直角三角形的性質(zhì)九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題直角三角形的性質(zhì)姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．〔2021春?閔行區(qū)校級月考〕以下說法中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有一個(gè)鈍角B．三角形三個(gè)內(nèi)角中，至少有兩個(gè)銳角C．直角三角形中有兩個(gè)銳角互余D．三角形中兩個(gè)內(nèi)角和必大于90°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，一一判斷即可．【解析】A、三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有一個(gè)鈍角，正確．B、三角形三個(gè)內(nèi)角中，至少有兩個(gè)銳角，正確．C、直角三角形中有兩個(gè)銳角互余，正確，D、三角形中兩個(gè)內(nèi)角和必大于90°，錯(cuò)誤，比方鈍角三角形的兩個(gè)銳角的和小于90°．應(yīng)選：D．2．〔2021?福建〕如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點(diǎn)C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離AB等于〔〕A．2kmB．3kmC．23kmD．4km【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出∠B度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中30°所對直角邊是斜邊的一半，即可得出答案．【解析】∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4〔km〕．應(yīng)選：D．3．〔2021春?青羊區(qū)校級期中〕如圖，將一副學(xué)生用三角板〔一個(gè)銳角為30°的直角三角形，一個(gè)銳角為45°的直角三角形〕的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)∠DEB＝m°，那么∠AOC＝〔〕A．30°B．〔m﹣15〕°C．〔m+15〕°D．m°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解析】∵∠DEB＝m°，∴∠AEC＝∠DEB＝m°，∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，∴30°+m°＝45°+∠AOC，∴∠AOC＝〔m﹣15〕°，應(yīng)選：B．4．〔2021春?深圳期中〕如圖，從旗桿AB的頂端A向地面拉一條繩子，繩子底端恰好在地面P處，假設(shè)旗桿的高度為米，那么繩子AP的長度不可能是〔〕A．3B．C．4D．5【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)斜邊大于直角邊進(jìn)而得出答案．【解析】∵旗桿的高度為AB＝米，∴AP＞AB，∴繩子AP的長度不可能是：3米．應(yīng)選：A．5．〔2021春?芝罘區(qū)期末〕如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．假設(shè)BE＝2，那么AC的長度為〔〕A．3B．1C．2D．2【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE＝CE＝2，故可得出∠B＝∠DCE＝30°，再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ACB＝60°，可得∠ACE＝30°，根據(jù)直角三角形含30°角的性質(zhì)可得AE和AC的長．【解析】如圖，連接CE，∵BC的垂直平分線交AB于E，垂足為點(diǎn)D，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵∠A＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝30°，∴AE＝1，AC=3．應(yīng)選：A．6．〔2021春?廣安期末〕如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E．假設(shè)CE＝5，CD＝6，那么△ABC的面積是〔〕A．60B．50C．40D．30【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB＝2CD，求得AB＝12，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，∴AB＝2CD，∵CD＝6，∴AB＝12，∵CE⊥AB于點(diǎn)E，CE＝5，∴△ABC的面積=12AB?CE=12×12×應(yīng)選：D．7．〔2021春?肥東縣期末〕在△ABC中，∠ABC＝90°，OB為AC邊上的中線，假設(shè)以AC為斜邊作△ADC，連接OD，那么以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．OD＝OAB．OD＝OBC．OD=12ACD．OD=【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷．【解析】如圖，∵△ABC、△ACD是直角三角形，O為AC的中線，∴BO=12AC，DO＝OA=1∴OD＝OB，∴A、B、C都正確，應(yīng)選：D．8．〔2021春?潮陽區(qū)期末〕如圖，有一架梯子斜靠在與地面〔OM〕垂直的墻〔ON〕上，在墻角〔點(diǎn)O處〕有一只貓緊緊盯住位于梯子〔AB〕正中間〔點(diǎn)P處〕的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉，把梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，假設(shè)梯子A端沿墻下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離〔〕A．不變B．變小C．變大D．無法判斷【分析】根據(jù)題意知，OP是直角△AOB斜邊上的中線，那么OP=12AB【解析】如圖，連接OP，根據(jù)題意知，點(diǎn)P是直角△AOB斜邊的中點(diǎn)，那么OP是直角△AOB斜邊上的中線，那么OP=12AB由于AB的長度不變，那么OP的長度不變．應(yīng)選：A．9．〔2021春?任丘市期末〕如圖，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，延長線段DE交邊BC于點(diǎn)F，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)．假設(shè)AB＝6，EF＝1，那么線段AC的長為〔〕A．7B．152C．8D．9【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE，由EF＝1，得到DF，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出線段AC的長．【解析】∵∠AEB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，AB＝6，∴DE=12AB＝3∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴AC＝2DF＝8．應(yīng)選：C．10．〔2021春?海淀區(qū)校級期中〕一只小貓?jiān)诰鄩γ?米，距地面2米的架子上，緊緊盯住了斜靠墻的梯子中點(diǎn)處的一只老鼠，聰明的小貓準(zhǔn)備在梯了下滑時(shí)，在與老鼠距離最小時(shí)捕食．如下圖，把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，貓所處位置為點(diǎn)D，梯子視為線段MN，老鼠抽象為點(diǎn)E，梯子長為4米，在梯子滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為〔〕A．25B．25-2C．2D．4【分析】如圖，連接BE，BD．求出BE，BD，根據(jù)DE≥BD﹣BE求解即可．【解析】如圖，連接BE，BD．由題意BD=22+4∵∠MBN＝90°，MN＝4米，EM＝NE，∴BE=12MN＝2∴點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以B為圓心，2米為半徑的弧，∴當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，∴DE的最小值為〔25-2〕米．〔也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥25-2應(yīng)選：B．二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請把答案直接填寫在橫線上11．〔2021春?錦江區(qū)校級期末〕等腰三角形一底角為30°，底邊上的高為9cm，那么這個(gè)等腰三角形的腰長是18cm，頂角是120°．【分析】由條件，根據(jù)直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，得：腰長是底邊上的高的2倍，可得答案．【解析】∵∠C＝30°，作AD⊥BC，垂足為D，∴AC＝2AD，∴AC＝2×9＝18，即腰長是18cm，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案為：18；120°．12．〔2021春?墾利區(qū)期末〕如圖，△ABC是等邊三角形，AD∥BC，CD⊥AD．假設(shè)AD＝2cm，那么△ABC的周長為12cm．【分析】利用平行線的性質(zhì)和CD⊥AD，先得到∠DCB的度數(shù)，再求出∠ACD的度數(shù)，再直角三角形中，利用30°角所對的邊與斜邊的關(guān)系求出AC，最后求出等邊三角形的周長．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．∴∠DCB＝90°．∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．在Rt△ACD中，∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4〔cm〕．L△ABC＝AB+AC+BC＝12〔cm〕．故答案為：12．13．〔2021春?官渡區(qū)期末〕在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AC中點(diǎn)，E為邊AB上一動點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCDE有一組鄰邊相等時(shí)，那么AE的長為2或3或135．【分析】分BC＝BE、CD＝DE、BE＝DE三種情況考慮，當(dāng)BC＝BE時(shí)，由AE＝AB﹣BE即可求出AE的長度；當(dāng)CD＝DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，通過解直角三角形可得出AF的長度，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得出AE的長度；當(dāng)BE＝DE時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，設(shè)EF＝x，那么BE=52-x，利用勾股定理表示出DE2的值，結(jié)合BE＝DE即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，進(jìn)而即可得出【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC=3BC＝23，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD＝CD=3，當(dāng)構(gòu)成的四邊形BCDE有一組鄰邊相等時(shí)，由以下三種情況．①如圖1，當(dāng)BC＝BE時(shí)，∴BE＝BC＝2，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣2＝2；②如圖2，當(dāng)CD＝DE時(shí)，作DF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，AD＝CD＝DE，∴AF＝EF=12AE在Rt△ADF中，DF=12AD=∴AF=AD∴AE＝2×32=③如圖3，當(dāng)BE＝DE時(shí)，作DF⊥AE，垂足為點(diǎn)F，BF＝AB﹣AF＝4-32設(shè)EF＝x，那么BE＝BF﹣EF=52-在Rt△DEF中，DF=32，DE＝BE=52-x，∴EF2+DF2＝DE2，即x2+〔32〕2＝〔52-x〕解得：x=1110即EF=1110∴AE＝AF+EF=32故答案為：2或3或135．14．〔2021春?宛城區(qū)期末〕假設(shè)一個(gè)三角形中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的3倍，那么稱這樣的三角形為“和諧三角形〞．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°，40°，20°的三角形是“和諧三角形〞，如圖，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是邊CB上一動點(diǎn)．當(dāng)△ADC是“和諧三角形〞時(shí)，∠DAB的度數(shù)是30°或80°或°．【分析】分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠ADC＝3∠C時(shí)；②當(dāng)∠C＝3∠CAD時(shí)；③當(dāng)∠ADC＝3∠CAD時(shí)．根據(jù)“和諧三角形〞的定義求解即可．【解析】∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°．當(dāng)△ADC是“和諧三角形〞時(shí)，分三種情況：①當(dāng)∠ADC＝3∠C時(shí)，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°；②當(dāng)∠C＝3∠CAD時(shí)，∠CAD＝10°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°；③當(dāng)∠ADC＝3∠CAD時(shí)，∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°，∴∠CAD=14×∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝°．綜上所述，∠DAB的度數(shù)是30°或80°或°．故答案為：30°或80°或°．15．〔2021?蕪湖模擬〕如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∠BCD＝3∠ACD，CD＝3，那么AB的長為62．【分析】根據(jù)條件得到ACD＝°，求得∠B＝∠ACD＝°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE＝BE=12AB，求得∠DCE＝∠DEC＝45°，得到CE=2CD＝3【解析】∵∠ACB＝90°，∠BCD＝3∠ACD，∴∠ACD＝°，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD＝°，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴CE＝BE=12AB∴∠BCE＝∠B＝°，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴CE=2CD＝32，∴AB＝2CE＝62，故答案為：62．16．〔2021春?河?xùn)|區(qū)期末〕如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AB＝AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是AC，BD的中點(diǎn)，EF＝3．那么AC的長為6．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得出EF=12AC【解析】連接AF，∵AB＝AD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，即∠AFC＝90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴EF=12AC∵EF＝3，∴AC＝6，故答案為：6．17．〔2021春?青秀區(qū)校級期末〕如圖，Rt△ABC中，BC＝13，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足AD＝2CE，那么CD﹣CE的最小值為1336【分析】作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CFE＝∠B＝30°，再根據(jù)直角三角形中，30°角所對直角邊是斜邊一半得出EF＝2CE＝AD，取EF中點(diǎn)G，連接CG、DG，可得CE＝CG，當(dāng)C，D，G三點(diǎn)共線時(shí)，D為AB的中點(diǎn)，EF為中位線，此時(shí)，CD﹣CE取得最小值．【解析】作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，連接DF，∵EF∥AB，∠B＝30°，∴∠CFE＝∠B＝30°，∴EF＝2CE＝AD，取EF中點(diǎn)G，連接CG、DG，∴CE＝CG，∴CD﹣CE的最小值為C，D，G三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)D為AB的中點(diǎn)，EF為中位線，∴CD﹣CE＝13×23故答案為133618．〔2021?克東縣二?！吃赗t△ABC中，∠C＝90°，有一個(gè)銳角為30°，AB＝6．假設(shè)點(diǎn)E在直線BC上〔不與點(diǎn)B、C重合〕，且∠CAE＝30°，那么BE的長為23或43或6【分析】可分三種情況：當(dāng)E點(diǎn)在線段BC上時(shí)，如圖，那么∠B＝30°；當(dāng)E點(diǎn)在BC延長線上時(shí)，如圖，那么∠B＝30°；當(dāng)E點(diǎn)在BC延長線上時(shí)，如圖，那么∠B＝60°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的平行于性質(zhì)分別計(jì)算可求解．【解析】當(dāng)E點(diǎn)在線段BC上時(shí)，如圖，那么∠B＝30°，∵∠C＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝60°，AC=12AB＝3∴BC=33，∵∠CAE＝30°，∴AE＝2CE，∠BAE＝30°，∴∠B＝∠BAE，∴BE＝2CE=23當(dāng)E點(diǎn)在BC延長線上時(shí)，如圖，那么∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝60°，AC=12AB＝3∴BC=33，∵∠CAE＝30°，∠ACE＝90°，∴CE=33∴BE＝BC+CE=33+當(dāng)E點(diǎn)在BC延長線上時(shí)，如圖，那么∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，AB＝6，∴∠BAC＝30°，∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°，∴△ABE為等邊三角形，∵AB＝6，∴BE＝AB＝6，綜上，BE的長為23或43或6故答案為23或43或6三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021春?鄆城縣期末〕如圖，DE是△ABC的邊AB上的垂直平分線，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．〔1〕求∠C的度數(shù)；〔2〕假設(shè)DE＝1，求EC的長．【分析】〔1〕DE是邊AB上的垂直平分線推AE＝BE，利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義推角相等，最后得出角的度數(shù)；〔2〕利用角平分線的性質(zhì)求線段長．【解析】〔1〕∵DE是邊AB上的垂直平分線，∴AE＝BE．∴∠B＝∠BAE＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC＝30°，∴∠ACB＝90°．〔2〕∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴EC＝ED＝1．20．〔2021春?成都期末〕如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，E為邊AC上一點(diǎn)，連接DE，EC＝ED，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．〔1〕判斷DE與BC的位置關(guān)系，并說明理由；〔2〕假設(shè)∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度數(shù)．【分析】〔1〕由角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACD＝∠EDC，即可求得∠BCD＝∠EDC，進(jìn)而可求解；〔2〕由直角三角形的性質(zhì)可求解∠AEF＝60°，由平行線的性質(zhì)可求解∠AED的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解析】〔1〕DE∥BC，理由如下：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EC＝ED，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠EDC，∴DE∥BC；〔2〕∵EF⊥AB，∠A＝30°，∴∠AEF＝60°，∵∠ACB＝80°，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝80°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．21．〔2021秋?南潯區(qū)期末〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE、DE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，且DF＝EF．〔1〕求證：AD＝CE．〔2〕假設(shè)AD＝5，AC＝6，求△BDE的面積．【分析】〔1〕根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到CD＝AD=12AB，根據(jù)線段垂直平分線的選擇得到CE＝CD〔2〕根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到AB＝2AD＝10，由勾股定理得到BC=AB2-AC2=8，由〔1〕知，CE【解析】〔1〕證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD=12AB∵CF⊥DE，DF＝EF．∴CE＝CD，∴AD＝CE．〔2〕解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AD＝5，∴AB＝2AD＝10，∵AC＝6，∴BC=AB2由〔1〕知，CE＝CD＝AD＝5，∴BE＝BC+EC＝13，∴S△ABE=12BE?AC=∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴△BDE的面積=12S△ABE=22．〔2021春?亳州期末〕如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，連接EF，CF．〔1〕求證：EF＝CF；〔2〕假設(shè)∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E兩點(diǎn)間的距離．【分析】〔1〕利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得EF=12AD，CF=12AD，進(jìn)而求解EF〔2〕連接CE，易求EF＝AF＝CF＝3，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求解∠EFC＝90°，利用勾股定可求解CE的長．【解析】〔1〕證明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵點(diǎn)F是斜邊AD的中點(diǎn)，∴EF=12AD，CF=1∴EF＝CF；〔2〕解：連接CE，由〔1〕得EF＝AF＝CF=12AD＝3∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE=EF2+即C，E兩點(diǎn)間的距離是32．23．〔2021春?昌圖縣期末〕如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝