專題19圓的基本性質(zhì)-原卷版

專題19圓的基本性質(zhì)★知識(shí)點(diǎn)1：圓的基礎(chǔ)概念圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。備注：圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)度確定圓的大小?！狙a(bǔ)充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸；2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。典例分析【例1】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）直徑是弦，但弦不一定是直徑；（2）半圓是弧，但弧不一定是半圓；（3）半徑相等且圓心不同的兩個(gè)圓是等圓；（4）一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)?。瓵．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例2】（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圖中⊙O的弦共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條2．（2021秋·甘肅定西·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P到圓上的點(diǎn)的最大距離為6，最小距離為4，則此圓的半徑為（

）A．2 B．5 C．1 D．5或1★知識(shí)點(diǎn)2：弦、弧、弦心距弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。典例分析【例1】（2021秋·廣東江門·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E均在上，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【例2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，、是的兩條弦，交于點(diǎn)G，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8即學(xué)即練1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的頂點(diǎn)A、B、C均在上，點(diǎn)A是中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，則度數(shù)是（）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)3：垂徑定理求值垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點(diǎn)）：（1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；（2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分。典例分析【例1】（2023春·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，的半徑垂直于弦，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．若，，則的面積為（

）A．12 B．15 C．16 D．18【例2】．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，，且，則這段彎路所在圓的半徑為（

）A． B．20m C．30m D．即學(xué)即練1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓的半徑垂直弦于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接．若，，則長(zhǎng)為()A． B． C． D．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4★知識(shí)點(diǎn)4垂徑定理求平行弦問題典例分析【例1】．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【例2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分即學(xué)即練1．（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）的半徑為，弦，，，則、間的距離是：（

）A． B． C．或 D．以上都不對(duì)2．（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，則DE的長(zhǎng)為（

）A． B． C．6 D．★知識(shí)點(diǎn)5垂徑定理求其它問題典例分析【例1】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABC的邊BC=，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【例2】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，AB=12cm，AO=8cm，則OC長(zhǎng)為（）cmA．5 B．4 C． D．即學(xué)即練1．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，那么所對(duì)的圓心角的大小是（

）A． B． C． D．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE=6，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為（

）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)6判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部QUOTEd>r?d>r?點(diǎn)QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上QUOTEd=r?d=r?點(diǎn)QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部QUOTEd<r?d<r?點(diǎn)QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的內(nèi)部.典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，．以點(diǎn)C為圓心，4為半徑畫圓，則（）A．點(diǎn)A在圓上 B．點(diǎn)A在圓外 C．點(diǎn)B在圓上 D．點(diǎn)B在圓外【例2】（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知⊙O的半徑是8，點(diǎn)P到圓心O的距離d為方程的一個(gè)根，則點(diǎn)P在（）A．的內(nèi)部 B．的外部C．上或的內(nèi)部 D．上或的外部即學(xué)即練1.（2023秋·河南信陽·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的半徑是4，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓上 C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定2．（2023春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系被一塊圓形鐵皮覆蓋了一部分．下列有序?qū)崝?shù)對(duì)表示的點(diǎn)中，被這塊圓形鐵皮覆蓋的是（

）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)7利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑典例分析【例1】（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P在半徑為的圓內(nèi)，則點(diǎn)P到圓心的距離可以是（

）A． B． C． D．【例2】（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）已知點(diǎn)P到圓心O的距離為3，若點(diǎn)P在圓外，則的半徑可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．5即學(xué)即練1．（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）點(diǎn)P到圓O的距離為6，若點(diǎn)P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河北秦皇島·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5★知識(shí)點(diǎn)8:求三角形外心的坐標(biāo)典例分析【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，，則外心的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【例2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)O，A，B，C均在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角直角坐標(biāo)系，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．即學(xué)即練1.（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）2．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．則△ABC的外心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)9確定圓心典例分析【例1】（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，則該弧的圓心的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）【例2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C是正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，則是（

）A．優(yōu)弧 B．劣弧 C．半圓 D．無法判斷即學(xué)即練1.（2010·河北·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M2．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．小麗按照下列方法作圖：①作的角平分線，交于點(diǎn)D；②作的垂直平分線，交于點(diǎn)E．根據(jù)小麗畫出的圖形，判斷下列說法中正確的是（

）A．點(diǎn)E是的外心 B．點(diǎn)E是的內(nèi)心C．點(diǎn)E在的平分線上 D．點(diǎn)E到邊的距離相等★知識(shí)點(diǎn)10三角形外接圓1）經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．2）三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.3）外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.典例分析【例1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，小明為檢驗(yàn)，，，四點(diǎn)是否共圓，用尺規(guī)分別作了，的垂直平分線，它們交于點(diǎn)，則，，，四點(diǎn)中，不一定在以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【例2】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知是的外心，，分別是，的中點(diǎn)，連接，，分別交于點(diǎn)，．若，，，則的面積為（

）A．72 B．96 C．120 D．144即學(xué)即練1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為r，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，，，，則此Rt△ABC的重心P與外心Q之間的距離為（

）A． B． C． D．★知識(shí)點(diǎn)11三點(diǎn)定圓的方法經(jīng)過點(diǎn)QUOTEAA的圓：以點(diǎn)QUOTEAA以外的任意一點(diǎn)QUOTEOO為圓心，以QUOTEOAOA的長(zhǎng)為半徑，即可作出過點(diǎn)QUOTEAA的圓，這樣的圓有無數(shù)個(gè)．經(jīng)過兩點(diǎn)QUOTEA、BA、B的圓：以線段QUOTEABAB中垂線上任意一點(diǎn)QUOTEOO作為圓心，以QUOTEOAOA的長(zhǎng)為半徑，即可作出過點(diǎn)QUOTEA、BA、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè)．3）經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)：情況一：過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)QUOTEA、B、CA情況二：若QUOTEA、B、CA、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段QUOTEABAB與QUOTEBCBC的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)QUOTEOO是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．三點(diǎn)定圓的畫法：連接線段AB,BC。分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為O，此時(shí)OA=OB=OC,于是點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個(gè)。定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．典例分析【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則以下P點(diǎn)坐標(biāo)不滿足要求的是（

）A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）【例2】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列判斷中正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的弧C．平分弧的直徑平分弧所對(duì)的的弦 D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓即學(xué)即練1．（2020·湖南湘西·中考真題）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）平面上有四個(gè)點(diǎn)，過其中任意3個(gè)點(diǎn)一共能確定圓的個(gè)數(shù)為（）A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或41．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在上，與直線交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），則的長(zhǎng)度為（

）A． B．8 C． D．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)在圓內(nèi)的點(diǎn)，它到圓上的最近距離為3cm，到最遠(yuǎn)距離為5cm，那么圓的半徑為（

）

A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm4．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）點(diǎn)M在內(nèi)，cm，若的半徑是5cm，則過點(diǎn)M的最短弦的長(zhǎng)度為（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)有（）①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)6．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦B．半圓是弧C．已知圓O的半徑為，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P在圓O外D．如果圓A的周長(zhǎng)是圓B周長(zhǎng)的2倍，那么圓A的面積是圓B面積的2倍7．（2022秋·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）若所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)到上點(diǎn)的最大距離為8，最小距離為2，則的直徑為（

）A．6 B．10 C．6或10 D．無法確定8．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是數(shù)軸上一定點(diǎn)，點(diǎn)是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為，點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點(diǎn)在外，則的值可能是（）.A． B． C． D．9．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的外接圓，則點(diǎn)O是的（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)10．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是的外心，，連接，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．11．（2023·河南焦作·統(tǒng)考一模）一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為12，另外兩邊長(zhǎng)是一元二次方程的兩根，則這個(gè)三角形外接圓的半徑是（

）A． B．5 C． D．812．（2023春·四川內(nèi)江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，弦，是上一點(diǎn)，，，則；13．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，直徑，垂足為C，，則．14．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┰趫A中兩條平行弦的長(zhǎng)分別6和8，若圓的半徑為5，則兩條平行弦間的距離為．15．（2021·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦的長(zhǎng)為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為．16．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若，則BC的長(zhǎng)為．17．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，，，