4.5函數(shù)的應用（二）（重難點突破）

4.5函數(shù)的應用（二）【知識點1二分法求方程的根的近似值】二分法的概念對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地函數(shù)的零點所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個端點，進而得到零點近似值的方法叫二分法，由函數(shù)的零點與相應方程的根的關系，可用二分法來求。2、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（給定精確度）（1）確定區(qū)間，使。（2）求區(qū)間的中點，。（3）計算若，則若，則令（此時零點）；若則令（此時零點）；（4）繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點總位于區(qū)間上，當和按照給定精度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點，計算終止。這時函數(shù)的近似零點滿足給定的精確度。【知識點2方程的根與函數(shù)的零點】,我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的.2.函數(shù)的零點就是方程的，也就是函數(shù)的圖像與x軸的交點的.3.方程有實根函數(shù)的圖像與x軸有函數(shù)有.數(shù)在[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有0，那么在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在，使得0，這個c就是方程的根.(一)、二分法求零點所在區(qū)間例1．（1）、（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習）方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造函數(shù)，確定其單調(diào)性，結合零點存在性定理得到結論.【詳解】令，顯然單調(diào)遞增，又因為，，由零點存在性定理可知：的零點所在區(qū)間為，所以的根所在區(qū)間為.故選：B（2）、（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┓匠痰母趨^(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題轉化為零點所在區(qū)間的求解問題，利用零點存在定理求解即可.【詳解】設，則方程根所在區(qū)間即為零點所在區(qū)間，與在上均為增函數(shù)，在上單調(diào)遞增；對于A，，當時，，A錯誤；對于B，，，即，，使得，B正確；對于CD，當時，，在區(qū)間和上無零點，C錯誤，D錯誤.故選：B.【變式訓練11】、（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點存在性定理，即可判斷選項.【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，，，，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：B【變式訓練12】、（2023春·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結合零點存在性定理求解即可.【詳解】易得為增函數(shù)，且，，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B．(二)、函數(shù)的零點個數(shù)與方程的根個數(shù)例2．（1）、（2022秋·廣東梅州·高三統(tǒng)考階段練習）函數(shù)的零點有個．【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，解方程求出零點作答.【詳解】由，得，即，解得或，所以函數(shù)的零點有2個.故答案為：2（2）、（2023秋·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學校考階段練習）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】結合分段函數(shù)，在各自的范圍判斷零點個數(shù)即可.【詳解】當時，令，解得：；當時，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上有且只有1個零點；綜上，在上有2個零點.故選：C【變式訓練21】、（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)為.【答案】【分析】將問題轉化為函數(shù)與的交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象即可得到結果.【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)等價于方程的解得個數(shù)，即函數(shù)與的交點個數(shù)，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示，由圖象可知：函數(shù)與有且僅有兩個不同交點，函數(shù)的零點個數(shù)為.故答案為：.【變式訓練22】、（2023秋·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學?？茧A段練習）函數(shù)零點個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)零點的定義計算即可.【詳解】由得：或解得或．因此函數(shù)共有2個零點．故選：B.(三)、嵌套函數(shù)的零點問題例3、（1）、（2023秋·四川綿陽·高三?？茧A段練習）已知，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由解析式及指對數(shù)的性質(zhì)分析分段函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)時對應值，應用數(shù)形結合法判斷零點個數(shù).【詳解】由題設，當時且遞減，當時且遞減，令，則，可得或，如下圖示：由圖知：時有一個零點，時有兩個零點，故共有3個零點.故選：C（2）、（2023秋·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)且關于x的方程有7個不同實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】本題屬于嵌套型函數(shù)的解的問題，畫出的函數(shù)圖像，設，根據(jù)題意，等價于方程，通過求的解的個數(shù)，利用數(shù)形結合，可求得的取值范圍.【詳解】

由題意，的圖像如圖所示，因為有7個不同實數(shù)解，設，則方程有2個不等實根，且或，．當，時，，滿足題意；當時，，解得．綜上，．故答案為：【變式訓練31】、（2023秋·江蘇南京·高一南京市第九中學校考階段練習）函數(shù)只有一個零點，則的取值集合為【答案】【分析】分和討論即可.【詳解】（1）若，即時，①當時，此時，此時沒有零點，②當時，此時，令，解得，符合題意，（2）當時，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.【變式訓練32】、（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域為，滿足，且時，，若，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件分段求出解析式及對應函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結合，可求得結果【詳解】因為，且時，，所以當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以當時，，解得或，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知，，恒有，必有，即的取值范圍是，故選：B【點睛】關鍵點點睛：函數(shù)不等式恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式畫出圖象，利用圖象求解即可，考查數(shù)形結合思想，屬于較難題.(四)函數(shù)的應用例4．（1）、（2023·全國·高三專題練習）心理學家有時使用函數(shù)來測定在時間分鐘內(nèi)能夠記憶的量,其中表示需要記憶的量,個單詞需要記憶,心理學家測定出在分鐘內(nèi)該學生記憶個單詞,則該學生記憶率所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意解方程,解出,在和端點值比較大小,由函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)連續(xù)得到結果.【詳解】將代入,解得:,因為,,且在上單調(diào)遞減,所以,因為,,且在上單調(diào)遞減,所以,則,即,因為在上為單調(diào)遞減且連續(xù)函數(shù),所以,解得,故記憶率所在區(qū)間為.故選:B.（2）、（2022·四川瀘州·三模）牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，h稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度．若℃，現(xiàn)有一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，那么水溫從75℃降至45℃，大約還需要（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．9分鐘 B．10分鐘C．11分鐘 D．12分鐘【答案】B【分析】根據(jù)已知條件代入公式計算可得，再把該值代入，利用對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式即可求解.【詳解】解：由題意，℃，由一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，可得，所以，又水溫從75℃降至45℃，所以，即，所以，所以，所以水溫從75℃降至45℃，大約還需要10分鐘.故選：B.【變式訓練41】、（2023·全國·高三專題練習）一種藥在病人血液中的量保持1000mg以上才有療效，而低于500mg病人就有危險．現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2000mg，如果藥在血液中以每小時10%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過______小時內(nèi)向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．（附：，，精確到0.1h）【分析】寫出血液中藥物含量關于時間的關系式，解不等式求出答案.【詳解】設h后血液中的藥物量為mg，則有，令得：故從現(xiàn)在起經(jīng)過6.6h內(nèi)向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.【變式訓練42】、（2023秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時間（單位：為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度．假設在室內(nèi)溫度為的情況下，一杯飲料由降低到需要，則此飲料從降低到需要min．【答案】60【分析】由給定函數(shù)模型及已知求得，再求飲料從降低到需要的時間即可.【詳解】由題設，所以.故答案為：60例5、（廣東省江門市2024屆高三上學期10月調(diào)研數(shù)學試題）聲強級（單位：）由公式：給出，其中為聲強（單位：）.(1)一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為，能聽到的最低聲強，求人聽覺的聲強級范圍；(2)某班級為規(guī)范同學在公共場所說話的文明禮儀，開展了“不敢高聲語，恐驚讀書人”主題活動，要求課下同學之間交流時，每人的聲強級不超過.現(xiàn)已知4位同學課間交流時，每人的聲強分別為，，，，求這4人中達到班級要求的有多少人？【答案】(1)(2)3人【分析】（1）根據(jù)題意得，，代入的表達式，解不等式即可；（2）把四個數(shù)值代入，比較與40的大小關系即可判斷.【詳解】（1）由題意知，∴∴∴，故人聽覺的聲強級范圍為,（單位：）.（2）依題意，當時，，當時，；當時，；當時，故這4人中達到班級要求的有3人.【變式訓練51】、（2023·全國·高一專題練習）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別是（單位：萬元）和（單位：萬元），它們與投入資金（單位：萬元）的關系有經(jīng)驗公式.今將4萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中對甲種產(chǎn)品投資（單位：萬元）.(1)試建立總利潤（單位：萬元）關于的函數(shù)關系式；(2)如何安排投入資金使得該企業(yè)所獲利潤最大？并求出獲利潤的最大值.【答案】(1)(2)