第03講分式（講義）（原卷版）

第03講分式目錄TOC\o"13"\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一分式的相關(guān)概念題型01分式的判斷題型02利用分式有無(wú)意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍題型03利用分式值為正、負(fù)數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍題型04約分與最簡(jiǎn)公式題型05最簡(jiǎn)公分母考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)題型01利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化題型03利用分式的符號(hào)法則，將分式恒等變形考點(diǎn)三分式的運(yùn)算題型01分式的加減法題型02分式的乘除法題型03分式的混合運(yùn)算題型04分式的化簡(jiǎn)求值題型05零指數(shù)冪題型06分式運(yùn)算的八種技巧技巧一約分計(jì)算法技巧二整體通分法技巧三換元通分法技巧四順次相加法技巧五裂項(xiàng)相消法技巧六消元法技巧七倒數(shù)求值法技巧八整體代入法考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)分式的相關(guān)概念理解分式和最簡(jiǎn)分式的概念.在中考，主要考查分式的意義和分式值為零情況，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算考查常以選擇題、填空題、解答題的形式命題.分式的基本性質(zhì)能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分與通分.分式的運(yùn)算能對(duì)簡(jiǎn)單的分式進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算.考點(diǎn)一分式的相關(guān)概念分式的概念：如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子ABQUOTEAB叫做分式，A為分子，B為分母.對(duì)于分式AB來(lái)說(shuō)：①當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；②當(dāng)A=0且B≠0這兩個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，分式值為0.③當(dāng)A=B時(shí)，分式的值為1.當(dāng)A+B=0時(shí)，分式的值為1.④若AB>0，則A、B同號(hào);若AB<0，則A、約分的定義：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.最簡(jiǎn)公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式.通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.通分步驟：①定最簡(jiǎn)公分母；②化異分母為最簡(jiǎn)公分母.約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行恒等變形，即每個(gè)分式變形之后都不改變?cè)质降闹?區(qū)別1）約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，約分可使分式變簡(jiǎn)單.2）通分是針對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的，通分可使異分母分式化為同分母分式.最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．確定最簡(jiǎn)公分母的方法：類型方法步驟分母為單項(xiàng)式1）取單項(xiàng)式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù);2）取單項(xiàng)式中每個(gè)字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母中該字母的次數(shù).分母為多項(xiàng)式1）對(duì)每個(gè)分母因式分解;2）找出每個(gè)出現(xiàn)的因式的最高次冪,它們的積為最簡(jiǎn)公分母;3)若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的系數(shù).11.判斷一個(gè)式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡(jiǎn)后再判斷，例如：4aa2.分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無(wú)意義.3.約分是對(duì)分子、分母同時(shí)進(jìn)行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個(gè)因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.4.約分與通分都是根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式，通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．題型01分式的判斷【例1】（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式25x，1π，2x2+4，x2﹣2A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式11】（2022·上?！ど贤飧街行？寄M預(yù)測(cè)）下列各式中：a-b2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式12】（2021·四川遂寧·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等B．平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形C．在代數(shù)式1a，2x，xπ，985，4a+2b，13+y中，判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡(jiǎn)后的結(jié)果上看，如：4aa就是分式，而不是整式.D．若一組數(shù)據(jù)2、3、x判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡(jiǎn)后的結(jié)果上看，如：4a題型02利用分式有無(wú)意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍【例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）使分式1x-5有意義的x的取值范圍是【變式21】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）在函數(shù)y=x5x+3中，自變量x的取值范圍是【變式22】（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考三模）若代數(shù)式x3-x無(wú)意義，則實(shí)數(shù)x的值是【變式23】（2023·山東臨沂·一模）要使分式x2-1x+1無(wú)意義，則x的取值范圍是【變式24】（2023·湖北恩施·一模）函數(shù)y=x+1x-3的自變量x的取值范圍是（A．x≠3B．x≥3C．x≥-1且x≠3 D．x≥-11.分式有意義的條件：分式的分母不等于0.2.分式無(wú)意義的條件：分式的分母等于0.題型03利用分式值為正、負(fù)數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍【例3】（2023·浙江湖州·中考真題）若分式x-13x+1的值為0，則x的值是（

A．1 B．0 C．-1 D．-3【變式31】（2023·四川涼山·中考真題）分式x2-xx-1的值為0，則xA．0 B．-1 C．1 D．0或1【變式32】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式m-4m2A．m=4 B．m=-4C．m=±4 D．不存在m，使得m【變式33】（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（

）A．x+1 B．x2-1 C．1x+1【變式34】（2021南充市一模）若分式2-3xx2+1A．x＞32 B．x＞23 C．x＜32 D．【變式35】分式x-3x3-2A．x<3 B．x>0且x≠1 C．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1【變式36】若分式x+2(x-1)2的值大于零，則x的取值范圍是【變式37】下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當(dāng)x=2時(shí)，x+1x-2的值為零 B．當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，31）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0，這兩個(gè)條件必須同時(shí)考慮，進(jìn)而求解問題.1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0，這兩個(gè)條件必須同時(shí)考慮，進(jìn)而求解問題.2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號(hào).3）分式值為負(fù)的條件：分式的分子、分母異號(hào).題型04約分與最簡(jiǎn)分式【例4】（2023·甘肅蘭州·中考真題）計(jì)算：a2-5aa-5A．a(chǎn)-5 B．a(chǎn)+5 C．5 D．a(chǎn)【變式41】（2022·貴州銅仁·中考真題）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（

）A．|-2|=2 B．a(chǎn)2?a-3=1【變式42】（2023·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）如圖，若x為正整數(shù)，則表示分式2x2+2xA．段①處 B．段②處 C．段③處 D．段④處【變式43】（2023·安徽·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：x2+2x+1x+1【變式44】（2021·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列分式屬于最簡(jiǎn)分式的是（

）A．6xy5x2 B．x-yy-x C．分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進(jìn)行約分，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式.確定分子、分母的公因式的方法:分子、分母類型具體方法單項(xiàng)式1）系數(shù)取各系數(shù)的最大公約數(shù);2）相同字母取字母的最低次冪.多項(xiàng)式先把分子、分母進(jìn)行因式分解,再確定公因式題型05最簡(jiǎn)公分母【例5】（2021·河北唐山·一模）要把分式32a2b與a-baA．2a2b2c B．2a【變式51】（2021·內(nèi)蒙古·二模）分式1-a2+1,1a2考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.即：AB=A?CB?C（C≠0）或AB=A÷C分式符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，即：AB運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意：①限制條件：運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0.題型01利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形【例1】（2023·廣東茂名·一模）下列等式中正確的是（

）A．a(chǎn)b=a+ab+b B．a(chǎn)b=【變式11】（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）下列分式從左到右變形錯(cuò)誤的是（

）A．c5c=15 B．34a=分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運(yùn)算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式的關(guān)鍵，利用分式的基本性質(zhì)可將分式恒等變形，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的分式，簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【例2】（2023南通市二模）如果把分式x+2yx中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的20倍，那么分式的值（

A．?dāng)U大到原來(lái)的20倍 B．縮小到原來(lái)的1C．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 D．不變【變式21】如果將分式x2+y2x+y中x，yA．?dāng)U大到原來(lái)的2倍 B．不變C．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 D．縮小到原來(lái)的14【變式22】（2022·河北·一模）如果要使分式2aa-3b的值保持不變，那么分式應(yīng)（

A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍 B．a(chǎn)，b同時(shí)擴(kuò)大3倍C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍【變式23】（2022武安市中考二模）若m，n的值均擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則下列分式的值保持不變的是（

）．A．m+3n B．3m2n C．m+3n+3題型03利用分式的符號(hào)法則，將分式恒等變形【例3】（2022年湖北省黃岡咸寧孝感三市中考模擬）不改變分式的值，使分子、分母的第一項(xiàng)系數(shù)都是正數(shù)，則-2a+b-a-3b＝【變式31】（2023·河北石家莊·二模）若nm=Am≠n，則AA．n-3m-3 B．n+3m+3 C．-n-m【變式32】（2022邢臺(tái)市新河縣二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式-aa-b可變形為（

A．a(chǎn)a-b B．a(chǎn)a+b C．a(chǎn)-a-b考點(diǎn)三分式的運(yùn)算1.1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時(shí)應(yīng)確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．2.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．3.分式與分式相乘,①若分子、分母是單項(xiàng)式,則先將分子、分母分別相乘,然后約去公因式,化為最簡(jiǎn)分式或整式;②若分子、分母是多項(xiàng)式,則先把分子、分母分解因式,看能否約分,再相乘.4.當(dāng)分式與整式相乘時(shí),要把整式與分子相乘作為積的分子,分母不變.5.乘方時(shí),一定要把分式加上括號(hào),并且一定要把分子、分母分別乘方.6.分式乘方時(shí),確定乘方結(jié)果的符號(hào)與有理數(shù)乘方相同,即：①正分式的任何次冪都為正;②負(fù)分式的偶次冪為正,奇次冪為負(fù).7.分式乘方時(shí),分式的分子或分母是多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.如：aa-8.分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．題型01分式的加減法【例1】（2023·天津·中考真題）計(jì)算1x-1A． B．x-1 C．1x+1 D【變式11】（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知b>a>0，則分式ab與的大小關(guān)系是（

）A． B． C．a(chǎn)b>a+1b+1【變式12】（2023·上?！ぶ锌颊骖}）化簡(jiǎn)：21-x-2x【變式13】（2023·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項(xiàng)式．請(qǐng)寫出單項(xiàng)式M，并將該例題的解答過程補(bǔ)充完整．例

先化簡(jiǎn)，再求值：Ma+1-1解：原式=……【變式14】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知a>0，b>0，證明：1a+1【變式15】（2021·四川樂山·中考真題）已知Ax-1-B2-x=題型02分式的乘除法【例2】（2023·河北·中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．xy6 B．xy5 C．【變式21】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A．a(chǎn)3+a3=a6 B．a(chǎn)【變式22】（2022·河北石家莊·一模）若□x+y÷xy2A．y－x B．y＋x C．2x D．1【變式23】關(guān)于式子x2-9A．當(dāng)x=3時(shí)，其值為0 B．當(dāng)x=-C．當(dāng)0<x<3時(shí)，其值為正數(shù) D．當(dāng)x<0時(shí)，其值為負(fù)數(shù)【變式24】（2023·安徽·一模）計(jì)算-13m2?A．m3 B．-m C． D．【變式25】（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）計(jì)算：(1)；(2)．題型03分式的混合運(yùn)算【例3】（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）試卷上一個(gè)正確的式子（1a+b+1a-b）÷★＝2A．a(chǎn)a-b B．a(chǎn)-ba C．a(chǎn)a+b【變式31】（2023·遼寧大連·中考真題）計(jì)算：．【變式32】（2023·四川瀘州·中考真題）化簡(jiǎn)：4m+5m+1【變式33】（2023·江西·中考真題）化簡(jiǎn)xx+1

解：原式=……解：原式=……

(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是________；（填序號(hào)）①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．(2)請(qǐng)選擇一種解法，寫出完整的解答過程．題型04分式的化簡(jiǎn)求值【例4】（2023·湖北武漢·中考真題）已知x2-x-1=0A．1 B．-1 C．2 D．-【變式41】（2023·福建·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=2-【變式42】（2023·北京·中考真題）已知x+2y-1=0，求代數(shù)式2x+4yx【變式43】（2023·四川廣安·中考真題）先化簡(jiǎn)，再?gòu)牟坏仁街羞x擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．【變式44】（2023·山東濱州·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：a-4a÷a+2a2先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問題1）化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值．化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2）代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．題型05零指數(shù)冪【例5】（2023·山東聊城·中考真題）-20230的值為（

）A．0 B．1 C． D．-1【變式51】（2022·四川南充·中考真題）比較大?。?-23【變式52】（2021·重慶·中考真題）計(jì)算：9-(π【變式53】（2023·湖南·中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A．a(chǎn)6a3=C． D．-1【變式54】（2022·浙江衢州·中考真題）計(jì)算結(jié)果等于2的是（

）A．-2 B．-2 C．2-1 D題型06分式運(yùn)算的八種技巧技巧一約分計(jì)算法方法介紹：在通分比較麻煩的情況下，我們可以先將分子、分母因式分解，因式分解后進(jìn)行約分，最后通分計(jì)算.【例6】（2022·浙江衢州·中考真題）化簡(jiǎn)：a-【變式61】（2022·廣東揭陽(yáng)·二模）下面是小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)問題．x=(x+3)(x-=x-=2(x-=2x-=2x-=-5(1)填空：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是；②第

步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是

；(2)請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果：．技巧二整體通分法方法介紹：可以通過加括號(hào)或化為分母為1的分?jǐn)?shù)，將整數(shù)部分看成一個(gè)整體，再進(jìn)行化簡(jiǎn)通分得出答案.【例7】（2023·陜西西安·?？级＃┗?jiǎn)：4ab2a+b【變式71】（2023·浙江嘉興·一模）化簡(jiǎn)：x+1+xx+1+==你認(rèn)為他的解法是否正確？（

）若正確，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“×”，并寫出正確的解答過程．【變式72】（2021·河南信陽(yáng)·河南省淮濱縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）計(jì)算．(1)1(2)．(3)a(4)a2技巧三換元通分法方法介紹：在分式中有相同的復(fù)雜項(xiàng)時(shí)，可以通過換元的方法，使計(jì)算更加簡(jiǎn)單.注意，整理結(jié)束后要將原式轉(zhuǎn)換回來(lái).【例8】計(jì)算：(3m-技巧四順次相加法方法介紹：當(dāng)分式項(xiàng)數(shù)過多、分母不同，不容易通分時(shí).我們采用順次相加的方法提高正確率.先把前兩個(gè)分式計(jì)算整理，將所得結(jié)果和第三個(gè)式子通分化簡(jiǎn)，最后再和第四個(gè)式子通分化簡(jiǎn).【例9】計(jì)算：1x【變式91】計(jì)算：1x技巧五裂項(xiàng)相消法方法介紹：根據(jù)公式把每一項(xiàng)寫成兩個(gè)分式差的形式.分裂后各項(xiàng)相加減只剩下頭和尾，即可求得結(jié)果.【例10】觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1-12，1(1)若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想1nn+1(2)若n為正整數(shù)，請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明1n【變式101】計(jì)算：1aa+1＋1a+1a+2＋1a+2