四川省宜賓市翠屏區(qū)宜賓第四中學(xué)校高三一模數(shù)學(xué)（理）試題

宜賓市四中高2021級(jí)高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）本試卷共4頁(yè)，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義求得A∪B，再根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求解．【詳解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2.設(shè)，則A.0 B.1 C. D.3【答案】B【解析】【分析】先將分母實(shí)數(shù)化，然后直接求其模．【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法及模的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．3.幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為A.729 B.428 C.356 D.243【答案】D【解析】【分析】先找到三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體，再利用棱錐的體積公式得解.【詳解】由題得幾何體原圖是如圖所示的四棱錐PABCD，底面是邊長(zhǎng)為9的正方形，高PA=9,所以幾何體的體積為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)三視圖找原圖，考查幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知是兩條直線，是兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】在A中，a與b可以成任意角；在B中a與b是平行的；在C中，可得，從而得到；在D中，可得a與b可以成任意角，從而得到正確結(jié)果.【詳解】由a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，在A中，，，，因?yàn)榈姆较虿淮_定，則a與b可以成任意角，故A錯(cuò)誤；在B中，，，，根據(jù)對(duì)應(yīng)的性質(zhì)可知，可知a與b是平行的，故B錯(cuò)誤；在C中，由，，，可知，由線面垂直的性質(zhì)可知，故C正確；D中，，，，可得a與b可以成任意角，故D錯(cuò)誤．故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查線線垂直的充分條件的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，在解題的過程中，注意結(jié)合圖形去判斷，屬于中檔題目．5.函數(shù)的圖像大致為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)奇偶性淘汰A,C，再根據(jù)函數(shù)最值確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，不選A,C，又因?yàn)?，所以選D.【點(diǎn)睛】由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)6.如圖，四棱柱中，分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是A. B.平面C.平面 D.平面【答案】D【解析】【分析】連接，利用中位線證得，由此證得平面.【詳解】連接交于，由于四邊形是平行四邊形，對(duì)角線平分，故是的中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是三角形的中位線，故，所以平面.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，考查棱柱的側(cè)面是平行四邊形這一幾何性質(zhì)，還考查了三角形的中位線以及線面平行的證明.兩條直線平行，在直觀圖中，這兩條直線是平行的，通過直觀感知，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得出正確的選項(xiàng).屬于基礎(chǔ)題.7.若函數(shù)在具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞增時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因此有，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，顯然無論取何實(shí)數(shù)，不等式不能恒成立，綜上所述，a的取值范圍是，故選：C8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的圖象，可分析出函數(shù)的最值，確定A的值，分析出函數(shù)的周期，確定ω的值，將（，3）代入解析式，可求出?值，進(jìn)而求出．【詳解】由圖可得：函數(shù)的最大值3，∴，又∵，ω＞0，∴T＝π，ω＝2，將（，3）代入，得sin（?）＝，∴?=，即?=，又∴?=，∴∴故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是由函數(shù)的部分圖象求三角函數(shù)解析式的方法，其中關(guān)鍵是要根據(jù)圖象分析出函數(shù)的最值，周期等，進(jìn)而求出A，ω和φ值，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．9.已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10.平面過正方體的頂點(diǎn)，平面平面，平面平面，則直線與直線所成的角為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】如圖所示，平面過正方體的頂點(diǎn)，平面平面，平面平面，，則直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角為.故選C.11.已知函數(shù)的最小正周期為,若在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的最小正周期為可得，求出的增區(qū)間與減區(qū)間，分別令與是其子集即可.【詳解】由題意可得，求得，令，求得，由，求得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：(1)代換法：①若,把看作是一個(gè)整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間；②若,則利用誘導(dǎo)公式先將的符號(hào)化為正，再利用①的方法，或根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律進(jìn)行求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.12.若都有成立，則的最大值為A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此得出正確的選項(xiàng).【詳解】原不等式可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，，故函數(shù)在上導(dǎo)數(shù)大于零，單調(diào)遞增，在上導(dǎo)數(shù)小于零，單調(diào)遞減.由于且，故在區(qū)間上，故的最大值為，所以選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成問題，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.若角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，___．【答案】【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tanα的值．【詳解】角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，其終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣3，﹣4），則tanα，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．14.若，則__________．【答案】【解析】【詳解】15.已知是球O的球面上的三點(diǎn)，，若三棱錐的體積最大值為1，則球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】作出草圖，易得和均為等邊三角形，當(dāng)面面時(shí)，三棱錐的體積最大可求出球的半徑，進(jìn)而可得球的表面積.【詳解】解:設(shè)球的半徑為，如圖所示，∵，∴和均為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，由圖可得當(dāng)面面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，解得，則球O的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查球表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題.16.設(shè)（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的重心、內(nèi)心分別是，且，若，則的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由，所以，（r為內(nèi)切圓的半徑），再由，從而得，再由余弦定理，結(jié)合基本不等式即可得最值.【詳解】因?yàn)橹匦摹?nèi)心分別是，且，所以，（r為內(nèi)切圓的半徑），又.且.解得.所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即為等邊三角形有最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心與內(nèi)心的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，余弦定理與基本不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.已知.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)在三角形中，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后求出結(jié)果(2)運(yùn)用余弦定理結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式，求出結(jié)果【詳解】（1）由已知得，即有，因?yàn)椋?由，且，得.（2）由（1）可知，由余弦定理，有.因?yàn)?，，有，又，【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形，在解答過程中三個(gè)角都出現(xiàn)在已知條件中就運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)角的問題，容易忽略這個(gè)條件18.已知函數(shù)（且）的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心的距離為．（1）求在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到函數(shù)，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)得，再根據(jù)單調(diào)性求解即可；（2）先由平移伸縮得出，再結(jié)合二倍角余弦公式計(jì)算即得.【小問1詳解】，由題意知，的最小正周期為，所以，解得，∴，令，，解得，所以在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】，，得，∵，∴，∴，∴19.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求的值；（2）求在上值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)極值點(diǎn)的意義求出并驗(yàn)證即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出在指定區(qū)間上的最大最小值即可得解.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在處取得極值，得，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在處取得極值，所以.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，而，即，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?20.如圖，在三棱柱中，棱的中點(diǎn)分別為在平面內(nèi)的射影為D，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，點(diǎn)F在棱上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)）．請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解答下列問題：（1）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（2）求銳二面角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)面距公式求得正確答案.（2）利用向量法求得銳二面角的余弦值的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得其取值范圍.【小問1詳解】連接，依題意可知平面，由于平面，所以，由于三角形是等邊三角形，所以，，又，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，又，故，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問2詳解】設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)銳二面角為，則，令，所以，設(shè)，則，二次函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最大值，所以，即.所以銳二面角的余弦值的取值范圍.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí),若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而求出的范圍即可．【詳解】解：（1）由題意，知.當(dāng)，時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.即恒成立，即恒成立.設(shè).則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，有.上單調(diào)遞增，且，.函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，且.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.即為在定義域內(nèi)的最小值..，得，.令，.方程等價(jià)于，.而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增.故等價(jià)于，.設(shè)函數(shù)，易知單調(diào)遞增.又，，是函數(shù)的唯一零點(diǎn).即，.故的最小值.實(shí)數(shù)b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的交點(diǎn)，且，均異于原點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)可得的普通方程，由可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線的極坐標(biāo)方程為