專題11 相似三角形的六大基本模型專項(xiàng)訓(xùn)練(解析版)（重點(diǎn)突圍）

專題11相似三角形的六大基本模型專項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)一（雙）A字型相似考點(diǎn)二（雙）8字型相似考點(diǎn)三母子型相似考點(diǎn)四旋轉(zhuǎn)相似考點(diǎn)五K字型相似考點(diǎn)六三角形內(nèi)接矩形/正方形考點(diǎn)一（雙）A字型相似例題：（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在中，D、E分別是邊、上的點(diǎn)，且，，．則下列說(shuō)法不正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用，根據(jù)平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵，∴，∴，∴，∴，故選項(xiàng)B，D正確，不符合題意；∵，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（2021·安徽·安慶市石化第一中學(xué)九年級(jí)期中）圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出，將兩個(gè)式子相加，即可求出GH的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問(wèn)題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)期中）如圖，一路燈與墻相距20米，當(dāng)身高米的小亮在離墻17米的D處時(shí)，影長(zhǎng)為1米．(1)求路燈B的高度；(2)若點(diǎn)P為路燈，請(qǐng)畫(huà)出小亮位于N處時(shí)，在路燈P下的影子NF（用粗線段表示出來(lái)）【答案】(1)米(2)見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)證明即可求出路燈的高度；（2）連接PM并延長(zhǎng)，交BO于點(diǎn)F．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵米，米，米，∴米，米，∴，解得：．∴路燈高米．（2）如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查了用相似三角形測(cè)高，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形找出相似三角形，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程求解．5．（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣水市鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出結(jié)論．【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于常考題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二（雙）8字型相似例題：（2021·海南海口·九年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊互相平行可得，然后求出和相似，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4，設(shè)，，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后表示出的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后相比計(jì)算即可得解．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽，：：：4，EF:AF=1:2設(shè)，則，：：2，：：：2，，，是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，，，：：：5．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的比的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形和都是平行四邊形，點(diǎn)F在邊上，且，連接分別交于點(diǎn)G，H，設(shè)與面積的比為k，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接，證明，可得，，設(shè)，則，可得，設(shè)，則，，，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形和都是平行四邊形，∴，∴，∴，，∵，設(shè)，則，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，由，∴，∴，∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握“相似三角形的面積比等于相似比的平方”是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南岳陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E在邊上，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)知，則，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，說(shuō)明是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)F在平行四邊形的邊上，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)O，若，則＝_____．【答案】2【分析】根據(jù)平行四邊形中，可得，，再根據(jù)，得出，從而得出，再利用，求出的值．【詳解】解：在平行四邊形中，∵．∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·重慶市大學(xué)城第一中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，是上一點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)__________【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，求出，設(shè)為，則為，根據(jù)，得到，，由相似三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而表示出的長(zhǎng)，求出的值，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)G，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，設(shè)為，則為，∵，∴，，∴，，∴，∴∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等高的三角形的面積比等于底邊的比，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出的值．5．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因?yàn)?列出關(guān)于MN的方程，即可求出MN的長(zhǎng)．【詳解】∵M(jìn)N⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對(duì)應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．6．（2022·陜西渭南·八年級(jí)期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若，則___．【答案】2【分析】延長(zhǎng)CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長(zhǎng)CF、BA交于M，∵E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．7．（2021·重慶·九年級(jí)期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）因?yàn)椤?，根?jù)相似三角形的性質(zhì)可知，代入數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】證明：（1），，∽；（2）∽，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據(jù)，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，由得，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）

如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

（1）當(dāng)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，①的長(zhǎng)為_(kāi)_______；②求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上時(shí)，如圖，此時(shí)的長(zhǎng)為_(kāi)_______；________；（3）當(dāng)時(shí)，求的正弦值．【答案】（1）①12；②見(jiàn)解析；（2），；（3）或．【分析】（1）①根據(jù)△ABE∽△FCE，可得，即＝1，進(jìn)而得到CF的長(zhǎng)；②根據(jù)四邊形ABCD為正方形，可得∠F＝∠BAF，由折疊可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，進(jìn)而得到AM＝FM．（2）根據(jù)∠CAE＝∠CFE，可得FC＝AC，再根據(jù)等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，即可得到CF的長(zhǎng)為12；由折疊可得，BE＝B'E，再根據(jù)等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，即可得出；（3）分兩種情況討論：①點(diǎn)E在線段BC上，②點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，分別設(shè)DM＝x，根據(jù)Rt△ADM中，AM2＝AD2＋DM2，得到關(guān)于x的方程，求得x的值，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①如圖，由可得：，∴，即，∴的長(zhǎng)為．故答案為：．②證明：∵四邊形為正方形，∴，∴，由折疊可知：，∴，∴．（2）如圖2，由折疊可得，∠BAE＝∠CAE，由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，∴∠CAE＝∠CFE，∴FC＝AC，又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，∴CF＝12，即CF的長(zhǎng)為12，由折疊可得，BE＝B'E，∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，∴；故答案為：；；①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖3，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，由可得：，∴，即，∴，由②可知．設(shè)，則，則，在中，，即，解得：，則，∴．②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4由可得：，∴，即，∴，則，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的正弦值為或．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題（3）的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論思想，依據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行計(jì)算求解，解題時(shí)注意分類思想與方程思想的運(yùn)用．考點(diǎn)三母子型相似例題：（2021·廣西·百色市田陽(yáng)區(qū)第五初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知：如圖，中，，平分．(1)求證：；(2)試說(shuō)明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，平分可以求出，然后證明出；（2）證得與相似，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得證．【詳解】（1）證明：∵，平分，∴，∴；（2）解：在和中，，∴，∴，即，∵∴．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，掌握三角形判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·北京市師達(dá)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出，代入AC、AD的值可求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)BD=AB-AD即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴．∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)4．【分析】（1）先證明∠A＝∠DBA，進(jìn)而得到∠A＝∠CBD，再根據(jù)∠C＝∠C，即可證明△ABC∽△BDC；（2）根據(jù)∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）證明：如圖，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如圖，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的證明和直角三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵，第（2）步中求出∠A＝30°是解題關(guān)鍵．3．（2021·安徽滁州·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．4．（2022·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）[感知]如圖①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要證明）(1)[探究]如圖②所示，李麗同學(xué)將圖①的等腰改為任意，AD平分，他通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學(xué)進(jìn)行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：方法1：過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，利用與的面積比證明結(jié)論．方法2：過(guò)點(diǎn)B作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，利用與相似證明結(jié)論．請(qǐng)你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明．(2)[應(yīng)用]如圖③所示，在中，，，，AD平分．若點(diǎn)E在邊AB上，，CE交AD于點(diǎn)F，則______．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）方法1：如圖2-1所示，過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)的邊邊上的高為h，則，，據(jù)此證明即可；方法2：如圖2-2所示，過(guò)點(diǎn)B作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明，得到，再證明，得到，即可證明；（2）由（1）的結(jié)論可知，如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作交于H，由平行線分線段成比例定理得到，，則，求出，進(jìn)而求出，即可得到答案．【詳解】（1）解：方法1：如圖2-1所示，過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∵平分，∴，設(shè)的邊邊上的高為h，∵，，∴，∴方法2：如圖2-2所示，過(guò)點(diǎn)B作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴由（1）的結(jié)論可知，如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作交于H，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四旋轉(zhuǎn)相似例題：（2022·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，．如圖②，若△ABC固定不動(dòng)，把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點(diǎn)分別為M、N點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合．【探究】求證：．【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4．(1)的值為_(kāi)_____．(2)若，則MN的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證，又由，可證明結(jié)論；【應(yīng)用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，再由，得，則；（2）由，得，由（1）知，得，從而得出答案．(1)∵△ABC為等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；(2)（1）∵等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：8；（2）∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用前面探索的結(jié)論解決新的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等來(lái)判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．2．（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，在矩形中，已知．，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)時(shí)，＝；②當(dāng)時(shí)，＝；(2)拓展探究：將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2的位置，求此時(shí)的值；(3)問(wèn)題解決：當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長(zhǎng)（寫(xiě)出必要的解題過(guò)程）．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）①根據(jù)矩形中，．，，運(yùn)用勾股定理得到，當(dāng)時(shí)，根據(jù)E、F分別是、的中點(diǎn)，得到，，即可求得；②當(dāng)時(shí)，由，得到；（2）連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，結(jié)合，推出，推出；（3）根據(jù)，求出，根據(jù)，得到，當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，結(jié)合，得到，得到；當(dāng)點(diǎn)F在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，得到，得到．【詳解】（1）解：（1）①當(dāng)時(shí)，見(jiàn)題干圖1，∵矩形中，．，，∴，∵點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，如圖1，∵，∴，故答案為：；（2）如圖2，連接，由旋轉(zhuǎn)知，，∵，∴，∴；（3）A、F、E三點(diǎn)共線時(shí)，，∵，，∴，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，如圖3，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)F在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，，∴；故的長(zhǎng)度為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形和三角形旋轉(zhuǎn)的綜合．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形．注意分類討論．考點(diǎn)五K字型相似例題：（2022·陜西西安·九年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作射線交于點(diǎn)M，使．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）由得，而，則，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明，從而可得結(jié)論；（2）作于點(diǎn)D，則，由，證明，即可根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”求出的值．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）如圖，，作于點(diǎn)D，，則，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴，而，∴．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝_____．【答案】3．【分析】過(guò)F作FG⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于G，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出BE的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示，過(guò)F作FG⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于G，則∠G＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，∴DG＝EC，設(shè)EC＝x，則DG＝x，F(xiàn)G＝x，∵Rt△FDG中，F(xiàn)G2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結(jié)論；（2）由，先求解，設(shè)，再利用相似三角形的性質(zhì)可得：，列方程，解方程即可得到答案．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD，設(shè)，則，∴經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以三角形的邊長(zhǎng)為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，，又，，，設(shè)，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過(guò)構(gòu)造45°角將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計(jì)算出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如圖3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如圖4圖5圖6，連接EF．在中，，，，如圖4，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，或舍如圖5，當(dāng)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或舍，③如圖6，當(dāng)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或（舍），綜上：或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點(diǎn)．考點(diǎn)六三角形內(nèi)接矩形/正方形例題：（2022·黑龍江大慶·八年級(jí)期中）如圖，有一塊三角形土地，它的底邊m，高m，某單位要沿底邊BC建一座是矩形的大樓，且使矩形的兩個(gè)端點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，當(dāng)這座大樓的地基面積為1875時(shí)，求這個(gè)矩形沿BC邊所占的EF的長(zhǎng)．【答案】當(dāng)EF的長(zhǎng)為62.5或37.5米時(shí)，最大面積為1875平方米【分析】設(shè)DE的長(zhǎng)為x，先證△ADG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得，得，再根據(jù)面積列出，求出x即可．【詳解】解：設(shè)DE的長(zhǎng)為x，∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DG∴，∴，∴，∴矩形DEFG面積為：，解得：x＝30或50，EF＝DG＝62.5或37.5．∴當(dāng)EF的長(zhǎng)為62.5或37.5米時(shí)，最大面積為1875平方米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理清題意正確地找到相似三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)F、G在上，點(diǎn)E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長(zhǎng)為_(kāi)___________．【答案】##4.8【分析】通過(guò)四邊形EFGH為矩形推出，因此△AEH與△ABC兩個(gè)三角形相似，將AM視為△AEH的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．【詳解】∵四邊形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分別是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．（2022·上海嘉定·九年級(jí)期中）如圖，已知在中，邊，高，正方形的頂點(diǎn)、在邊上，頂點(diǎn)、分別在邊和上，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性質(zhì)可知，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得比例線段，利用比例線段可求正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：四邊形是正方形，，，，，，，又，，，，，即，設(shè)，則，，解得：，，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常見(jiàn)題型．3．（2021·廣西·百色市田陽(yáng)區(qū)第五初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，是一塊三角形的鐵皮，長(zhǎng)為，邊上的高長(zhǎng)為，要將它加工成一塊矩形鐵皮，使矩形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E，H分別在上，且矩形的面積是三角形面積的一半，求這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬．【答案】長(zhǎng)為，寬為【分析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為，的高為h，再判定，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)可得，表示出的面積，再根據(jù)矩形的面積是三角形面積的一半可得，解方程即可．【詳解】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為，的高為h，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即：，，∴矩形寬為，∵，∴，即，解得：，∴，∴這個(gè)矩形的長(zhǎng)為，寬為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用和解一元二次方程，關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一塊直