2022年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理科）高考真題含答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡

上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條

形碼。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若z=-l+gi,貝iJ^-=()

zz-1

1y/3.

A.-l+6iB.-l->/3iC.——+-^-iD.------1

33

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)?為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓

他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這1。位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確

率如下圖：

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.設(shè)全集。={一2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8=例/-4尤+3=0},則常(AUB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

5.函數(shù)y=（3'-37）cosx在區(qū)間—的圖像大致為（）

7.在長(zhǎng)方體—44GA中，已知耳。與平面A3CD和平面所成的角均為30°,則（）

A.AB=2ADB.AB與平面A4G。所成的角為30°

C.AC=CB.D.BQ與平面BBC。所成的角為45°

8.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是

以。為圓心，為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，。在AB上，CDLAB.“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的

CD2

近似值s的計(jì)算公式：s=A8+——.當(dāng)。4=2,44。8=60°時(shí)，s=（）

OA

D

11-3>/311-473C9-3百9-46

A.--------B.--------

22'-2-'-2~

9.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為幅

和%.若&=2,貝|］強(qiáng)=（）

S乙七

5麗

A.亞B.272C.VioD.——

4

%22

10.橢圓C：—7+y=1（?！怠ā?）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸，。均在C上，且關(guān)于），軸對(duì)稱.若直線ARAQ

的斜率之積為,，則C的離心率為（）

4

口611

A.D.----C.一D.-

2223

71

11.設(shè)函數(shù)f(x)=sinCDX+—在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

3

5135191381319

A.B.C.D.

3，-?

77

已知a=亙/=cos!,c=4sinL

12.則)

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

填空題:本題共4小題，每小題5分,共20分。

b的夾角的余弦值為:，且|a|=l,|b|=3,則（2a+b）/=

13.設(shè)向量a,

2

14.若雙曲線V—二=1（機(jī)>0）的漸近線與圓f+/一4丁+3=0相切，則"?

m

15.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

16.己知△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得最小值時(shí)，BD=

AB

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

2S

記S,,為數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和.已知j+〃=2an+1.

（1）證明：｛q｝是等差數(shù)列；

（2）若%，%，4成等比數(shù)列，求S“的最小值.

18.（12分）

在四棱錐P-ABCD中，底面A3CO,CZ）〃AB,AZ）=OC=C5=1,A8=2,OP=6.

（1）證明：BD±PA；

（2）求尸。與平面RLB所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得。分，沒有平局.三個(gè)

項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,

各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

20.（12分）

設(shè)拋物線。：丁=2〃叱〃>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。（20）,過尸的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線俯。垂直

于x軸時(shí)，|ME|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線加力,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4,B,記直線MN,A3的傾斜角分別為a,尸.當(dāng)a-力取

得最大值時(shí)，求直線A8的方程.

21.（12分）

已知函數(shù)/(x)=---\x\x+x-a.

(I)若/(x)NO,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)西,々，貝1」中2<1.

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

2+/2+5

X=-----,X=-----,

在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為｛6G為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程為《6

y=\［t［>,=-77

(s為參數(shù)).

(1)寫出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。3的極坐標(biāo)方程為2cose-sin6>=0,求

與&交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及與C?交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b,c均為正數(shù)，且a2+〃+4c2=3,證明：

(1)a+b+2c<3；

(2)若b=2c,則工+,?3.

ac

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

理科數(shù)學(xué)

參考答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡

上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條

形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11

14.B

3

16.^/3-l##-l+V3

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

2s

17.(1)解：因?yàn)椤猑+〃=2〃“+1,即25〃+=2〃勺+〃①,

n

當(dāng)幾22時(shí)，②,

①一②得，2s“+_2S“_]--1)=2"a“+〃_2(/i_-1),

即2a“+2〃-1=2〃a“一2(“—+1,

即2(〃一1”“一2(〃一1)4_]=2(〃一1),所以a“一/_1=1，/之2且〃eN*,

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)-78.

18.(1)證明：在四邊形A8CD中，作。E_LAB于E，于尸，

因?yàn)镃D//AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=BF=L,

2

Gi_________

故。E=E，BDZDE^+BE?=G，

所以+=452,

所以AD_LBO，

因?yàn)镻￡>_L平面ABC。，BDu平面A5CD,

所以P0J.8。，

又PDcAD=D,

所以8。，平面EV),

又因Q4u平面PAD,

所以8￡>J_B4；

⑵—.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列見解析，E(X)=13.

【解析】依題可知，X的可能取值為010,20,30,所以，

p(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

X=10)=0.5x0.4x().8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5X0.6X0.8+().5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.()6.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)/=4x；

(2)AB:x-yf2y+4.

x

e

21.已知函數(shù)=----+.

X

(1)(-oo,e+l]

(2)由題知,/(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1

不妨設(shè)%V1<工2

1

要證玉光2<1,即證王<一

1(1A

因?yàn)橹籩(0,l),即證—

々1X21

(1)

因?yàn)?(玉)=/(9)，即證/(々)>/—

\X2J

即證----lnx+x-xev-Inx->0,X€(l,+oO)

XX

e*1.rif4)]>0

即證----xe'—2Inx—x-

x21

ex-O.lnx-lfx-1)

下面證明1>1時(shí)，----xev>

X2(X)

、e*-

設(shè)g(x)=-----xex,x>1,

X

所以O(shè)(x)>0(l)=e,而1?

所以J—e'>0,所以g'O。

x

所以g(x)在(1,內(nèi))單調(diào)遞增

即g(x)>g(l)=0,所以￡—xe!>0

x

令〃(元)=lnx-g|九,x>l

X

,，/、1If.112x--1

h(x)=---\1+^-

x2\xJ￥<。

所以〃(x)在(1,4W)單調(diào)遞減

即力(%)</i(l)=0,所以In九一!［1一，］<0；

綜上，----xe'-2In^—―fx—j>0,所以玉工2<1?

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(1)/=6x-2(y>0)；

（2）G，G的交點(diǎn)坐標(biāo)為G，1），（1,2）,C3C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為H，T）,（-1,-2）.

［選修4-5：不等式選講］

23.（1）證明：由柯西不等式有［a2+〃+（2c）［（12+F+12"（a+/；+2c）2,

所以a+Z?+2cW3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=匕=2c=l時(shí)，取等號(hào)，

所以a+人+2cW3；

（2）證明：因?yàn)閎=2c,a>0,b>0,c>0,由（1）得a+b+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以」一2，,

Q+4c3

由權(quán)方和不等式知_1+_1=￡+2iz（+2）-=923

aca4c〃+4c〃+4c

當(dāng)且僅當(dāng)工=——，即a=l,c=，時(shí)取等號(hào)，

a4c2

所以

ac

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

理科數(shù)學(xué)

參考答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡

上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條

形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11

16.73-1##-1+73

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

25

17.(1)解：因?yàn)椤猑+”=2a“+l,即2s“++〃①，

n

當(dāng)時(shí)，2S,_1+(/L1)2=25_1)4I+(〃_1)②，

①一②得，2s“+-2S._1--1)=a+“_1),

即2a“+2〃—1=2na“一2("—1)+1,

即“一=2(〃一1),所以a“一2且“wN*,

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(3)-78.

18.(1)證明：在四邊形A8CO中，作于E,于F,

因?yàn)镃D//A民40=8=08=1,48=2,

所以四邊形ABCD為等腰梯形,

所以AE=BF=J,

2

Gi_____

故DE=TBD=NDE2+BE2=5

所以+=AB2,

所以AD_LBO，

因?yàn)镻￡>_L平面ABCD,BDu平面A5CD,

所以

又PDcAD=D,

所以8。，平面小。，

又因B4u平面PAD，

所以8。，24；

⑵—.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列見解析，E(X)=13.

【解析】依題可知，X的可能取值為010,20,30,所以，

p(X=0)=().5x0.4x().8=().16,

p(X=10)=().5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.()6.

即X的分布列為

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)=4x；

(2)A3:x=0y+4.

21.已知函數(shù)〃x)=---Inx+x-^z.

(1)(-00,6+1]

(2)由題知J(X)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1

不妨設(shè)玉<1〈尤2

1

要證玉工2<1,即證X<一

X2

因?yàn)橛?一￡(0,1),即證一

/、,、/(1

因?yàn)?(%)=/(赴)，即證—

7

x

e-1

即證---lnx+x-xeA-Inx——>0,XG(1,+OO)

xx

e-ifn

即證----xe'—