【數(shù)學(xué)】湖北省黃崗區(qū)黃梅縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中試題（解析版）

湖北省黃崗區(qū)黃梅縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1.下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心．由定義可判定A、C、D選項(xiàng)的圖形不是中心對稱圖形，故不符合題意；B選項(xiàng)的圖形是中心對稱圖形，符合題意．故選：B．2.下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】A、，則方程沒有實(shí)數(shù)根，所以該選項(xiàng)符合題意；B、方程整理得，，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以該選項(xiàng)不符合題意；C、，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以該選項(xiàng)不符合題意；D、整理整理為，，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以該選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3.對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小值為2 B.函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是 D.與軸有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】A【解析】A、拋物線的開口向上，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最小值為2，則正確，故符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則錯(cuò)誤，故不符合題意；C、頂點(diǎn)坐標(biāo)是，則錯(cuò)誤，故不符合題意；D、頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且開口向上，則與軸沒有交點(diǎn)，則錯(cuò)誤，故不符合題意；故選A．4.如圖，是的直徑，、為上的點(diǎn)，且點(diǎn)在上．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，是直徑，，．故選：B．5.繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)65°得到，∴，∵，∴，故選C．6.在“雙減政策”的推動(dòng)下，我區(qū)某中學(xué)學(xué)生每天書面作業(yè)時(shí)長明顯減少，2022年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時(shí)長為，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時(shí)長為．設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長每期的下降率為，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)根據(jù)題意得：．故選：C．7.如圖，已知是的直徑，，，是弧的中點(diǎn)，則（）A4 B.3 C.2.5 D.2【答案】D【解析】如圖，連接，是弧的中點(diǎn)，，，，，，，，是的直徑，，，，，故選：D．8.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③為任意實(shí)數(shù)，則；④當(dāng)時(shí)，．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】∵拋物線開口向上，則，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴對稱軸為直線，則即，拋物線與軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，則，∴，故①正確；∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)∴又∴，即，故②錯(cuò)誤；∵對稱軸為直線，，∴當(dāng)時(shí)，的最小值，∴當(dāng)為任意實(shí)數(shù)，則，即，故③錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，．故④正確；綜上，①④正確；故選：B．二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）9.已知點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，則______．【答案】1【解析】∵點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，∴，∴．故答案為：．10.若方程的兩根為，，則的值為_____．【答案】7【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，∴，故答案為：7．11.將拋物線先向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______．【答案】【解析】將拋物線向左平移1個(gè)單位所得直線解析式為：；再向下平移4個(gè)單位為：，故答案為：．12.如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．若，，則的長度為______．【答案】【解析】∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：．13.關(guān)于x的一元二次方程有一根為0，則m＝_____．【答案】【解析】關(guān)于x的一元二次方程有一根為0，滿足關(guān)于x的一元二次方程，且，，且m﹣1≠0，解得：；故答案是：．14.拋物線，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．【答案】【解析】，拋物線開口向上，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴．故答案為：．15.如圖，中，，，，把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的長是______．【答案】【解析】∵中，，，，∴，∴，∵把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴．故答案：．16.如圖，已知，，，，點(diǎn)在所在直線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊三角形．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值_____．【答案】【解析】以為邊作正，并作，垂足為點(diǎn)，連接、，在中，，，，∴,，∴，∵，都是等邊三角形，∴,,,∴，即，在和中，∴，∴，∴最小即是最小，∵當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴四邊形是矩形，∴,∴的最小值是.故答案為：.三、解答題（共8小題）17.解下列方程：（1）；（2）；（3）．解：（1），；（2），；（3），．18.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，．（1）畫出關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）畫出將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題圖可知：，，，關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形，、、，再順次連接、、可得到如圖：即；（2）由題圖可知：，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，、、，再順次連接、、可得到如圖：即；19.某村為了促進(jìn)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，建設(shè)了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如圖是蔬菜大棚的截面，形狀為圓弧型，圓心為，跨度（弧所對的弦）的長為8米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為2米．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在修建過程中，在距蔬菜大棚的一端（點(diǎn)）1米處將豎立支撐桿，求支撐桿的高度．解：（1）垂直平分，圓心在的延長線上．設(shè)的半徑為米，則米．，（米）．在中，由勾股定理得：，即，解得．即該圓弧所在圓的半徑為5米；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．，．∵，∴四邊形為矩形，，在中，．，．．即支撐桿的高度為1米．20.如圖，要利用一面墻（墻長為米），用米的圍欄建菜園（圍欄無剩余），基本結(jié)構(gòu)為三個(gè)大小相同的矩形．（1）如果圍成的總面積為平方米，求菜園的邊、的長各為多少米？（2）保持菜園的基本結(jié)構(gòu)，菜園總面積是否可以達(dá)到平方米？請說明理由．解：（1）設(shè)，則，由題意知，，即，解得：，．，，．，．答：菜園的邊長為米，長為米．（2）不能；理由：設(shè)米時(shí)，菜園的總面積為平方米．由題意得，即，，，，．方程無實(shí)數(shù)根，菜園的總面積不能達(dá)到平方米．21.如圖，是直徑，弦于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，連結(jié)．

（1）求證：；（2）若，求弦的長度．解：（1），，，，．.，，；（2）連接．

設(shè)圓的半徑為，則．，為直徑，．在中，由勾股定理得：，解得．．在中，由勾股定理得：，解得．22.某網(wǎng)店專門銷售杭州第十九屆亞運(yùn)會(huì)吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝，成本為每件30元，每天銷售（件）與銷售單價(jià)（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，網(wǎng)店每天的銷售利潤為元．網(wǎng)店希望每天吉祥物機(jī)器人“江南憶”套裝的銷售量不低于250件．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？（3）如果每天的利潤不低于3000元，直接寫出銷售單價(jià)（元）的取值范圍．解：（1）設(shè)，將、代入，得：，解得：，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）設(shè)每周可獲利潤為W元，．又，，時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．答：當(dāng)銷售單價(jià)為45元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3750元．（3）依題意得：，即，解得：，，，當(dāng)時(shí)，每月利潤不低于3000元．23.如圖，和都是等腰直角三角形，．（1）【猜想】如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）【探究】：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）【拓展】：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)A，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，直接寫出的長．解：（1）∵和都是等腰直角三角形，，∴，，，，∵，，故答案為：；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，，，，，；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)C作于M，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖4，過點(diǎn)C作于N，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；綜上，的長為或．24.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，判斷點(diǎn)是否落在拋物線上，并說明理由；（3）求的最大值；（4）如果是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．解：（1）∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為，把，代入，得：，∴，∴；（