排列與排列數(shù)、排列數(shù)公式高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

§2排列第1課時(shí)排列與排列數(shù)、排列數(shù)公式1.通過實(shí)例，理解排列的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的層次；2.能夠利用排列數(shù)公式解決一些簡單的實(shí)際問題，達(dá)到邏輯推理和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的層次。環(huán)節(jié)一排列的概念思考1：3名同學(xué)排成一行照相，共有多少種排法？分析設(shè)3名同學(xué)分別為A,B,C.將3名同學(xué)排成一行,可以看作將字母A,B,C放入如圖5-5的方格中. 第1步:第一個(gè)位置可以從A,B,C三人中任選1人，有3種方法；第2步:第二個(gè)位置可以從除了已經(jīng)排在第一個(gè)位置的人之外的2個(gè)人中任選1人，有2種方法，即第一個(gè)位置的每一種方法都對(duì)應(yīng)2種方法；第3步:第三個(gè)位置只能是除了已經(jīng)排在第一個(gè)位置和第二個(gè)位置的2個(gè)人之外剩下的1人，有1種方法1、排列的概念N=3×2×1=6思考2：北京、廣州、南京、武漢4個(gè)城市相互通航，請(qǐng)列舉岀所有機(jī)票的情況，并指出共有多少種機(jī)票.1、排列的概念第1步:確定可以作為起點(diǎn)的城市，有4種方法；第2步:作為終點(diǎn)的城市可以從起點(diǎn)城市之外的3個(gè)城市中任選1個(gè)，有3種方法.4×3=12思考3：從4面不同顏色（紅、黃、藍(lán)、綠）的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號(hào)，共能組成多少種信號(hào)？1、排列的概念第1步:第一個(gè)位置可以從4面不同顏色的旗子中任選1面，有4種方法；第2步:第二個(gè)位置可以從除了確定在第一個(gè)位置的那面旗子之外的3面中任選1面,有3種方法，即第一個(gè)位置的每一種方法都對(duì)應(yīng)3種方法；第3步:第三個(gè)位置只能從除了確定在第一個(gè)位置和第二個(gè)位置的2面之外剩下的2面中任選1面，有2種方法，即第一個(gè)位置和第二個(gè)位置確定的每一種方法都對(duì)應(yīng)2種方法4×3×2=24思考4：上述思考題有什么共同點(diǎn)？1、排列的概念這些問題都是對(duì)給定的n個(gè)元素或者其中的一些元素，按照一定的順序進(jìn)行排列.排列的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.思考5：從定義可以看出排列有幾個(gè)步驟？先選后排判斷下列問題是排列問題嗎？（1）從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其不同結(jié)果有多少種？任選兩個(gè)做除法，其不同結(jié)果有多少種？（2）會(huì)場有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排3個(gè)客人入座，又有多少種方法？（3）從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選出兩名參加活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加活動(dòng)A，另一名同學(xué)參加活動(dòng)B有多少種方法？若從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選出兩名參加一項(xiàng)活動(dòng)；（4）平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這五點(diǎn)最多可確定多少條射線？可確定多少條直線？不是排列是排列是排列不是排列是排列是排列不是排列不是排列判斷下列問題是排列問題嗎？（1）下列說法：①1，2，3與3，2，1為同一排列；②在一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)；③從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素，就組成一個(gè)排列；④從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽的所有不同的選法是一個(gè)排列問題；⑤從3，5，7，9中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，可以得到多少個(gè)冪屬于排列問題.其中，正確的個(gè)數(shù)有

個(gè)。解析

（1）對(duì)于①，雖然元素相同，但元素的排列順序不相同，不是同一個(gè)排列，錯(cuò)誤；對(duì)于②，根據(jù)定義，在一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)，正確；對(duì)于③，從1，2，3，4中任選兩個(gè)元素，但沒有進(jìn)行排列，錯(cuò)誤；對(duì)于④，從5個(gè)同學(xué)中任選2個(gè)同學(xué)分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，交換元素后結(jié)果發(fā)生變化，是排列問題，正確；對(duì)于⑤，從3，5，7，9中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，交換底數(shù)和指數(shù)后結(jié)果發(fā)生變化，屬于排列問題，正確.綜上可知，說法正確的個(gè)數(shù)是3環(huán)節(jié)二排列數(shù)及公式2、排列數(shù)及公式

2、排列數(shù)及公式第1步:第一個(gè)位置可以從n個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有n種方法；第2步:第二個(gè)位置可以從除了確定排在第一個(gè)位置的那個(gè)元素之外的(n-1)個(gè)中任選1個(gè)，有(n-1)種方法，即第一個(gè)位置的每一種方法都對(duì)應(yīng)(n-1)種方法

提示：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的排列，看成從n個(gè)不同的球中取出m個(gè)球,放入排好的m個(gè)盒子中,每個(gè)盒子里放一個(gè)球，我們根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理排列這些球：第1步,從全體n個(gè)球中任選一個(gè)放入第1個(gè)盒子，有n種方法；第2步，從剩下的(n-1)個(gè)球中任選一個(gè)放入第2個(gè)盒子，有(n-1)種方法；2、排列數(shù)及公式第3步，從剩下的(n-2)個(gè)球中任選一個(gè)放入第3個(gè)盒子，有(n-2)種方法；……第m步，從剩下的[n-(m-1)］個(gè)球中任選一個(gè)放入第m個(gè)盒子，有［n-(m-1)］種方法

因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從n個(gè)不同的球中取出m個(gè)球的排列，共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)］種方法.2、排列數(shù)及公式排列數(shù)公式：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)］種，所以

2、排列數(shù)及公式

（3）某省中學(xué)生足球賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？分析:每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成一個(gè)排列.解

可以先從6支隊(duì)選1支隊(duì)為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支隊(duì)為客隊(duì)，按分步乘法計(jì)數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為:6×5=30.2、利用1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

思考

：若題目改為“利用1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)的三位數(shù)”呢？N=4×4×4=64種3、用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題.

特殊元素分析法3、用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

特殊位置分析法3、用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

間接分析法1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個(gè)題的目的是:希望通過對(duì)本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對(duì)重要元素區(qū)別對(duì)待,間接法對(duì)對(duì)立面比較容易求解的題目特別實(shí)用.【方法總結(jié)】3名男生、4名女生按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法的種數(shù).（1）全體站成一排，男、女各站在一起；

（2）全體站成一排，男生必須站在一起；

3名男生、4名女生按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法的種數(shù).（3）全體站成一排，男生不能站在一起；

（4）全體站成一排，男、女各不相鄰.

7人站成一排.求：（1）甲、乙兩人相鄰的排法有多少種？

（2）甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種？

7人站成一排.求：（3）甲、乙、丙三人必相鄰的排法有多少種？

（4）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種？

1.在實(shí)際排列問題中，有些元素必須相鄰.在解決此類問題時(shí)，可先將其看成一個(gè)“大元素”與其他元素一起排列，再對(duì)這些元素進(jìn)行全排列.2.排列問題中，解決“不相鄰”問題的有效方法是“插空法”，也就是先將其余元素排好，再將要求不相鄰的元素插入空