新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 第3講 不等式（含解析）

專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講不等式考情分析KAOQINGFENXI1.不等式的解法是數(shù)學(xué)的基本功，在許多題目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立問題常用到基本不等式.3.題型多以選擇題、填空題形式考查，中等難度.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二專題強(qiáng)化練1考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)與解法PARTONE核心提煉2.不等式恒成立問題的解題方法(1)f(x)>a對一切x∈I恒成立?f(x)min>a，x∈I；f(x)<a對一切x∈I恒成立?f(x)max<a，x∈I.(2)f(x)>g(x)對一切x∈I恒成立?當(dāng)x∈I時，f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方.(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法.√對于選項(xiàng)D，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)p>1,0<m<n<1時，logmp>lognp，故D正確.對于選項(xiàng)C，由于函數(shù)y＝x－p在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且0<m<n<1，所以m－p>n－p，故C不正確；(2)(2020·北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校模擬)已知關(guān)于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，則關(guān)于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是A.(－∞，－3)∪(2，＋∞) B.(－3,2)C.(－∞，－2)∪(3，＋∞) D.(－2,3)√解析由關(guān)于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a<0，則關(guān)于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0可化為x2＋x－6>0，即(x＋3)(x－2)>0，解得x<－3或x>2，所以不等式的解集為(－∞，－3)∪(2，＋∞).易錯提醒求解含參不等式ax2＋bx＋c<0恒成立問題的易錯點(diǎn)(1)對參數(shù)進(jìn)行討論時分類不完整，易忽略a＝0時的情況.(2)不會通過轉(zhuǎn)換把參數(shù)作為主元進(jìn)行求解.(3)不考慮a的符號.{x|－1≤x≤1}解析由x2f(x)＋x－2≤0，得∴原不等式的解集為{x|－1≤x≤1}.(2)若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是√解析當(dāng)a2－4＝0時，解得a＝2或a＝－2，當(dāng)a＝2時，不等式可化為4x－1≥0，解集不是空集，不符合題意；當(dāng)a＝－2時，不等式可化為－1≥0，此式不成立，解集為空集.當(dāng)a2－4≠0時，要使不等式的解集為空集，2考點(diǎn)二基本不等式PARTTWO基本不等式求最值的三種解題技巧(1)湊項(xiàng)：通過調(diào)整項(xiàng)的符號，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值.(2)湊系數(shù)：若無法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而利用基本不等式求最值.(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開，即化為y＝m＋

＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值.核心提煉例2

(1)下列不等式的證明過程正確的是√由于lga，lgb的符號不確定，故選項(xiàng)C錯誤；易錯提醒運(yùn)用基本不等式時，一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指“正數(shù)”；“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號成立的條件.若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的條件一致，否則最值取不到.解析∵a>0，b>0，由a－b＝1，得a＝1＋b，(2)(2020·江蘇)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是________.解析方法一

由題意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，方法二

設(shè)x2＋y2＝t>0，則x2＝t－y2.因?yàn)?x2y2＋y4＝1，所以5(t－y2)y2＋y4＝1，所以4y4－5ty2＋1＝0.3專題強(qiáng)化練PARTTHREE一、單項(xiàng)選擇題1.不等式(－x＋3)(x－1)<0的解集是A.{x|－1<x<3} B.{x|1<x<3}C.{x|x<－1或x>3} D.{x|x<1或x>3}12345678910111213141516√解析不等式即(x－3)(x－1)>0，由二次不等式的解法大于分兩邊可得不等式的解集為{x|x<1或x>3}.12345678910111213141516√解析對于A選項(xiàng)，當(dāng)c＝0時，不成立，故A選項(xiàng)錯誤.當(dāng)a＝1，b＝0，c＝1，d＝0時，a－c＝b－d，故C選項(xiàng)錯誤.由不等式的性質(zhì)知D正確.3.(2020·北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校模擬)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－2或x>3}，則f(10x)>0的解集為A.{x|x<－2或x>lg3} B.{x|－2<x<lg3}C.{x|x>lg3} D.{x|x<lg3}12345678910111213141516解析一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－2或x>3}，則f(x)>0的解集為{x|－2<x<3}，則f(10x)>0可化為－2<10x<3，解得x<lg3，所以所求不等式的解集為{x|x<lg3}.√12345678910111213141516√解析由題意得a>1,0<b<1，5.(2018·全國Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則A.a＋b<ab<0 B.ab<a＋b<0C.a＋b<0<ab

D.ab<0<a＋b12345678910111213141516√解析∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0.∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，12345678910111213141516√當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時，等號成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值為4.故選B.123456789101112131415167.已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，則a＋b的最小值是A.4B.5C.6D.7解析由a>－1，b>－2，得a＋1>0，b＋2>0，√當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2時等號成立，所以a＋b的最小值是5.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2－2ab＋9b2－c＝0，又因?yàn)閍2－2ab＋9b2－c＝0，所以此時c＝12b2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時等號成立.故最大值為1.12345678910111213141516√√10.已知a∈Z，關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則a的值可以是A.6B.7C.8

D.912345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析方法一

設(shè)y＝x2－6x＋a，則其圖象為開口向上，對稱軸是x＝3的拋物線，如圖所示.若關(guān)于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且僅有3個整數(shù)，又a∈Z，故a可以為6,7,8.方法二

分離常數(shù)，得a≤－x2＋6x，函數(shù)y＝－x2＋6x的圖象及直線y＝a，如圖所示，由圖易知5<a≤8.12345678910111213141516√√12345678910111213141516對于B，因?yàn)閥＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以a>b>0?lna>lnb，故B正確；對于C，設(shè)f(x)＝xlnx，則f′(x)＝lnx＋1(x>0)，所以a>b>0不能推出alna<blnb，故C錯誤；12345678910111213141516對于D，設(shè)g(x)＝x－ex(x>0)，則g′(x)＝1－ex.因?yàn)閤>0，所以ex>1，所以g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a>b>0時，g(a)<g(b)，即a－ea<b－eb，即a－b<ea－eb，充分性成立；當(dāng)a>0，b>0，且a－b<ea－eb時，易證得a>b，必要性成立，故D正確.12345678910111213141516√√√1234567891011121314151612345678910111213141516②④解析由于0<a<1，所以函數(shù)f(x)＝logax和g(x)＝ax在定義域上都是單調(diào)遞減函數(shù)，1234567891011121314151614.當(dāng)x∈(0，＋∞)時，關(guān)于x的不等式mx2－(m＋1)x＋m>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.(1，＋∞)12345678910111213141516解析∵x∈(0，＋∞)，mx2－(m＋1)x＋m>0恒成立，∴m(x2－x＋1)>x恒成立，∴m>1.1234567891011121314151612345678910111213141516當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時“＝”成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(a－1)＋f(2a2)≤