲內(nèi)力第12章彎曲應力第13章彎曲變形第15章組合變形的強度計算第14章應力狀態(tài)理論和強度準那么第16章壓桿穩(wěn)定材料力學第10章截面的幾何性質(zhì)10.1靜矩和形心10.2慣性矩與慣性積10.3平行移軸定理及組合截面慣性矩的計算10.4轉(zhuǎn)軸定理主慣性軸主慣性矩10.5小結(jié)本章學習要求理解靜矩、慣性矩、慣性積的概念；能夠確定一般簡單圖形的形心位置，熟練計算圖形對指定坐標軸的靜矩和慣性矩。理解和掌握平行移軸定理，熟悉平行移軸定理中各項的意義；能夠利用移軸公式計算常用的組合圖形的慣性矩。了解轉(zhuǎn)軸定理，理解形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念；能夠計算一般圖形的形心主慣性矩。10.1靜矩和形心從任意物體(設(shè)面積為A中取微面積dA，如圖10.1所示，其在圖中所示的坐標系yoz中對應的坐標為，把乘積zdA及ydA分別稱為微面積對于y軸和z軸的靜矩。而對于整個圖形而言，應計算其總和。即微面積dA與其到某一坐標軸距離的乘積在整個面積上的總和，稱為圖形對該軸的靜矩(或面積矩)，用Sy和Sx表示。故有圖10.1靜矩與形心關(guān)系圖(10.1)對于任一形狀的截面圖形，可通過積分關(guān)系建立靜矩與形心坐標之間的關(guān)系由此可見：(1)截面對于某一軸的靜矩假設(shè)等于零，那么該軸必通過截面的形心。(2)截面對于通過其形心的軸的靜矩恒等于零。故公式(10.1)可改寫為(10.3)(10.2)當截面由假設(shè)干個簡單圖形如矩形、圓形、三角形等組成時，這種截面稱為組合截面。由于簡單圖形的面積及其形心位置均為，由面積矩的定義可知，截面各組成局部對于某一軸的靜矩，可用下式表述設(shè)組合截面的形心坐標為yc、zc，那么有式中，Ai、yci、zci分別表示任一簡單圖形的面積及其形心在坐標系中的坐標；(10.5)(10.4)10.2慣性矩與慣性積圖10.1所示的圖形中，微面積dA與它到z軸(或y軸)距離平方的乘積在整個截面上的總和，稱為截面對z軸(或y軸)的慣性矩，用Iz(或Iy)表示慣性矩Iz、Iy恒為正值，且不會等于零。(10.6)1.慣性矩2.慣性積截面上的微面積dA與它到y(tǒng)、z軸距離的乘積的總和，稱為截面對y和z軸的慣性積，用Izy表示(10.7)慣性積的量綱也是[長度]4。它的值可能為正，可能為負，也可能為零。極慣性矩在扭轉(zhuǎn)計算中已遇到過，它的定義是：截面上的微面積dA與它到坐標原點(也稱極點)距離ρ平方的乘積在整個面積上的總和，稱為截面的極慣性矩，記為Ip3.極慣性矩(10.8)極慣性矩的量綱是[長度]4，它的值恒為正。從圖10.1中可以看到此式說明Ip、Iy、Iz之間的關(guān)系為：截面對任意兩個相互垂直的軸的交點的極慣性矩，等于截面對該兩軸慣性矩之和。代入式(10.8)后，可得10.3平行移軸定理及組合截面慣性矩的計算同一截面對不同坐標軸的慣性矩是不相同的，但相互之間存在一定的關(guān)系。1.平行移軸定理如圖10.2所示，c為截面形心，yc和zc為形心軸，oz軸與zc軸相互平行，間距為a；y軸與yc軸相互平行，其間距為。相互平行的坐標軸間存在以下關(guān)系圖10.2平行移軸圖根據(jù)定義，截面圖形A對形心軸yc及zc的慣性矩分別為(a)(b)式(10.9)--式(10.11)稱為平行移軸定理，或平行移軸公式。對y、z軸的慣性矩分別為將(a)式代入(c)式中得(c)同理：即(10.9)(10.10)(10.11)由此可知：(1)截面對任意軸的慣性矩，等于截面對與該軸平行的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。由于面積為正值，a2及b2亦非負，因此，截面對形心軸的慣性矩是對所有與其平行的軸的慣性矩中的最小值。(2)截面對任意一對正交軸的慣性積，等于截面對與軸平行的一對正交形心軸的慣性積加上截面面積與兩對軸之間距離的乘積?！纠?0.4】計算圖10.3所示矩形截面對y與z軸的慣性矩Iy、Iz及慣性積Iyz。圖10.3例10.4圖解：矩形截面對形心軸yc與zc的慣性矩及慣性積分別為應用平行移軸公式可得組合圖形是由假設(shè)干個簡單圖形組成，由慣性矩的定義可知，組合圖形對某軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡單圖形對同一軸的慣性矩之和。由于各種簡單截面對形心軸的慣性矩通常為，故利用平行移軸公式計算組合截面的慣性矩十分方便。2.組合截面慣性矩的計算圖10.4所示一任意截面圖形，它對于通過其上任意一點O的y、z兩坐標軸的慣性矩Iy、Iz以及慣性積Iyz均為。假設(shè)這一對坐標軸繞O點旋轉(zhuǎn)α角至y1、z1位置，那么該截面對于這兩個新坐標軸y1、z1的慣性矩和慣性積分別為Iy1、Iz1和Iyz1，它們都可以用的Iy、Iz、Iyz和α角來表達。1.轉(zhuǎn)軸定理10.4轉(zhuǎn)軸定理主慣性軸主慣性矩圖10.4坐標軸旋轉(zhuǎn)關(guān)系圖如圖10.4所示截面內(nèi)任意微面積dA在y1Oz1中的坐標與在yOz中的坐標之間存在如下關(guān)系根據(jù)定義截面對z1軸的慣性矩為利用三角形關(guān)系上式中整理可得(10.12)同理可得式(10.21)--式(10.14)稱為慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。(10.13)比較式(10.12)和式(10.13)可得出如下關(guān)系(10.14)(10.15)(10.15)式說明截面對于通過同一點的任意一對正交坐標軸的慣性矩之和為一常數(shù)。截面對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩，簡稱主慣矩。這一對主慣性軸的交點與截面形心重合時就稱為形心主慣性軸；截面對于這一對軸的慣性矩即稱為形心主慣性矩。它們是在彎曲等問題的計算中所用到的截面的主要幾何性質(zhì)。2.形心主軸與形心主慣性矩為今后計算方便，可使用經(jīng)簡化后主慣性矩的計算公式對于任意形狀截面的形心主慣矩計算可按下述步驟進行(1)確定截面形心位置。(2)建立一對通過形心的坐標軸并計算出截面對這對軸的慣性矩Iy、Iz和慣性積Iyz。(3)應用公式確定形心主軸的位置。(4)應用公式計算形心主慣矩。2．截面的幾何性質(zhì)和計算公式有：10.5小結(jié)1．截面的幾何性質(zhì)都是對確定的坐標系而言的。靜矩和慣性矩是對一根坐標軸而言的；慣性積是對過一點的正交坐標系而言的；極慣性矩那么是對坐標原點而言的(1)靜矩(3)慣性矩(2)形心坐標公式(4)慣性積(1)極慣性矩(3)形心主軸和形心主慣性矩(2)平行移軸公式3．慣性矩、極慣性矩的值恒為正；靜矩、慣性積的值可能為正，可能為負，也有可能為零，其值與所選的坐標軸的位置有關(guān)。當軸通過形心時靜矩一定為零；當軸為對稱軸時慣性積一定為零。4．組合截面對形心軸的慣性矩的計算，是工程中常見的問題，也是本章的重點內(nèi)容，計算過程中需要使用平行移軸公式(平行移軸定理)。應用時需注意其適用條件：其中的一對軸必須是形心軸。使用慣性積的平行移軸公式時，應注意截面形心在平移后的坐標系中的坐標值a、b的正負號。5．在計算各個幾何量時，比照較復