專升本-一元函數(shù)積分學(xué)

第四章一元函數(shù)積分學(xué)不定積分部分一．原函數(shù)的概念例1.下列等式成立色是（）例2．下列寫法是否有誤，為什么？（c為任意正常數(shù)）例3.下列積分結(jié)果正確嗎？√√√例3說明不定積分的結(jié)果具有形式上的多樣性。二.直接積分法利用不定積分的性質(zhì)及基本積分表，我們就可以計算較簡單的函數(shù)的積分，這種方法稱做直接積分法.例4．求例5．求例6．求例7．已知某個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，又知當(dāng)時，這函數(shù)值為2，求此函數(shù).解：因為，所以，可設(shè)又因為.所以，例8．設(shè)，求.解：，二．不定積分的第一換元法利用直接積分法所能求得的不定積分是非常有限的.為了求出一般函數(shù)的不定積分，還需要使用各種專門的方法和技巧.下面先回顧第一換元積分公式.這種方法是通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，把所求的不定積分化為較易積分的形式.若已知，可微，則有換元公式：例9.求.例10.求.例11．求.例12．求.例13．求.例14．求.例15．.例16．求.例17.例18．..注意：進(jìn)一步化簡可得到.例19．?！?6）例20．。例21．另解：。例22.例23．。例24.=例25．例26.=例27．===例28．例29．三不定積分的第二換元法前面我們講了第一換元法（又稱湊微分法），但并非對所有的不定積分都能使用此方法，即湊微分法失效.有時對有些不定積分采用相反的變量替換，將會達(dá)到簡化計算的目的.這就是第二換元法..設(shè)是單調(diào)（保證它有反函數(shù)）可導(dǎo)的，并且，又設(shè)，則例30.求解：令，則原式===.注意：因為為周期函數(shù)，故如限制也行.以后作題,我們不再指明t的限制范圍.例31.求解：令，則原式=注意：這里的最后一步在換回用原變量表示時，要借助于直角三角形。稱此法為整體代換法.例32.求解：令，則原式=.例33．求解：四.分部積分法分部積分公式使用此法的關(guān)鍵是正確選擇和例34.求解：取，則.所以，。注意：（1）如果取，則。所以，顯然，會愈加麻煩。可見，用分部積分法，最關(guān)鍵的是要選擇好合適的函數(shù)作為.（2）根據(jù)我多年做題經(jīng)驗的總結(jié)，選的優(yōu)先順序是：反對多三指，按此順序選擇，一般都可行.例35.求例36.求例37.解：=例38.求解：，所以，原式=例39.求解：其中，所以，.注意：上述例5、例6的解法稱為“相克法”法.例40.設(shè)，試給出遞推公式。解:=，所以，.例41.求解：=所以，注意：一般地，與遞推公式有關(guān)的證明題都是用分部積分法得到的.定積分部分一．定積分的七大性質(zhì)例42．估值解：令.，令.所以，設(shè)分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.因此，，所以，.例43．比較與的大、小.解：令.則，所以，在單調(diào)增加。因此，.例44．求解：.例45.證明：證明：因為所以，，所以：.練習(xí)：（1）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且求。（研89）解：此題的條件是關(guān)于的一個關(guān)系式，無法直接計算。但是一個確定的常數(shù)。若設(shè)則有再考慮就可解出令則故(2)設(shè)求。解：設(shè)則則解上述方程組，得：二．積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)先回顧一個重要結(jié)論：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在區(qū)間上具有導(dǎo)數(shù)，且.例46.設(shè)求.解：，所以，例47.設(shè)求.解：所以，，所以.例48.求解：.注意：一般地，.例49.求.例50..練習(xí)：證明提示：，.三.牛——萊公式如果是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則.例51．求.例52．求例53.求.例54.假設(shè)在上是正值連續(xù)函數(shù)，試求的極小值.解：，所以，-令在處不可導(dǎo).經(jīng)判定：在處取得極小值.例55..假設(shè)對于所有的實數(shù)，連續(xù)函數(shù)滿足方程，求及常數(shù)C.解：方程兩邊對求導(dǎo)：在原方程中，令則，所以.例56.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，.試證：.證明：-----------（1）上式中的分子---（2）又因為，所以在上單調(diào)減少，故，所以，.練習(xí)：證明：當(dāng)時，的最大值不超過證明：由得當(dāng)時，而當(dāng)時，，故是唯一的極大值點，從而也是最大值點，即最大值為注意到當(dāng)時，，四.定積分的換元積分法直接利用微積分基本公式計算定積分的前提是可以先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后再代入上、下限求值，但在許多情況下，這樣計算比較復(fù)雜；甚至有時原函數(shù)根本不能用積分法的一般法則求出來，也就無法直接引用微積分基本公式.為了進(jìn)一步解決定積分的計算問題，考慮到不定積分的基本方法是換元積分法和分部積分法，這就啟發(fā)我們能否直接將這兩種方法用到定積分的計算上來？回答是肯定的.換元積分公式：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足條件：（1）在上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（2）當(dāng)t在上變化時，在上變化；（3）.則有：（相當(dāng)于不定積分中的第二換元法）注意：（1）換元公式中要求下限小于上限，其實，這是不必要的；（2）公式也可以反過來用：；（相當(dāng)與不定積分法中的第一換元法）；例57.求或換一種寫法：（3）被積函數(shù)開方時要注意積分區(qū)間；例58.解一：其實，上述解法是錯誤的.正確解法是（4）在運用換元公式時，要滿足換元的條件，否則可能會出錯.反例：（1）解一：.解二：。（解二是錯的，因為不是單值函數(shù).）（2）解一：解二：（倒代換）（解二是錯的，因為在x=0處不連續(xù).（3）如果用代換，再用換元公式，顯然不行？因為不滿足條件（3）.要熟記幾個結(jié)論（1）對稱區(qū)間上的函數(shù)特別地：（1）（2）0，為奇.（2）周期函數(shù)積分.設(shè)函數(shù)是以T為周期的函數(shù)，則：.（即結(jié)果與無關(guān)）（3）.兩個重要結(jié)論：（1）（令即可）例59.求（2）（令即可）。例60.求例61.設(shè)求解：————（1）所以，.例62．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)不增，證明：對于都有；解：例63．設(shè)求解：。五．定積分的分部積分法1．分部積分公式：.例64.求.例65.例66．設(shè)函數(shù)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且有求.解：=練習(xí)：設(shè)求解：（注意到的定義）記住一個重要的遞推公式=例67．求解：=.例68．求例69.求．解：=六.廣義積分在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間積分，它已經(jīng)不屬于前面所說的定積分，因此我們需要對定積分作推廣，從而形成了廣義積分的概念.無窮區(qū)間上的廣義積分定義1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取.如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作.即：————（1）這時，也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分就沒有意義，習(xí)慣上稱為廣義積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取.如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作.即：————（2）這時，也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分就沒有意義，習(xí)慣上稱為廣義積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果廣義積和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記作：。------（3）這時，也稱廣義積分收斂；否則，就稱發(fā)散.上述定義的三種廣義積分統(tǒng)稱無窮限的廣義積分.求注意：表面上是代入上、下限作差，其實，這里的上限值是函數(shù)的極限.上題中每一步都要帶上極限號，太過麻煩了，因此，我們借鑒牛-萊公式的格式，介紹一種簡單的寫法.例70.的另一寫法：例71.求不存在！例72．求（.解：（1）當(dāng)p=1時，；（2）當(dāng)p<1時，；（3）當(dāng)p>1時，.總之，例73.求，由于，，所以，發(fā)散！注意：（1）沒有必要再計算，即可斷定發(fā)散！（2）如果這樣做則是錯的，請同學(xué)們務(wù)必要小心：因為是奇函數(shù)，所以原式=0.例74.利用遞推公式計算解：七.平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體的體積首先介紹一下定積分應(yīng)用的一個核心思想：元素法。一般地，如果某一實際問題中所求的量符合下列條件：（1）與變量的變化區(qū)間有關(guān)；（2）對區(qū)間具有可加性；（3）在代表區(qū)間上的部分量可近似表示為那么所求量記住幾個常用求面積公式（1）軸上的曲邊梯形的面積（2）軸上的曲邊梯形的面積例74.計算由曲線所圍成平面圖形的面積。解：例75.計算由曲線所圍成平面圖形的面積。解：由，故兩曲線的交點為若以為積分變量，則若以為積分變量，則例76.求橢圓的面積。例77.求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖形的面積最小。解：設(shè)上任意一點，則過點的切線方程為，即則令得當(dāng)時，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，為最小值。此時，所求切線方程為下面再舉一個參數(shù)方程下求面積的例子。例78.求星形線所圍成的面積解：極坐標(biāo)下求平面圖形的面積一般不會出題，不過還是應(yīng)該提一提，畢竟這個知識點大綱是要求了解的.首先要記住曲邊扇形的面積公式例79.求曲線所圍成的平面圖形（圓）的面積。解：所求平面圖形的面積為例80.求曲線所圍成的平面圖形的公共部分的面積.解：用定積分所能直接計算其體積的立體僅限于旋轉(zhuǎn)體和平行截面面積已知的立體.先回顧三個經(jīng)典公式：（1）由軸上的曲邊梯形（即由曲線所圍成的平面圖形）繞軸旋轉(zhuǎn)，；（2）由軸上的曲邊梯形（即由曲線所圍成的平面圖形）繞軸旋轉(zhuǎn)，；（3）由軸上的曲邊梯形（即由曲線所圍成的平面圖形）繞軸旋轉(zhuǎn)，。例81.求曲線與所圍成的圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：（一）繞軸（二）繞軸例82.證明半徑為高為的球缺的體積為證明：例83.求圓盤繞旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.解：方法一（選為積分變量）右半圓左半圓取上的體積元素故方法二（選為積分變量）取上的體積元素故例84.設(shè)拋物線過原點，當(dāng)時，又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為使確定使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小。（研89）解：拋物線過原點，則又由題意有，即令得當(dāng)時，當(dāng)時，所以，是唯一的極小值點。所以，，旋轉(zhuǎn)體的體積最小.下面舉一個平行截面面積已知的立體的體積的求法。例85.一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底面成角，如圖所示。計算該平面截圓柱體所得立體的體積。解：取這個平面與圓柱體的底面的交線為軸，底面上過圓心且垂直于軸的