博弈模型-數(shù)模

數(shù)學(xué)建模之——

博弈模型重慶郵電大學(xué)楊春德教授宇宙間處處存在沖突、沖突、爭(zhēng)斗、合作、共生等現(xiàn)象，這些現(xiàn)象很很早就引起各類學(xué)者的重視。數(shù)學(xué)被認(rèn)為是科學(xué)的語(yǔ)言，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述各種帶有沖突因素的模型或現(xiàn)象？博弈論便是這樣一種處理各類帶有沖突因素的模型的數(shù)學(xué)工具。博弈論現(xiàn)在已被數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、軍事學(xué)、生物學(xué)等專家廣泛應(yīng)用于爭(zhēng)論各類帶有沖突、沖突、合作、競(jìng)爭(zhēng)、進(jìn)化等問題及相關(guān)模型之中。博弈論已成為人們分析簡(jiǎn)單系統(tǒng)與作重大決策時(shí)的有力工具。一、博弈論根本概念世事紛爭(zhēng)一棋局很多沖突模型在玩耍中就存在，博弈論早期就是由爭(zhēng)論國(guó)際象棋開頭的，所以被命名為GameTheory。人們很快生疏到此種理論可用于經(jīng)濟(jì)、政治、軍事等領(lǐng)域。1944年馮·諾曼和奧·摩根斯特恩合著的《競(jìng)賽論與經(jīng)濟(jì)行為》問世，總結(jié)了初期爭(zhēng)論成果，奠定了博弈論的根底。由于該理論主要爭(zhēng)論在簡(jiǎn)單的沖突沖突等活動(dòng)中，局中人〔Player〕實(shí)行何種合理的策略〔strategy〕而能處于“優(yōu)越”的地位，以便取得較好效益，所以將它譯為博弈論。博弈論〔Gametheory〕可以被定義為是對(duì)智能的理性決策者之間沖突與合作的數(shù)學(xué)模型的爭(zhēng)論。常見的玩耍如棋類，兩人對(duì)奕，此兩人便稱為局中人，他們各有一套棋路，或擅長(zhǎng)用馬，或長(zhǎng)于用炮。在每次輪到一方走子時(shí)，他可能有很多走法，這些走法依靠于當(dāng)時(shí)棋局形勢(shì)以及棋手想要到達(dá)的目的，以及他慣用的走法，從而形成他走棋的指導(dǎo)思想。對(duì)奕時(shí)指導(dǎo)棋手行動(dòng)的思想便稱為策略。對(duì)局終了可能有三種結(jié)局：甲勝；乙勝；和局。假設(shè)用數(shù)量表示各種結(jié)局，例如勝家贏得彩金假設(shè)干〔設(shè)所得彩金由輸家付給，則輸家產(chǎn)然失去假設(shè)干〕，和局時(shí)都不能取得彩金，此種表示結(jié)局的數(shù)稱為支付〔payoff〕。局中人、策略、支付是博弈論中常見的根本概念,下面我們將逐一介紹?！?〕參與者參與者指的是一個(gè)博弈中的決策主體，通常又稱為參與人或局中人。博弈參與者集合一般表示為參與者參與博弈的目的是通過合理選擇自己的行動(dòng)，以期取得最大化自己的收益〔或效用〕水平。參與者可以是自然人，也可以是企業(yè)、團(tuán)體、國(guó)家，甚至是國(guó)家組成的集團(tuán)〔如歐盟、OPEC等〕。對(duì)參與者而言，在博弈過程中，他必需有不同的行動(dòng)可作應(yīng)對(duì)選擇。在博弈的結(jié)局中，他能知道或計(jì)算出各參與者不同的行動(dòng)組合產(chǎn)生的效益〔或效用〕。〔2〕戰(zhàn)略戰(zhàn)略是參與者如何對(duì)其他參與者的行動(dòng)作出反響的行動(dòng)規(guī)章，它規(guī)定參與者在什么時(shí)候該選擇什么行動(dòng)。或者說。戰(zhàn)略是參與者“相機(jī)行動(dòng)方案”。〔3〕收益函數(shù)在博弈論中，收益指的是在一個(gè)特定的戰(zhàn)略組合下參與者得到確實(shí)定效用或期望效用。效用通常表現(xiàn)為博弈結(jié)果中輸贏、得失、盈虧。效用必需能用數(shù)值刻畫其大小。收益是博弈參與者真正關(guān)心的問題。注釋：博弈論的一個(gè)根本特征是一個(gè)參與者的收益不僅取決于自己的戰(zhàn)略選擇，而且取決于全部參與者的戰(zhàn)略選擇。或者說，收益是全部參與者各選定一個(gè)戰(zhàn)略形成的戰(zhàn)略組合的函數(shù)。在博弈論中，通常用ui表示參與者i的收益，一個(gè)戰(zhàn)略組合是，每個(gè)參與者的收益可以表示為參與者、戰(zhàn)略、收益函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)博弈的三要素。由前面我們對(duì)這三要素的分析，可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)博弈的定義：標(biāo)準(zhǔn)博弈的定義：〔4〕博弈的解—納什均衡注釋：爭(zhēng)論博弈問題就是建立博弈模型，求解博弈的納什均衡，下面我們用實(shí)例來說明我們的理論及應(yīng)用信息信息指的是參與者在博弈過程中能了解到和觀看到的學(xué)問。這些學(xué)問包括“自然”的選擇，其他參與者的特征和行動(dòng)等。信息對(duì)參與者是至關(guān)重要的，由于一個(gè)參與者在每一次進(jìn)展決策之前，必需依據(jù)觀看到的其他參與者的行動(dòng)和了解的有關(guān)狀況作出自己的最正確選擇。由于信息內(nèi)涵的不同，派生出各種有關(guān)信息的概念將博弈論劃分成不同的類型，因此尋求博弈間的方法也不同。這里只就信息有關(guān)的兩個(gè)根本的、重要的概念進(jìn)展?fàn)幷?。首先，關(guān)于“共同學(xué)問”的概念。一個(gè)博弈問題所涉及的“自然”的不同選擇、參與者的行動(dòng)以及相應(yīng)產(chǎn)生的效用〔效果、收益〕都是一種學(xué)問〔信息〕。博弈論所謂的共同學(xué)問指的是“全部參與者知道，全部參與者知道全部參與者知道，全部參與者知道全部參與者知道全部參與者知道……”的學(xué)問。為了說明共同學(xué)問的重要性，我引用一個(gè)眾所周知的寓言。故事發(fā)生在一個(gè)村莊，村里有100對(duì)已婚夫婦，他們都是地道的規(guī)律學(xué)家，但也有一些多少有點(diǎn)奇怪的社會(huì)風(fēng)俗。每天晚上，村里的男人們都將點(diǎn)起篝火，繞圈圍坐進(jìn)展一個(gè)會(huì)議，且每個(gè)人都談?wù)撟约旱钠拮?。在?huì)議開頭時(shí)，假設(shè)一個(gè)男人有理由認(rèn)為他的妻子對(duì)他總是守貞的，那么他就對(duì)在坐的男人們贊揚(yáng)她的美德。另一方面，假設(shè)在當(dāng)前會(huì)議之前的任何時(shí)間，只要他覺察了他妻子不貞的證據(jù)，那他就會(huì)悲鳴慟哭，并祈求神靈嚴(yán)峻地懲辦她。再則，假設(shè)一個(gè)妻子曾有不貞，那她和她的情人將會(huì)馬上通知村里除她丈夫外全部的男人。全部這些傳統(tǒng)都是村民們的共同學(xué)問。

事實(shí)上，每個(gè)妻子都已對(duì)自己的丈夫不忠。于是，每個(gè)丈夫都知道除自己的妻子外都是不貞的女人，而對(duì)自己的妻子每晚都要贊揚(yáng)。這種狀況持續(xù)了很多年，直到一個(gè)傳教徒走訪到這個(gè)村莊。他坐在髯火旁參與了一次會(huì)議并聽到每個(gè)男人都贊揚(yáng)自己的妻子之后，他站到丈夫們圍坐的圓中心，大聲地說：“這個(gè)村里有一個(gè)妻子已經(jīng)不貞了?！痹诖撕蟮?9個(gè)晚上丈夫們連續(xù)開會(huì)并贊揚(yáng)他們的妻子，但在第100個(gè)晚上，他們?nèi)急Q偷哭并祈求嚴(yán)峻地懲辦他們的妻子?，F(xiàn)在，讓我們?cè)噯栆幌?，這個(gè)傳教徒告知了這些丈夫們他們所不知道的什么？每個(gè)丈夫都已經(jīng)知道了99個(gè)不貞的妻子，故這對(duì)任何人來說都不是新聞。但“這個(gè)傳教徒對(duì)全部男人做了一個(gè)聲明”是共同學(xué)問，從而這個(gè)傳教徒所聲明的內(nèi)容，即有一個(gè)不貞的妻子，也就成了全部男人中間的共同學(xué)問。在傳教徒宣告之前，每個(gè)形如“〔每個(gè)丈夫知道〕有一個(gè)不貞的妻子”的推斷對(duì)于99都是正確的，但對(duì)100就不正確了。其次，關(guān)于“完全信息”的概念。完全信息是博弈論特別重要的根本概念，有了上述的共同學(xué)問概念，這里就可以給出完全信息的嚴(yán)格定義。完全信息指的是全部參與者各自選擇的行動(dòng)的不同組合所打算的各參與者的收益對(duì)全部參與者來說是共同學(xué)問。簡(jiǎn)潔通俗地說，完全信息是指每一個(gè)參與者對(duì)自己以及其他參與者的行動(dòng)，以及各參與者選擇的行動(dòng)組合產(chǎn)生的收益等學(xué)問有完全的了解。二、囚徒逆境博弈模型分析兩個(gè)共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并受到指控。除非至少一個(gè)人招認(rèn)犯罪，否則警方無充分證據(jù)將他們按罪判刑。警方把他們關(guān)入不同的牢室，并對(duì)他們說明不同行動(dòng)帶來的后果。假設(shè)兩人都實(shí)行沉默的抗拒態(tài)度，因警方證據(jù)缺乏，兩人將均被判為輕度犯罪入獄1個(gè)月；假設(shè)雙方都坦白，依據(jù)案情兩人將被判入獄6個(gè)月；假設(shè)一個(gè)招供而另一個(gè)拒不坦白，招認(rèn)者因有主動(dòng)認(rèn)罪立功表現(xiàn)將馬上釋放，而另一人將被判入獄9個(gè)月〔所犯罪行判6個(gè)月，干擾司法加判3個(gè)月〕。1、問題的提出這兩個(gè)犯罪嫌疑人是坦白還是拒不坦白呢？3、問題分析囚徒逆境問題可以用圖1－1所示的雙變量矩陣的形式來描述。注釋：在此博弈中，每個(gè)囚徒有兩種戰(zhàn)略可供選擇：坦白〔或招認(rèn)〕、不坦白〔或沉默〕。圖1-1的矩陣中每一個(gè)單元的兩個(gè)數(shù)字表示一組特定的戰(zhàn)略組合下兩個(gè)囚犯的收益〔或支付、效用，這里已經(jīng)開頭引用經(jīng)濟(jì)學(xué)的術(shù)語(yǔ)了〕，其中第1個(gè)數(shù)字是囚徒1〔習(xí)慣上是位于矩陣橫行上的參與者〕的收益，第2個(gè)數(shù)字是囚徒2〔位于豎行上的參與者〕的收益。假設(shè)囚徒1選擇沉默，而囚徒2選擇坦白，那么囚徒1的收益是－9〔表示判刑9個(gè)月〕，囚徒2的收益為0〔表示立刻釋放〕。2、假設(shè)：兩囚徒都是理性的和智能的。4、模型建立參與者集合：Γ={囚徒1，囚徒2}戰(zhàn)略空間：S1=S2={坦白，沉默}u1(坦白,坦白)=u2(坦白,坦白)＝-6，u1(沉默,坦白)＝u2(沉默,坦白)=-9u1(坦白,沉默)＝u2(坦白,沉默)=0，u1(沉默,沉默)＝u2(沉默,沉默)=-1收益函數(shù)5、模型求解6、結(jié)果分析戰(zhàn)略組合〔沉默，沉默〕，即假設(shè)兩個(gè)人都不坦白，各人只判刑一個(gè)月，不是比戰(zhàn)略組合〔坦白，坦白〕帶來的各判刑6個(gè)月要好嗎？注釋：這正是囚徒逆境的“逆境”兩個(gè)字的表達(dá)，假設(shè)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“有效”的術(shù)語(yǔ)的意思來講，〔沉默，沉默〕是一個(gè)有效結(jié)局。有效結(jié)局并不是囚徒問題的博弈解。這表達(dá)了個(gè)人利益和全體利益的沖突。7、模型的推廣與應(yīng)用與囚徒逆境類似的博弈問題在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域有許很多多的版本。應(yīng)用1：A,B兩個(gè)公司以凹凸兩種價(jià)格向市場(chǎng)競(jìng)相銷售同一種產(chǎn)品。注釋：雙方協(xié)定以高價(jià)格壟斷市場(chǎng)，可以使彼此獲得滿足的利潤(rùn)收益，至少要好于雙方都以低價(jià)格出售產(chǎn)品的情形。但假設(shè)某一方堅(jiān)持高價(jià)，而另一方為了獨(dú)占市場(chǎng)卻將產(chǎn)品以低價(jià)格推銷，由于協(xié)定不被遵守時(shí)是不會(huì)受懲罰，那么后者將獲高盈利而前者將損失沉重。市場(chǎng)上商品的價(jià)格戰(zhàn)，常常消失的結(jié)局一般是以低價(jià)格銷售商品，消費(fèi)者從中得到好處，如現(xiàn)在的通信三大運(yùn)營(yíng)商：移動(dòng)、電信和聯(lián)通，這種結(jié)果正是博弈論猜測(cè)的合理結(jié)局，你們不妨自己設(shè)計(jì)一個(gè)類似于圖1-1的A,B公司的收益矩陣。應(yīng)用2：軍備競(jìng)賽問題注釋：美蘇冷戰(zhàn)期間，兩個(gè)超級(jí)大國(guó)構(gòu)成博弈的兩方，可供選擇的戰(zhàn)略是：擴(kuò)軍〔增加軍費(fèi)運(yùn)算〕、裁軍〔削減軍費(fèi)運(yùn)算〕。假設(shè)雙方都熱衷于擴(kuò)軍，兩國(guó)都要為此付出高額軍費(fèi)〔從社會(huì)福利角度來看這是一筆浩大的付收益〕;假設(shè)雙方都選擇裁軍，則可省下這筆錢；假設(shè)一方面裁軍而另一方面進(jìn)展擴(kuò)軍，擴(kuò)軍的一方到時(shí)候就會(huì)以武力相威逼甚至發(fā)動(dòng)戰(zhàn)斗，這是，戰(zhàn)斗勝敗雙方的收益與支付將消失難以估量的差異。博弈論給出軍備競(jìng)賽問題的是戰(zhàn)略組合(擴(kuò)軍，擴(kuò)軍)，博弈理論猜測(cè)雙方都擴(kuò)軍可以到達(dá)對(duì)抗中的相對(duì)穩(wěn)定，這是一個(gè)符合現(xiàn)實(shí)的合理結(jié)局。三、海灘占位博弈模型分析甲乙兩個(gè)冷飲攤販，他們?cè)谝粋€(gè)直線狀的海灘上，以同樣的價(jià)格、一樣的質(zhì)量向均勻分布在海灘上的眾多游客〔他們來此享受海水和陽(yáng)光，進(jìn)展日光浴或游泳活動(dòng)〕銷售冷飲。既然是做生意，目的總是希望盡可能多賺點(diǎn)錢，甲乙兩人又是在同一地點(diǎn)做同樣的生意，競(jìng)爭(zhēng)就是不行避開的事情了。1、問題的提出這兩個(gè)冷飲攤販應(yīng)當(dāng)如何安置自己的攤位，才能相安無事地做各自的生意呢？3、建模〔1〕參與者集合：Γ={甲，乙}〔2〕戰(zhàn)略空間：S1=[0,1/2],S2=[1/2,1]〔3〕收益函數(shù):2、問題分析與假設(shè)：〔1〕兩攤販都是理性的和智能的；〔2〕游客總是到距離自己最近的攤位購(gòu)置冷飲；〔3〕為了表達(dá)便利，不妨將海灘長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)化為1。對(duì)全部x∈S1＝[0,1/2]和y∈S2＝[1/2,1]都成立。4、模型求解5、結(jié)果分析與推廣和應(yīng)用結(jié)果分析：按通常的想法，如圖1-3，甲在1/4處設(shè)攤，乙在3/4處設(shè)攤，這樣既便利了顧客，又照看到甲乙二人各占約一半顧客的生意，可謂公正合理。問題不是簡(jiǎn)潔的解決了嗎？注釋：事情并不像想象的那么簡(jiǎn)潔。甲乙二人做同樣的生意，兩人之間就存在競(jìng)爭(zhēng)，這就構(gòu)成了一個(gè)博弈問題。站在甲的角度考慮，只要手段合法，多攬一點(diǎn)顧客就可以多賺一點(diǎn)錢?；谶@樣的理性想法，甲就會(huì)將自己的攤位向右挪動(dòng)到A點(diǎn)〔見圖1－3〕。這時(shí)，從0到M〔這里M是A至3/4處的中點(diǎn)〕范圍內(nèi)的顧客都會(huì)去買甲的冷飲，甲就從乙的手里挖走一局部顧客，即圖1－3中陰影所示的1/2到N的那一局部。乙也是一個(gè)理性的生意人，他會(huì)估量到甲可能作出的動(dòng)作，因此，他也會(huì)將自己的攤位向左邊移動(dòng)。照此下去，最終的結(jié)果是甲乙二人都擠在一起，緊接著，在海灘的中點(diǎn)〔1/2處〕做冷飲生意。推廣應(yīng)用：同一城市的不同航空公司經(jīng)營(yíng)的飛往同一目的地的航班，常常消失起飛時(shí)刻幾乎一樣的現(xiàn)象。就是在文化消遣方面，也能運(yùn)用海灘占位的博弈結(jié)論予以解釋。假設(shè)把電視中高雅藝術(shù)節(jié)目與較低檔的節(jié)目比作海灘的兩端，那么眾多的電視觀眾就可以看作是散布在海灘上的游客。電視臺(tái)常常將黃金時(shí)段的電視節(jié)目定位在中等檔次，以提高收視率。四、智豬爭(zhēng)食博弈1、問題的提出豬圈里喂養(yǎng)兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有一個(gè)豬食槽，對(duì)面的一邊裝有掌握開關(guān)。只要豬用鼻頭去拱掌握開關(guān)，就會(huì)一次有6個(gè)單位的飼料流進(jìn)豬食槽。假設(shè)大豬和小豬都不去拱開關(guān)，那么它們都吃不到飼料。假設(shè)小豬去拱開關(guān)，那么等它跑到另一邊的豬食槽時(shí)，大豬已將流出的飼料全部都吃光了。假設(shè)大豬去拱開關(guān)，那么等它跑到豬食槽旁邊，小豬差不多已吃掉了5個(gè)單位的飼料，結(jié)果大豬只能吃到1個(gè)單位的飼料。假設(shè)大豬、小豬一起去拱開關(guān)，再一起跑去吃食，那么大豬可搶到4個(gè)單位的飼料，小豬也只能吃掉2個(gè)單位的飼料。假定每拱一次開關(guān)需要消耗0.5個(gè)單位飼料的能量。大小豬分別是去拱還是不去拱開關(guān)？2、分析與假設(shè)、建模、模型求解大豬和小豬長(zhǎng)期在一起進(jìn)食，上面所說的狀況〔信息、學(xué)問〕已為它們所把握。所以可假設(shè)大小豬都是理性的和智能的。仿按例一囚徒逆境的情形，就可以畫出如圖1－4所示的雙變量矩陣。仿按例一囚徒逆境的情形，可以建立出該問題的博弈模型并求出其解。智豬爭(zhēng)食問題的博弈論解是戰(zhàn)略組合〔拱，不拱〕注釋：在這個(gè)博弈中，大豬與小豬都有兩種戰(zhàn)略選擇：拱、不拱。在這個(gè)例子中可以覺察，不管大豬選擇拱還是不供，小豬的最優(yōu)選擇總是不拱。這是由于，假設(shè)大豬去拱開關(guān)，小豬不拱〔等在豬食槽旁邊〕比拱后再跑回去爭(zhēng)食要?jiǎng)澦恪?>1.5〕；假設(shè)大豬不去拱開關(guān)，小豬不拱頂多都不得食，而去拱就要白白消耗能量，不劃算〔0>-0.5〕。所以，不拱是小豬的占優(yōu)戰(zhàn)略。給定小豬總是選擇不拱，大豬的最優(yōu)選擇總是拱。這樣，智豬爭(zhēng)食問題的博弈論解是戰(zhàn)略組合〔拱，不拱〕。3、結(jié)果分析與推廣和應(yīng)用比方股份公司中就有大股東和小股東之分。股東都有監(jiān)視經(jīng)理的職能，他們從監(jiān)視中得到的收益并不一樣。在監(jiān)視本錢一樣的狀況下，大股東從監(jiān)視中得到的好處明顯多于小股東。通常在股份公司里，總是由大股東擔(dān)當(dāng)監(jiān)視任務(wù)，而小股東則搭大股東的便車。股票市場(chǎng)上也有類似現(xiàn)象。一般大戶總是重視搜集信息，樂觀進(jìn)展行情分析。對(duì)小戶而言，跟大戶是常見現(xiàn)象。進(jìn)展產(chǎn)品爭(zhēng)論、開發(fā)以及新產(chǎn)品廣告宣傳時(shí)，對(duì)大企業(yè)而言，其資金實(shí)力及可望的收益會(huì)使大企業(yè)有投資的樂觀性，而小企業(yè)往往會(huì)得不償失。小企業(yè)通常實(shí)行與大企業(yè)建立協(xié)作生產(chǎn)或移植局部技術(shù)的做法。智豬爭(zhēng)食模型在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也可以找到很多實(shí)例。學(xué)問的敏捷應(yīng)用五、庫(kù)諾特雙寡頭壟斷競(jìng)爭(zhēng)模型這兩個(gè)企業(yè)如何決策產(chǎn)量才會(huì)得到最大利潤(rùn)呢？1、問題的提出2、問題的分析與模型建立為了求出庫(kù)諾特博弈中的解及納什均衡，首先要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)博弈。

〔1〕參與者集合：Γ={企業(yè)1，企業(yè)2}〔2〕戰(zhàn)略空間：S1＝S2=[0,+∞〕〔3〕收益函數(shù):注釋：接下來就需要把企業(yè)1、企業(yè)2的收益表示為它自己和另一企業(yè)所選戰(zhàn)略的函數(shù)。假定企業(yè)的收益就是其利潤(rùn)額，這樣在一般的兩個(gè)參與者標(biāo)準(zhǔn)式博弈中，企業(yè)1和企業(yè)2的收益函數(shù)就可表示為納什均衡定義不等式〔NE〕的條件:均衡〔q1*,q2*)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)化問題：解法一：微分法3、模型求解注釋：利用微積分求極值的方法，對(duì)每個(gè)企業(yè)的收益函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零，即可求出納什均衡?！?.(1)

注釋：那么，要使產(chǎn)量成為納什均衡，由式〔1〕可知，兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量選擇必需滿足方程組…….(2)

由此得：解方程組〔2〕，得均衡解為這時(shí)，將上式代入各自的收益函數(shù)。每個(gè)企業(yè)的納什均衡利潤(rùn)為

解法二：幾何法注釋：庫(kù)諾特模型還可以用幾何圖形的方法找出均衡解。

……….〔3〕這兩個(gè)函數(shù)稱為該博弈最優(yōu)反響函數(shù)。圖1-5解法法三：運(yùn)用逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略的方法首先證明對(duì)兩個(gè)企業(yè)來說，產(chǎn)量q0＝(a－c)/2嚴(yán)格優(yōu)于其他任何更高的產(chǎn)量。

對(duì)企業(yè)1來說，假設(shè)它選擇產(chǎn)量q1＝q0＝(a－c)/2，而企業(yè)2選擇產(chǎn)量q2，當(dāng)Q＝q0＋q2＜a時(shí)，企業(yè)1的收益〔利潤(rùn)〕為假設(shè)企業(yè)1選擇產(chǎn)量q1=q0+x(x>0)，企業(yè)2選擇產(chǎn)量q2，當(dāng)Q=q0+q2<a時(shí)，企業(yè)1的利潤(rùn)為比較上面兩式結(jié)果，就能得出對(duì)于企業(yè)2來說，類似可導(dǎo)出

其次步：上步的戰(zhàn)略空間為得企業(yè)一其次次刪除后剩下的戰(zhàn)略空間第三步：得企業(yè)一第三次刪除后剩下的戰(zhàn)略空間

第四步：上步的戰(zhàn)略空間為…………….第2k步：刪除后剩下的戰(zhàn)略空間為

得企業(yè)一第四次刪除后剩下的戰(zhàn)略空間為

第2k+1步：刪除后剩下的戰(zhàn)略空間為

4、結(jié)果分析下面將雙寡頭壟斷競(jìng)爭(zhēng)與寡頭壟斷狀況作一比較。設(shè)寡頭壟斷企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量為q*，這時(shí)最優(yōu)化問題是注釋：但這樣安排存在一個(gè)問題，就是每家企業(yè)都有動(dòng)機(jī)偏離它。由于寡頭壟斷產(chǎn)量q較低，相應(yīng)的市場(chǎng)價(jià)格p(q)就比較高，在這一價(jià)格下每家企業(yè)都會(huì)傾向于提高自己的產(chǎn)量，而不顧這種產(chǎn)量的增加會(huì)降低市場(chǎng)價(jià)格。這又消失了在囚徒逆境問題中的個(gè)人理性與團(tuán)體理性沖突的現(xiàn)象。六、兩個(gè)博弈論爭(zhēng)論著名學(xué)者簡(jiǎn)介1、計(jì)算機(jī)之父、博弈論創(chuàng)始人——馮·諾伊曼約翰·馮·諾伊曼(JohnVonNeumann，1903—1957)，美籍匈牙利人。1921—1923年在蘇黎世大學(xué)學(xué)習(xí)。很快又在1926年以優(yōu)異的成績(jī)獲得了布達(dá)佩斯大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，此時(shí)馮·諾伊曼年僅22歲。馮·諾伊曼是20世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，因1946年制造電子計(jì)算機(jī)而被西方人譽(yù)為“計(jì)算機(jī)之父”。1957年2月8日在醫(yī)院逝世，享年53歲。主要科學(xué)爭(zhēng)論奉獻(xiàn)注釋：馮·諾伊曼從小就顯示出數(shù)學(xué)天才，關(guān)于他的童年有不少傳奇。大多數(shù)的傳奇都講到馮·諾伊曼自童年起在吸取學(xué)問和解題方面就具有驚人的速度。六歲時(shí)他能心算做八位數(shù)乘除法，八歲時(shí)把握微積分，十二歲就讀懂領(lǐng)悟了波萊爾的大作《函數(shù)論》要義。馮·諾依曼的第一篇論文是和菲克特合寫的，是關(guān)于車比雪夫多項(xiàng)式求根法的菲葉定理推廣，注明的日期是1922年，那時(shí)馮·諾依曼還不滿18歲。〔1〕、三項(xiàng)最重要的數(shù)學(xué)工作：在1930～1940年間，馮·諾依曼在純粹數(shù)學(xué)方面取得的成就更為集中，創(chuàng)作更趨于成熟，聲譽(yù)也更高漲。后來在一張為國(guó)家科學(xué)院填的問答表中，馮·諾依曼選擇了量子理論的數(shù)學(xué)根底、算子環(huán)理論、各態(tài)遍歷定理三項(xiàng)作為他最重要數(shù)學(xué)工作?！?〕、一般應(yīng)用數(shù)學(xué)：1940年，是馮·諾依曼科學(xué)生涯的一個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)。在此之前，他是一位通曉物理學(xué)的登峰造極的純粹數(shù)學(xué)家；此后則成了一位堅(jiān)固把握純粹數(shù)學(xué)的出神入化的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。他開頭關(guān)注當(dāng)時(shí)把數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理領(lǐng)域去的最主要工具——偏微分方程。爭(zhēng)論同時(shí)他還不斷創(chuàng)新，把非古典數(shù)學(xué)應(yīng)用到兩個(gè)新領(lǐng)域：對(duì)策論和電子計(jì)算機(jī)。(3)、博弈論馮·諾依曼不僅曾將自己的才能用于武器等爭(zhēng)論，而且還用于社會(huì)爭(zhēng)論。1928年，馮·諾依曼證明白博弈論的根本原理，從而宣告了博弈論的正式誕生。由他創(chuàng)立的對(duì)策論，無疑是他在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面取得的最為令人艷羨的出色成就。注釋：1944年，馮·諾依曼和摩根斯特思合著的《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》是這方面的奠基性著作。將二人博弈推廣到n人博弈構(gòu)造并將博弈論系統(tǒng)的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，從而奠定了這一學(xué)科的根底和理論體系。論文包含了博弈論的純粹數(shù)學(xué)形式的闡述以及對(duì)于實(shí)際應(yīng)用的具體說明。這篇論文以及所作的與某些經(jīng)濟(jì)理論的根本問題的爭(zhēng)論，引起了對(duì)經(jīng)濟(jì)行為和某些社會(huì)學(xué)問題的各種不同爭(zhēng)論，時(shí)至今日，這已是應(yīng)用廣泛、羽毛日益豐富的一門學(xué)科。有些科學(xué)家熱忱頌揚(yáng)它可能是“20世紀(jì)前半期最宏大的科學(xué)奉獻(xiàn)之一”。(4)、計(jì)算機(jī)對(duì)馮·諾依曼聲望有所奉獻(xiàn)的最終一個(gè)課題是電子計(jì)算機(jī)和自動(dòng)化理論。1944年，諾伊曼參與原子彈的研制工作，該工作涉及到極為困難的計(jì)算。在對(duì)原子核反響過程的爭(zhēng)論中，要對(duì)一個(gè)反響的傳播做出“是”或“否”的答復(fù)。解決這一問題通常需要通過幾十億次的數(shù)學(xué)運(yùn)算和規(guī)律指令，盡管最終的數(shù)據(jù)并不要求特別準(zhǔn)確，但全部的中間運(yùn)算過程均不行缺少，且要盡可能保持準(zhǔn)確。他所在的洛·斯阿拉莫斯試驗(yàn)室為此聘用了一百多名女計(jì)算員，利用臺(tái)式計(jì)算機(jī)從早到晚計(jì)算，還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要。無窮無盡的數(shù)字和規(guī)律指令猶如沙漠一樣把人的才智和精力吸盡。被大型計(jì)算所困擾的馮·諾伊曼在一次極為偶然的時(shí)機(jī)中知道了ENIAC計(jì)算機(jī)的研制打算，從今他投身到計(jì)算機(jī)研制這一宏偉的事業(yè)中，建立了一生中最大的豐功偉績(jī)。逸聞

一次，在一個(gè)數(shù)學(xué)聚會(huì)上，有一個(gè)年輕人興沖沖的找到他，向他求教一個(gè)問題，他看了看就報(bào)出了正確答案。年輕人快樂地懇求他告知自己簡(jiǎn)便方法，并埋怨其他數(shù)學(xué)家用無窮級(jí)數(shù)求解的煩瑣。馮·諾依曼卻說道：“你誤會(huì)了，我正是用無窮級(jí)數(shù)求出的?！笨梢娝麚碛羞^人的心算力量。據(jù)說有一天，馮·諾依曼心神不定地被同事拉上了牌桌。一邊打牌，一邊還在想他的課題，狼狽不堪地“輸?shù)簟绷?0元錢。這位同事也是數(shù)學(xué)家，突然心生一計(jì)，想要戲弄一下他的朋友，于是用贏得的5元錢，購(gòu)置了一本馮·諾依曼撰寫的《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》，并把剩下的5元貼在書的封面，以說明他“戰(zhàn)勝”了“賭博經(jīng)濟(jì)理論家”，著實(shí)使馮·諾依曼“好沒面子”。2、孤獨(dú)的天才——約翰.福布斯.納什納什:生于1928年6月13日。父親是電子工程師與教師，第一次世界大戰(zhàn)的老兵，當(dāng)時(shí)在法國(guó)擔(dān)當(dāng)負(fù)責(zé)后勤工作的中尉。納什小時(shí)孤獨(dú)內(nèi)向，雖然父母對(duì)他照看有加，但教師認(rèn)為他不合群不善社交。美國(guó)數(shù)學(xué)家，前麻省理工學(xué)院助教，主要爭(zhēng)論博弈論、微分幾何學(xué)和偏微分方程。他的理論被運(yùn)用在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、計(jì)算、演化生物學(xué)、人工智能、會(huì)計(jì)、政策和軍事理論。晚年為普林斯頓大學(xué)的資深爭(zhēng)論數(shù)學(xué)家。1994年，他和其他兩位博弈論學(xué)家約翰·C·海薩尼和萊因哈德·澤爾騰共同獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1950年，納什獲得美國(guó)普林斯頓大學(xué)的博士學(xué)位，他在那篇僅僅27頁(yè)的博士論文中提出了一個(gè)重要概念，也就是后來被稱為“納什均衡”的博弈理論。博弈論爭(zhēng)論納什在上大學(xué)時(shí)就開頭從事純數(shù)學(xué)的博弈論爭(zhēng)論，1948年進(jìn)入普林斯頓大學(xué)后更是如魚得水。他在普林斯頓大學(xué)讀博士時(shí)剛剛二十出頭，但他的一篇關(guān)于非合作博弈的博士論文和其他相關(guān)文章，確立了他博弈論大師的地位。在20世紀(jì)50年月末，他已是著名世界的科學(xué)家了。特殊是在經(jīng)濟(jì)博弈論領(lǐng)域，他做出了劃時(shí)代的奉獻(xiàn)，是繼馮·諾依曼之后最宏大的博弈論大師之一。他