專題16 難點(diǎn)探究專題：平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題16難點(diǎn)探究專題：平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題】 1【類型二平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問(wèn)題】 5【類型三平面直角坐標(biāo)系中圖形變換問(wèn)題】 8【類型四平面直角坐標(biāo)系中新定義型問(wèn)題】 10【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 17【典型例題】【類型一平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)；接著水平向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】對(duì)奇數(shù)點(diǎn)，偶數(shù)點(diǎn)分開(kāi)討論，找出點(diǎn)坐標(biāo)與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解．【詳解】解：，；，；，；，；……當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，由開(kāi)始的幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開(kāi)討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標(biāo)系中按圖中路線進(jìn)行“爬樓梯”運(yùn)動(dòng)，第1次它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)……按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第2023次運(yùn)動(dòng)后，小螞蟻的坐標(biāo)是（

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A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找到橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，再算出2023與2的商和余數(shù)，繼而得解．【詳解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，則橫坐標(biāo)是從1開(kāi)始的正整數(shù)，每個(gè)正整數(shù)出現(xiàn)2次，縱坐標(biāo)是從0開(kāi)始的正整數(shù)，其中只有0出現(xiàn)1次，其余數(shù)出現(xiàn)2次，則，∴第2023次的坐標(biāo)是：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是觀察點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．2．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級(jí)佳木斯市第五中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，……，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了次，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)按，，，，，，，，重復(fù)出現(xiàn)，每個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了次．觀察圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)可知：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)按，，，，，，，，重復(fù)出現(xiàn)，每個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)．∵，∴當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)次運(yùn)動(dòng)后，橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為．即點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)歸納概括出點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，把一條長(zhǎng)為a個(gè)單位長(zhǎng)度且沒(méi)有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出四邊形的周長(zhǎng)，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個(gè)單位長(zhǎng)度，從而確定答案．【詳解】解：∵，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為，∴細(xì)線繞一圈的長(zhǎng)度為10，∵，∴當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)與點(diǎn)重合，坐標(biāo)為：；∵，∴當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)在點(diǎn)下方1個(gè)單位長(zhǎng)度處，即為：；故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)的規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是求出四邊形的周長(zhǎng)。【類型二平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問(wèn)題】例題：（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿x軸無(wú)滑動(dòng)向右翻滾，經(jīng)過(guò)一次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，經(jīng)過(guò)第二次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為；……，依次類推，經(jīng)過(guò)第2023次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形即可得到經(jīng)過(guò)4次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，求出的商，從而解答本題．【詳解】解：觀察圖形得，，，，，經(jīng)過(guò)4次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，，∵點(diǎn)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：，∴經(jīng)過(guò)505次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．∴的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查探究點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的變化規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直角三角形，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，將按如圖方式在x軸負(fù)半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，從到經(jīng)過(guò)的路程恰好為的周長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：從到經(jīng)過(guò)的路程恰好為的周長(zhǎng)：故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：同理：從到經(jīng)過(guò)的路程恰好為：故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：…∴、、、…、的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：∵∴的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：∵與的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與規(guī)律．根據(jù)題意確定坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)的位置，則的橫坐標(biāo)為（

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A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】觀察圖形和各點(diǎn)坐標(biāo)可知：點(diǎn)到要翻轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)，到橫坐標(biāo)剛好加4，到處橫坐標(biāo)加3，按照此規(guī)律，求出的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：由題意可知：點(diǎn)到要翻轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)，，，，，，，到橫坐標(biāo)剛好加4，到處橫坐標(biāo)加3，，，，的橫坐標(biāo)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)和題意，找出坐標(biāo)規(guī)律．3．（2023春·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將沿軸向右滾動(dòng)到的位置，再到的位置……依次進(jìn)行下去，若已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的滾動(dòng)可知每滾動(dòng)3次為一個(gè)周期，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸上，由點(diǎn)，，可得，從而得到，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），再代入即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：每滾動(dòng)3次為一個(gè)周期，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸上，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，同理可得出：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算得出規(guī)律：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），是解題的關(guān)鍵．【類型三平面直角坐標(biāo)系中圖形變換問(wèn)題】例題：（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若點(diǎn)坐標(biāo)是，則經(jīng)過(guò)第2022次變換后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形可知每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：點(diǎn)第一次關(guān)于軸對(duì)稱后在第二象限，坐標(biāo)為，點(diǎn)第二次關(guān)于軸對(duì)稱后在第三象限，坐標(biāo)為，點(diǎn)第三次關(guān)于軸對(duì)稱后在第四象限，坐標(biāo)為，點(diǎn)第四次關(guān)于軸對(duì)稱后在第一象限，坐標(biāo)為，即點(diǎn)回到原始位置，每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，，經(jīng)過(guò)第2022次變換后所得的點(diǎn)與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，觀察圖形得出每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)作“0”變換表示將它向右平移一個(gè)單位，一個(gè)點(diǎn)作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對(duì)稱點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對(duì)稱點(diǎn)．由數(shù)字0，1，2組成的序列表示一個(gè)點(diǎn)按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點(diǎn)按序列“012”作變換，表示點(diǎn)A先向右平移一個(gè)單位得到，再將關(guān)于x軸對(duì)稱得到，再將關(guān)于y軸對(duì)稱得到．．．．．．依次類推．點(diǎn)經(jīng)過(guò)“012012012．．．．．．．”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）．(注：“012”算3次變換)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知按序列“012”作變換先變成點(diǎn)，然后變成，再變成，如此求解下去可知按序列“012”作變換先變成點(diǎn)，然后變成，再變成，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由題意得，點(diǎn)按序列“012”作變換先變成點(diǎn)，然后變成，再變成，點(diǎn)按序列“012”作變換先變成點(diǎn)，然后變成，再變成，∴可知點(diǎn)按序列“012012”作變換后得到的坐標(biāo)仍是，∴點(diǎn)按照序列“012012012．．．．．．．”作變換時(shí)每6次是一個(gè)循環(huán)，∵，∴經(jīng)過(guò)“012012012．．．．．．．”100次變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，正確理解題意找到點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【類型四平面直角坐標(biāo)系中新定義型問(wèn)題】例題：（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)?？计谥校┬露x：在平面直角坐標(biāo)系中中的點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（其中k為常數(shù)，），則稱點(diǎn)為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“3屬派生點(diǎn)”為，即．(1)點(diǎn)的“2屬派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)，且線段的長(zhǎng)為線段長(zhǎng)的3倍，求k的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)“k屬派生點(diǎn)”的定義，進(jìn)行求解即可；（2）分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，即：，故答案為：．（2）解：設(shè)點(diǎn)點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)，∴，∵，的縱坐標(biāo)相同，∴軸，如圖，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴；

綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．解題的關(guān)鍵是理解并掌握“k屬派生點(diǎn)”的定義．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)，已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)．……以此類推，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的坐標(biāo)為和友好點(diǎn)的定義，順次寫(xiě)出點(diǎn)、、、的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，……以此類推，∴，，，（n為自然數(shù)），∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，從已知條件得出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·吉林松原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N位于x軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若存在點(diǎn)H，且，直接寫(xiě)出H點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)新定義代入求解；（2）先根據(jù)新定義寫(xiě)出坐標(biāo)，再根據(jù)x軸上的點(diǎn)的特征，列方程求解；（3）根據(jù)平行直線的關(guān)系求解．【詳解】（1）解：由題意得：，即；（2）解：由題意得：，∵N位于x軸上，∴，解得：，∴；（3）解：由（2）得：，∴，∵軸，且，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a階派生點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且）．例如：點(diǎn)的“2階派生點(diǎn)”為點(diǎn)，即點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則它的“3階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)若點(diǎn)P的“5階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到了點(diǎn)，點(diǎn)的“階派生點(diǎn)”位于坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)P2的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)派生點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)派生點(diǎn)的定義，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)列出二元一次方程組，計(jì)算后即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)點(diǎn)的平移特點(diǎn)得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再由派生點(diǎn)的定義和點(diǎn)的“階派生點(diǎn)”位于坐標(biāo)軸上，分在軸和軸上，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)新定義，點(diǎn)P的“3階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為即：；∴點(diǎn)的“3階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為．（2）由題意，得：，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）∵點(diǎn)先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到了點(diǎn)∴點(diǎn)∴的“階派生點(diǎn)”為：即當(dāng)點(diǎn)在x軸上，解得：；此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在y軸上，解得：；此時(shí)；∴點(diǎn)的坐標(biāo)或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下求點(diǎn)的坐標(biāo)，平移的坐標(biāo)表示等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．4．（2023春·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中,不同的兩點(diǎn)，,給出如下定義：若,則稱點(diǎn)，互為“等距點(diǎn)”．例如，點(diǎn),互為“等距點(diǎn)”．(1),，,四個(gè)點(diǎn)中，能與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”的是________．(2)已知，①若點(diǎn)是點(diǎn)的等距點(diǎn)，且滿足的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若以點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為正方形上存在一點(diǎn)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)、(2)①點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，，；②或【分析】（1）根據(jù)“等距點(diǎn)”定義，逐點(diǎn)驗(yàn)證即可得到答案；（2）①設(shè)，由題意得到，或，再由的面積為，列式，解得，代入或，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；②根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)，當(dāng)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，則，分四種情況：當(dāng)在正方形左邊上；當(dāng)在正方形右邊上；當(dāng)在正方形上邊時(shí)；當(dāng)在正方形下邊時(shí)，分類討論即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)“等距點(diǎn)”定義，得：、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)不是“等距點(diǎn)”；、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”；、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)不是“等距點(diǎn)”；、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)不是“等距點(diǎn)”；綜上所述，與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”的是、故答案為：、；（2）解：①，點(diǎn)是點(diǎn)的等距點(diǎn)，設(shè)，則，即，或，如圖所示：

的面積為，由圖可知，，解得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由得到；由得到，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由得到；由得到，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；②如圖所示：

，正方形邊長(zhǎng)為，設(shè)，當(dāng)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，則，當(dāng)在正方形左邊上，有，即，得到，解得或；當(dāng)在正方形右邊上，有，即，得到，解得或；當(dāng)在正方形上邊時(shí)，有，再由解得或，則或，解得或；當(dāng)在正方形下邊時(shí)，有，再由解得或，則或，解得或；綜上所述，若以點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為正方形上存在一點(diǎn)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，t的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查新定義與坐標(biāo)問(wèn)題，讀懂題意，根據(jù)新定義結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)，綜合運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023春·河南開(kāi)封·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的友誼點(diǎn)．已知點(diǎn)的友誼點(diǎn)為，點(diǎn)的友誼點(diǎn)為，點(diǎn)的友誼點(diǎn)為…，這樣依次得到點(diǎn)，，，…，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)定義，可得，，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到規(guī)律每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)，點(diǎn)的坐標(biāo)依次為，，，，從而計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴的坐標(biāo)為，即∴的坐標(biāo)為，即同理可得的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，……，∴以此類推可知每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)，點(diǎn)的坐標(biāo)依次為，，，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）王老師要求同學(xué)們觀察生活中的現(xiàn)象編寫(xiě)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，小穎同學(xué)觀察臺(tái)球比賽臺(tái)球撞擊臺(tái)桌時(shí)受到啟發(fā)，把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，已知長(zhǎng)方形，小球P從出發(fā)，沿所示的方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，第一次碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)的位置為，當(dāng)小球P第2023次碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)，若不考慮阻力，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】按照光線反射規(guī)律，畫(huà)出圖形，可以發(fā)現(xiàn)每六次反射一個(gè)循環(huán)，最后回到起始點(diǎn)，然后計(jì)算2023有幾個(gè)6即可求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：按照光線反射規(guī)律，畫(huà)出圖形，如下圖：

，，，，，，，…，通過(guò)以上變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每六次反射一個(gè)循環(huán)，∵，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律性變化，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找到待求量與序號(hào)之間的關(guān)系．3．（2023春·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，動(dòng)點(diǎn)M按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，…，按這樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則第2023次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)可以推出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)按照四個(gè)為一組進(jìn)行循環(huán)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第4次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第5次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，∴動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)按照四個(gè)為一組進(jìn)行循環(huán)，∵，∴第2023次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，即：；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．4．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明同學(xué)做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將小長(zhǎng)方形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得小長(zhǎng)方形一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一邊與軸重合．接下來(lái)，小明每次將小長(zhǎng)方形向右順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得小長(zhǎng)方形一邊與軸重合．經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，小明總結(jié)出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)2023次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2530．則圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)可能為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意可知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，當(dāng)旋轉(zhuǎn)1次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)2次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)3次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)4次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)5次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；….；由此可得規(guī)律進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，由題意可知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)1次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)2次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)3次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)4次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)5次時(shí)，小長(zhǎng)方形最右側(cè)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；…..∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)的次數(shù)為n，若n為偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為；若n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，則有，解得：，∴點(diǎn)A橫縱坐標(biāo)之和為2.5；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)的坐標(biāo)的一般規(guī)律．5．（2023春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，軸，點(diǎn)D、C、P、H在x軸上，，，，，，把一條長(zhǎng)為2023個(gè)單位長(zhǎng)度且沒(méi)有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按…的規(guī)律緊繞在圖形“凸”的邊上，則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出凸形的周長(zhǎng)為16，得到的余數(shù)為7，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵，，，，，∴“凸”形的周長(zhǎng)為16，∵的余數(shù)為7，∴則細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出“凸”形的周長(zhǎng)，屬于中考常考題型．二、填空題6．（2023春·湖北荊州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們把叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)．已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為，點(diǎn)的友好點(diǎn)為，點(diǎn)的友好點(diǎn)為，這樣依次得到各點(diǎn)．若的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)，求出、、、的坐標(biāo)，找到規(guī)律，即可求出的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，由此可知，每四次一循環(huán)，因?yàn)椋?，，解得：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，發(fā)現(xiàn)變換規(guī)律，求出字母的值．7．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)第1次向上平移2個(gè)單位至點(diǎn)，接著又向左平移2個(gè)單位至點(diǎn)，然后再向上平移2個(gè)單位至點(diǎn)，向左平移2個(gè)單位至點(diǎn)，照此規(guī)律平移下去，點(diǎn)平移至點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)題意確定平移規(guī)律即可求解．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同點(diǎn)的橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少：即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為：而點(diǎn)的縱坐標(biāo)比點(diǎn)的縱坐標(biāo)增加：∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：∴點(diǎn)的坐標(biāo)是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)的規(guī)律探索．確定平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)是則經(jīng)過(guò)第2022次變換后所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】觀察圖形可知每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用除以，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)第一次關(guān)于軸對(duì)稱后在第四象限，坐標(biāo)為點(diǎn)第二次關(guān)于軸對(duì)稱后在第三象限，坐標(biāo)為點(diǎn)第三次關(guān)于軸對(duì)稱后在第二象限，坐標(biāo)為點(diǎn)第四次關(guān)于軸對(duì)稱后在第一象限，即點(diǎn)回到原始位置，坐標(biāo)為∴每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵，∴經(jīng)過(guò)第2022次變換后所得的點(diǎn)與第二次變換的位置相同，在第三象限．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．9．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，將順著軸無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)．第一次滾動(dòng)到①的位置，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)；第二次滾動(dòng)到②的位置，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)；第三次滾動(dòng)到③的位置，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)；；依次進(jìn)行下去，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)圖形的變化，找到規(guī)律，再計(jì)算求解．【詳解】解：∵，，∴，由題意得：三角形滾動(dòng)次為一個(gè)周期，向右移動(dòng)，∵，，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)的變化規(guī)律，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，以為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形，再以為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形，再以為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形，…按此規(guī)律進(jìn)行下去．

（1）的長(zhǎng)度為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）若的面積為16，則n的值為．【答案】26【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，，…，，再利用、、、…，每8個(gè)一循環(huán)，再回到x軸的負(fù)半軸的特點(diǎn)可得到點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由（1）得：，，，，…，可得，的面積為，再建立方程求解即可．【詳解】解：（1）∵，等腰直角三角形的直角邊在x軸的負(fù)半軸上，且，以為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形，以為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形，…，∴，，，，…，∵、、、…，每8個(gè)一循環(huán)，再回到x軸的負(fù)半軸，，∴點(diǎn)在第三象限，∵，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：．故答案為：；；（2）由（1）得：，，，，…，∴，∴的面積為，∵的面積為16，∴，∴，∴，解得；故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)：等腰直角三角形的兩底角都等于；斜邊等于直角邊的倍．也考查了直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用．三、解答題11．（2023春·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)方形中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，C點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著O→A→B→C→O的路線移動(dòng)（即沿著長(zhǎng)方形移動(dòng)一周）．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)了3秒時(shí)，在圖中描出此時(shí)P點(diǎn)的位置，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，并求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間．【答案】(1)；(2)P點(diǎn)的位置見(jiàn)解析，點(diǎn)P的坐標(biāo)是；(3)點(diǎn)P移動(dòng)了4秒或8秒【分析】（1）根據(jù)圖形及坐標(biāo)的定義直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)時(shí)間得到路程即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)距離列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由圖像可得，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，，∴；（2）解：∵點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著O→A→B→C→O的路線移動(dòng)，∴點(diǎn)P移動(dòng)了3秒時(shí)路程為：，位于邊上，如圖所示，

∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，走過(guò)的路程是個(gè)單位長(zhǎng)度，

移動(dòng)的時(shí)間為：(秒)；②當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，走過(guò)的路程是個(gè)單位長(zhǎng)度，移動(dòng)的時(shí)間為：(秒)，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒或8秒時(shí)，點(diǎn)P到x軸距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度；【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離及分類討論．12．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向左、向下、向下、向左、向上的方向依次不斷移動(dòng)得，，，，，，…，每次移動(dòng)的距離分別為1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，其行走路線如圖所示．

(1)寫(xiě)出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：，，，；(2)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）；(3)求螞蟻從原點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)的路程．【答案】(1)，，，；(2)；(3)198．【分析】（1）根據(jù)圖象可