通信系統(tǒng)原理-第2章要點課件

第2章通信信號分析本章主要內(nèi)容：2.1確知信號分析方法2.2隨機(jī)信號分析方法2.3隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1通信信號的分類方法：1.從信號在時間和幅度上連續(xù)或離散的特點，可以分為模擬信號和數(shù)字信號；2.從信號是否可以用明確的表達(dá)式表示，可以分為確知信號（DeterministicSignal）和隨機(jī)信號（RandomSignal）。確知信號又可以分為周期信號和非周期信號。3.從信號中是否攜帶有用信息，可以分為有用信號和噪聲信號。22.1確知信號分析方法

有意義的通信信號應(yīng)具有隨機(jī)性，但是其中也會存在確知信號。

（如表示每個數(shù)字符號的信號是確知的，另外傳輸中的有些信號如導(dǎo)頻信號本身也是確知信號）。

確知信號和隨機(jī)信號分析都很必要。

確知信號是指其取值在任何時間都是確定的和可預(yù)知的信號，通?？梢杂脭?shù)學(xué)公式表示。

隨機(jī)信號則無法用明確的數(shù)學(xué)式表示。32.1確知信號分析方法

信號的基本分析方法有時域分析法和頻域分析法。

1.時域分析法具有直觀體現(xiàn)信號波形的特點，頻域分析法則更有利于揭示信號內(nèi)在的頻率特性，從而與通信中信號的頻譜、帶寬、濾波、調(diào)制、頻分復(fù)用等概念相聯(lián)系。

2.在頻域分析法中，傅里葉變換是重要的理論基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)工具。對于隨機(jī)信號分析，還需要用到概率論和數(shù)理統(tǒng)計。本節(jié)主要討論信號的頻域分析，包括頻譜密度、功率密度、能量譜密度以及希爾伯特變換。42.1確知信號分析方法

1．周期信號和非周期信號

周期信號和非周期信號、能量信號和功率信號。確知信號有周期的，也有非周期的。隨機(jī)信號通常是非周期的。

周期信號是指經(jīng)過一定時間重復(fù)出現(xiàn)的信號。

非周期信號不具有周而復(fù)始重復(fù)的特性。52.1.1信號的頻譜和頻譜密度信號的能量E和功率P。

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度

若信號能量有限，即，此時，則稱此信號為能量信號。

若，但信號功率有限，即，則稱此信號為功率信號。

72.1.1信號的頻譜和頻譜密度各類信號之間的關(guān)系：

確知的周期信號和隨機(jī)信號是功率信號；

確知的非周期信號可能是功率信號，也可能是能量信號。

反過來說，功率信號可以是確知的周期、非周期信號或隨機(jī)信號，能量信號是非周期信號。

確知信號的頻率特性由其各個頻率分量的分布表示。信號的頻率特性具體分為：頻譜、頻譜密度、功率譜密度、能量譜密度。大多數(shù)功率信號是周期信號，以下分析功率信號時均假設(shè)為周期信號，頻譜與傅里葉級數(shù)的系數(shù)有關(guān)。2.1.1信號的頻譜和頻譜密度9

2．傅里葉級數(shù)

任何周期為T的周期數(shù)

，在滿足狄里赫利條件時，可以由三角傅里葉級數(shù)表示。式中，

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度10將式中同頻率項合并，可寫成還可以由指數(shù)傅里葉級數(shù)表示：—復(fù)振幅

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度113．功率信號的頻譜

三角傅里葉級數(shù)和指數(shù)傅里葉級數(shù)都是將一個周期信號表示為直流分量和各次諧波分量之和。

將各分量的振幅和相位；或各分量的復(fù)振幅，繪成圖就得到周期信號的頻譜圖。具體包括幅度譜、相位譜、復(fù)數(shù)振幅譜。

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度12

例：脈沖寬度為

，周期為

，幅度為

的周期性矩形脈沖。信號在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為

設(shè)，，用Matlab繪制出頻譜圖。

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度13

圖2-1周期信號的單邊幅度譜和相位譜

（a）周期性矩形脈沖信號；（b）單邊幅度譜；（c）單邊相位譜

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度14指數(shù)傅里葉級數(shù)表示式：

圖2-2周期信號的雙邊幅度譜和相位譜

（

a）雙邊幅度譜；（b）雙邊相位譜

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度15

周期信號頻譜具有三個特點：離散性、諧波性和收斂性。周期信號由于諧波振幅具有收斂性，信號能量的主要集中在低頻分量中?？梢詫⑿盘柕念l帶寬度定義為：從零頻率開始到需保留的最高頻率分量之間的頻率范圍。

第一零點帶寬2.1.1信號的頻譜和頻譜密度164．能量信號的頻譜密度

能量信號通常是非周期信號，非周期信號不能直接用傅里葉級數(shù)表示。設(shè)能量信號的傅里葉變換為。

還可表示為

—頻譜密度函數(shù)。

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度—頻譜函數(shù)的模，表示非周期信號中各頻率分量幅值的相對大小。

17非周期信號的幅度譜。非周期信號的相位譜。例：求單個矩形脈沖信號的頻譜。

矩形脈沖信號表達(dá)式

頻譜函數(shù)2.1.1信號的頻譜和頻譜密度18例：求單位沖激信號的頻譜。解：時域表達(dá)式傅里葉變換為

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度

單位沖激函數(shù)的頻譜在整個頻率區(qū)間是均勻的，這樣的頻譜常稱為“均勻譜”或“白色譜”。

圖2-4沖激信號的頻譜(a)沖激信號時域波形；(b)沖激信號頻譜密度函數(shù)19和的主要區(qū)別有：（1）是連續(xù)譜，而是離散譜；（2）單位是幅度/頻率，而單位是幅度；（這里都是指其頻譜幅度）；（3）能量信號的頻譜連續(xù)地分布在頻率軸上，每個頻率點上的信號幅度是無窮小的。周期性功率信號的頻譜只有在離散的頻率點上有振幅，表示了信號各頻率分量的大小。

2.1.1信號的頻譜和頻譜密度

1．帕斯瓦爾（Parseval）定理對于能量信號，在時域中計算的信號總能量，等于在頻域中計算的信號總能量。即：

稱為能量譜，它是沿頻率軸的能量分布密度。對于周期性功率信號有

202.1.2信號的功率譜密度和能量譜密度212．能量譜密度和功率譜密度在頻域引入“密度函數(shù)”的概念：對密度函數(shù)積分就是總的能量或功率。

對比

2.1.2信號的功率譜密度和能量譜密度能量信號的能量譜密度為周期性功率信號的功率譜密度2.1.2信號的功率譜密度和能量譜密度

對于非周期功率信號，采用截短函數(shù)求極限：

根據(jù)能量信號帕斯瓦爾定理得，非周期功率信號的功率譜密度：

和可直接寫成和，區(qū)別只是在于橫軸標(biāo)記不同。

此外，和既可以表示為單邊譜，又可表示為雙邊譜。

單邊譜和雙邊譜是等價的兩種表示方法。

2.1.2信號的功率譜密度和能量譜密度例：求脈寬為

的單個矩形脈沖信號的能量譜密度。解：單個矩形脈沖的頻譜能量譜密度定義：單個矩形脈沖的能量譜密度為：

2.1.2信號的功率譜密度和能量譜密度例：求周期為

、脈寬為、幅度為的周期性矩形脈沖的功率譜密度。解：根據(jù)前面計算結(jié)果得到周期性矩形脈沖的功率譜密度如下：

希爾伯特變換在通信領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，它是信號分析與處理的重要工具。希爾伯特變換可以用于信號的調(diào)制與解調(diào)，用來統(tǒng)一描述各種模擬調(diào)制方式的原理，揭示這些方式之間的內(nèi)在聯(lián)系，簡化理論分析。2.1.3希爾伯特變換（Hilberttransform）2.1.3希爾伯特變換（Hilberttransform）1．希爾伯特變換的定義設(shè)實值函數(shù)，其中，它的希爾伯特變換定義為常記為由于是函數(shù)與的卷積積分，故可寫成2.移相設(shè)，由于，因此。

由得所以是一個相移系統(tǒng)。

對正頻率產(chǎn)生的相移。

對負(fù)頻率產(chǎn)生相移。因此，希爾伯特變換又稱為移相器。2.1.3希爾伯特變換（Hilberttransform）2.2隨機(jī)信號分析方法2.2.1

隨機(jī)過程1．隨機(jī)過程的一般概念

隨機(jī)過程可看成是一個由全部可能的實現(xiàn)構(gòu)成的總體，每個實現(xiàn)(樣本)都是一個確定的時間函數(shù)。

換個角度觀察隨機(jī)過程，它是時間t的函數(shù)，在任一時刻觀察到的值是一個隨機(jī)變量。2.2.1隨機(jī)過程定義1：隨機(jī)過程是樣本函數(shù)的全體，用ξ(t)表示。

其中xi(t)是樣本函數(shù)。定義2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量關(guān)于時間的函數(shù)。在任意一個時刻t1上隨機(jī)過程的函數(shù)值ξ(t1)是一個隨機(jī)變量。2．隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性描述1）隨機(jī)過程的一維概率分布函數(shù)2）隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)3）隨機(jī)過程的n維概率分布函數(shù)4）隨機(jī)過程的n維概率密度函數(shù)2.2.1隨機(jī)過程3．隨機(jī)過程的數(shù)字特征1）數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是時間t的函數(shù)。a2(t)可以看成隨機(jī)過程的直流功率。2）方差

方差σ2(t)可以看作隨機(jī)過程的交流功率。

平均功率2.2.1隨機(jī)過程3）自協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)與自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)自協(xié)方差函數(shù)定義為當(dāng)B(t1,t2)=0，表示X(t1)和X(t2)線性不相關(guān)。定義前一項為自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)2.2.1隨機(jī)過程2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程1．平穩(wěn)隨機(jī)過程概念隨機(jī)過程的平穩(wěn)性分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。

嚴(yán)平穩(wěn)：

任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)。嚴(yán)平穩(wěn)又稱為嚴(yán)格平穩(wěn)或狹義平穩(wěn)。寬平穩(wěn)又稱為廣義平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)：一維有與時間無關(guān)。二維有僅與時間間隔有關(guān)。嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征的特點：數(shù)學(xué)期望，常數(shù)。方差，常數(shù)。自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔τ的函數(shù)。2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程寬平穩(wěn)2．各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程

各態(tài)歷經(jīng)性:

平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的時間平均值可以用來代替其統(tǒng)計平均值。2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程例：隨機(jī)相位正弦波ξ(t)=sin(ωct+θ)，其中θ是在(0~2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。求：（1）ξ(t)是否廣義平穩(wěn)？

（2）ξ(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性？，解：2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程可見，隨機(jī)相位正弦波滿足廣義平穩(wěn)條件。，2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程當(dāng)T趨近于無窮時，所以，隨機(jī)相位正弦波是一個各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程。2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程3．平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和時間t無關(guān)，只與時間間隔τ有關(guān)：性質(zhì)：1)2)對偶性3)證明：因為非負(fù)

所以2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程4)證明：

當(dāng)時間間隔很大時，可將ξ(t)和ξ(t+τ)看成是統(tǒng)計獨立的。5)平均功率直流功率交流功率2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程4．功率譜密度非周期功率信號的功率譜公式

設(shè)隨機(jī)過程一次實現(xiàn)的截斷函數(shù)為ξT(t)，它的傅里葉變換為FT(ω)，則該樣本函數(shù)的功率譜為：

隨機(jī)過程的平均功率譜為：

平均功率為:

2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程5．維納—辛欽定理維納—辛欽定理給出平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系。

它們互為傅里葉變換對，即：

2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過程1．高斯分布

高斯分布是最常見和最重要的一種分布，一維概率密度函數(shù)如下：求解誤碼率時，經(jīng)常用到以下函數(shù)。誤差函數(shù)：補余誤差函數(shù)：

2.2.3

高斯隨機(jī)過程

高斯過程是指任意維分布都服從高斯分布的隨機(jī)過程。1）高斯過程的n維概率密度函數(shù)—第k個時刻的均值—第k個時刻的方差—第j個時刻和第k個時刻的歸一化協(xié)方差函數(shù)

2.2.3

高斯隨機(jī)過程

1)若高斯過程是寬平穩(wěn)，必將嚴(yán)平穩(wěn)。若寬平穩(wěn)，則均值和方差是常數(shù),只與時間間隔有關(guān)，即維概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，所以嚴(yán)平穩(wěn)。

2)如果高斯過程中的各隨機(jī)變量之間是互不相關(guān)，必將統(tǒng)計獨立。在不同時刻取值不相關(guān)，則3)經(jīng)過線性變換仍是高斯過程。2.2.3

高斯隨機(jī)過程2.2.4窄帶高斯過程1．窄帶隨機(jī)過程

窄帶隨機(jī)過程滿足：

中心頻率為載頻fc

，帶寬為Δf

，且Δf<<

fc

。46調(diào)制器帶通濾波器解調(diào)器n(t)寬帶噪聲窄帶噪聲

2．窄帶過程的數(shù)學(xué)表示窄帶過程的數(shù)學(xué)表示方法有兩種。

第一種用包絡(luò)和相位表示。

aξ(t)隨機(jī)包絡(luò)；φξ(t)隨機(jī)相位。第二種用同相分量和正交分量表示。

ξc(t)同相分量；ξs(t)正交分量。472.2.4窄帶高斯噪聲

3．白噪聲白噪聲的功率譜密度

，n0—單邊功率譜密度

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)理想低通白噪聲：

482.2.4窄帶高斯噪聲

窄帶高斯白噪聲表達(dá)式：

特性：1）均值為零的窄帶高斯噪聲n(t)，若平穩(wěn)，則同相分量nc(t)和正交分量ns(t)也是平穩(wěn)隨機(jī)過程，高斯分布，且均值和方差與n(t)相同；2）窄帶高斯噪聲的隨機(jī)包絡(luò)an(t)服從瑞利(Rayleigh)分布；3）窄帶高斯噪聲的隨機(jī)相位φn(t)服從均勻分布。492.2.4窄帶高斯噪聲2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯過程的兩種描述方式：方式一：用同相分量和正交分量描述信號噪聲信號加噪聲Zc(t)和Zs(t)統(tǒng)計獨立，且均為高斯過程。統(tǒng)計特性：方式二：用包絡(luò)和相位描述其概率密度2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲

與θ無關(guān)。正弦波加窄帶高斯過程包絡(luò)服從廣義瑞利分布或萊斯（Rice）分布2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲0階修正貝塞爾函數(shù)：（1）如果A＝0，則Rice分布就退化成了瑞利分布。（2）若A>3σ時，Rice分布近似于高斯分布。

正弦波加窄帶高斯過程相位的概率密度函數(shù)：

小信噪比時接近于均勻分布

大信噪比時主要集中在信號相位附近。2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲2.3隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.3.1信號通過線性系統(tǒng)的不失真條件設(shè)系統(tǒng)傳輸函數(shù)，輸入e(t)，輸出r(t)。無失真?zhèn)鬏敃r域關(guān)系：頻譜關(guān)系為因此

542.3隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的特性對于確知信號，輸入e(t)經(jīng)過線性系統(tǒng)h(t)后,

輸出r(t)可以表示為：頻譜關(guān)系為：功率譜密度之間的關(guān)系