第六章 平行四邊形 章末檢測(cè)卷（教師版）

第六章平行四邊形章末檢測(cè)卷姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于解答即可．【詳解】解：由多邊形的外角和等于可知，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┫铝行再|(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（）A．對(duì)邊相等 B．鄰角互補(bǔ) C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角互補(bǔ)【答案】D【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分、對(duì)邊平行且相等，進(jìn)而分析得出即可．【詳解】解：平行四邊形對(duì)邊相等，故A正確，不合題意；平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，故B正確，不合題意；平行四邊形對(duì)角線互相平分，故C正確，不合題意；平行四邊形對(duì)角不一定互補(bǔ)，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知，，平分交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，再由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，得到，則，再證明是的中位線，則．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)F，點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形中位線定理，由角平分線和平行得出是等腰三角形再求出是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖北荊州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（

）A． B．C． D．，【答案】D【分析】利用平行四邊形的定義及判定方法逐一分析即可得到答案．【詳解】解：∵，，而四邊形的內(nèi)角和為，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形；故A不符合題意；∵，，∴四邊形是平行四邊形；故B不符合題意；∵，，∴四邊形是平行四邊形；故C不符合題意；∵，，∴不能判定四邊形是平行四邊形；故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定方法，熟記平行四邊形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)都是，則該多邊形的對(duì)角線條數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】據(jù)正多邊形的外角和定理，解求出多邊形的邊數(shù)，根據(jù)多邊形頂點(diǎn)引對(duì)角線的公式由此即可求解．【詳解】解：∵正多邊形的每個(gè)外角都等于，∴，∴這個(gè)正多邊形是正邊形，如圖所示，∴（條），∴這個(gè)正多邊形的對(duì)角線是條．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，對(duì)角線的條數(shù)的計(jì)算方法，掌握正多邊形的外角和定理，頂點(diǎn)引對(duì)角線的公式是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，位于第一象限中，已知頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，結(jié)合坐標(biāo)系即可求解．【詳解】解：∵位于第一象限中，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·常熟市八年級(jí)月考）如圖，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F(xiàn)是DB上兩點(diǎn)且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，則∠BCF＝（）A．150° B．40° C．80° D．90°【答案】C【分析】可證明△BCF≌△DAE，則∠BCF＝∠DAE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠DAE的度數(shù)，從而得出∠BCF的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE，∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．8．（2022·廣東·八年級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長(zhǎng)為（）A．5 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BD，DE，先證∠DHC=90o，再證四邊形ADEF是平行四邊形，最后利用勾股定理得出結(jié)果．【詳解】過點(diǎn)D作DH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BD，DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，∠ADC=60o，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60o，∵DH⊥BC，∴∠DHC=90o，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．9．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接，得到，設(shè)它們的面積分別是，給出如下結(jié)論：①；②如果，則；③若，則；④如果P點(diǎn)在對(duì)角線上，則；⑤若，則P點(diǎn)一定在對(duì)角線上；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，設(shè)點(diǎn)到，，，的距離分別是，，，，再根據(jù)三角形的面積公式整理判斷①；然后根據(jù)三角形面積公式可判斷②③；再根據(jù)兩個(gè)等高的三角形面積的比等于底的比，得出，判斷④；最后根據(jù)已證關(guān)系式，得出，，判斷⑤，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，．設(shè)點(diǎn)到，，，的距離分別是，，，，點(diǎn)C到的距離分別為，則，，，．∵，，∵，∴，故①正確；根據(jù)只能判斷，不能判斷，即不能判斷，故②錯(cuò)誤；根據(jù)，能得出，不能得出，即不能判斷，故③錯(cuò)誤；∵點(diǎn)在對(duì)角線上，∴，，∴，故④正確；由和，得，，∴，∴，∴點(diǎn)一定在對(duì)角線在上，故⑤正確，綜上所述，正確的結(jié)論是①④⑤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等，用平行四邊形的面積表示出相應(yīng)的兩個(gè)三角形的面積的和是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在線段上，、分別是、的中點(diǎn)，連接，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②：③；④.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，結(jié)合ABCD的性質(zhì)，得FD=CD，即可判斷①；先證?AEF??DHF，再證?ECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，結(jié)合三角形的面積公式，即可判斷③；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，進(jìn)而得到，即可判斷④．【詳解】∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴2FD=AD，∵在ABCD中，AD=2AB，∴FD=AB=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DCF=∠BCF，即：，∴①正確；∵AB∥CD，∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，又∵AF=DF，∴?AEF??DHF（AAS），∴EF=HF，∵，∴CE⊥CD，即：?ECH是直角三角形，∴=EH，∴②正確；∵EF=HF，∴∵，CE⊥CD，垂足在線段上，∴,∴,∴，∴③錯(cuò)誤；設(shè)∠AEF=x，則∠H=x，∵在Rt?ECH中，CF=FH=EF，∴∠FCH=∠H=x，∵FD=CD，∴∠DFC=∠FCH=x，∵點(diǎn)F，G分別是EH，EC的中點(diǎn)，∴FG∥CD∥AB，∴∠AEF=∠EFG=x，∵EF=CF，∴∠EFG=∠CFG=x，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，∴．∴④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)定理的綜合，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）11．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)．若，寫出一個(gè)符合條件的的值_________．【答案】（答案不唯一）【分析】先求得，在根據(jù)點(diǎn)的不同位置，求得的取值范圍，從而得解．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，∵，，∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∴是正三角形，∴，∵，，∴即，∴是正三角形，∴，∴，故答案為（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·長(zhǎng)春市九年級(jí)期末）如圖，有一塊形狀為△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一個(gè)形狀為□的工件，使在邊BC上,、兩點(diǎn)分別在邊、上，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則的面積為_________．【答案】12【分析】作交BC于H點(diǎn)，交DE于I點(diǎn)，根據(jù)可得，根據(jù)是邊的中點(diǎn)可知是的中位線，得，利用三角形面積，可得，，則根據(jù)，計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】如圖示，作交BC于H點(diǎn)，交DE于I點(diǎn)，∵∴∵是邊的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴，又∵，即有，∴，∴，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的應(yīng)用，勾股定理，三角形的面積和平行四邊形的面積，熟悉相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．13．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，若直線，A，D在直線m上，B，E在直線n上，，，，的面積為6，則直線m與n之間的距離為______．【答案】4【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．【詳解】解：直線，，四邊形是平行四邊形，，，，設(shè)直線與之間的距離為，的面積為6，，解得，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．（2022·云南昆明市·九年級(jí)月考）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于度【答案】30【分析】利用全等三角形的性質(zhì)和正六邊形的定義可判斷六邊形花環(huán)為正六邊形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ABD=120°，然后把∠ABD減去90°得到∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成的，∴六邊形花環(huán)為正六邊形，∴∠ABD==120°，而∠CBD=∠BAC=90°，∴∠ABC=120°-90°=30°．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）；多邊形的外角和等于360°．15．（2022·浙江八年級(jí)期中）如圖，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周長(zhǎng)為40，則S為______．【答案】48【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面積的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程組，求出平行四邊形的各邊長(zhǎng)，再求其面積．【詳解】解：設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵?ABCD的周長(zhǎng)為40，∴x＋y＝20，∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，得方程組：，解得：∴S平行四邊形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案為：48．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與其面積公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)得到鄰邊的和，根據(jù)面積公式得到方程，再解方程組即可．16．（2022·黑龍江·大慶市北湖學(xué)校八年級(jí)期末）在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB=6，EF=2，則BC的長(zhǎng)為_____．【答案】10或14或10【分析】利用BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，以及平行關(guān)系，分別求出、，通過和是否相交，分兩類情況討論，最后通過邊之間的關(guān)系，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，，，，，由等角對(duì)等邊可知：，，情況1：當(dāng)與相交時(shí)，如下圖所示：，，，情況2：當(dāng)與不相交時(shí)，如下圖所示：，，故答案為：10或14．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行關(guān)系+角平分線證邊相等，是解決本題的關(guān)鍵，還要注意根據(jù)和是否相交，本題分兩類情況，如果沒考慮仔細(xì)，會(huì)漏掉一種情況．17．（2022·山東八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，E、F分別在CD和BC的延長(zhǎng)線上，，，則______．【答案】8【分析】證明四邊形ABDE是平行四邊形，得到DE=CD＝，，過點(diǎn)E作EH⊥BF于H，證得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根據(jù)30度角的性質(zhì)求出EF．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AB=CD，∵，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴DE=CD＝，，過點(diǎn)E作EH⊥BF于H，∵，∴∠ECH=，∴CH=EH，∵，，∴CH=EH=4，∵∠EHF=90°，，∴EF=2EH=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)模擬）在中，E是邊上的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．已知，，：則__________，__________．【答案】【分析】結(jié)合題意，通過證明，得到，即可得到；過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AD交FH于點(diǎn)G，結(jié)合題意，根據(jù)平行四邊形、對(duì)頂角、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，計(jì)算得，從而得CH的值；再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得FH和BC的值，結(jié)合平行四邊形ABCD性質(zhì)以及，DG是中位線，從而得到DG，通過計(jì)算即可得到答案．【詳解】∵E是邊上的中點(diǎn)∴∵平行四邊形ABCD∴∴∵∴∴∵∴過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AD交FH于點(diǎn)G∵∴∴，即∵，且∴∴∴∴∵平行四邊形ABCD∴∴∴∴∴∴∵，∴DG是中位線∴∴故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、勾股定理、直角三角形、三角形中位線、全等三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、勾股定理、直角三角形、三角形中位線、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，小明從點(diǎn)O出發(fā)，前進(jìn)3米后到達(dá)點(diǎn)A（米），向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)3米后到達(dá)點(diǎn)B（米），又向右轉(zhuǎn)，……這樣小明一直右轉(zhuǎn)了n次剛好回到出發(fā)點(diǎn)O處．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為___________．(2)小明走出的這n邊形的周長(zhǎng)為__________米．(3)若一個(gè)正m邊形的內(nèi)角和比外角和多，求這個(gè)正m邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【答案】(1)15(2)45(3)【分析】（1）根據(jù)多邊形的外角和等于，即可求解；（2）用多邊形的邊數(shù)乘以的長(zhǎng)，即可求解；（3）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理可得關(guān)于m的方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：．故答案為：15（2）解：由（1）得：這個(gè)n邊形為十五邊形，∴這n邊形的周長(zhǎng)為（米）；故答案為：45（3）解：根據(jù)題意，得，解得，

∴這個(gè)正m邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的應(yīng)用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理是解題的關(guān)鍵．20.（2022·山東濰坊市期末）如圖，在四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別是對(duì)角線的中點(diǎn)，依次連接連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）若，則．【答案】（1）（2）見解析；（3）25.【解析】證明：（1）∵E、G分別是AD、BD的中點(diǎn)，∴EG∥AB，AB=2EG同理可證：FH∥AB，AB=2HF∴EG∥HF，EG=HF∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）GH⊥EF，理由：∵G、F分別是BD、BC的中點(diǎn)，∴FG=CD，由（1）知GE=AB，又∵AB=CD，∴GE=GF又四邊形EGFH是平行四邊形，∴四邊形EGFH是菱形，∴GH⊥EF；（3）由題意，EG∥AB，HF∥AB，GE=AB∴EG∥HF，同理，EH∥FG，GF=CD∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵AB=CD，∴GE=GF，∴四邊形EGFH是菱形，∵∠ABD=20°，∠BDC=70°，EG∥AB，GF∥CD，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50o，∵FE平分∠GEH，∴∠GEF=∠GEH=25°．故答案為：25．21．（2022·山西八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC，DF．（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得就愛∠FAE=∠CDE，利用ASA即可證明△AEF≌△DEC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=DC，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得結(jié)論．【詳解】（1）∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四邊形ACDF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊互相平行；有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵．22．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【閱讀?領(lǐng)會(huì)】怎樣判斷兩條直線否平行？如圖①，很難看出直線a、b是否平行，可添加“第三條線”（截線c），把判斷兩條直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．我們稱直線c為“輔助線”．在部分代數(shù)問題中，很難用算術(shù)直接計(jì)算出結(jié)果，于是，引入字母解決復(fù)雜問題，我們稱引入的字母為“輔助元”．事實(shí)上，使用“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”可以更容易地解決問題．【實(shí)踐?體悟】(1)計(jì)算：，這個(gè)算式直接計(jì)算很麻煩，請(qǐng)你引入合適的“輔助元”完成計(jì)算．(2)如圖②，已知，求證：，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)摹拜o助線”，并完成證明．(3)【創(chuàng)造?突破】如圖③，，，，我們把大于平角的角稱為“優(yōu)角”，若優(yōu)角，則優(yōu)角______．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1），將原式變形為，先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)可得，等量代換可得，根據(jù)同位角相等、兩直線平行，可證；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出五邊形的內(nèi)角和，則兩個(gè)五邊形的內(nèi)角和．【詳解】（1）解：令，原式．（2）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，如圖所示：∵是的外角，∴，又∵，∴，∴；（3）解：連接、，分成兩個(gè)五邊形，如圖所示：五邊形的內(nèi)角和為，兩個(gè)五邊形的內(nèi)角和為，，，，兩個(gè)五邊形的內(nèi)角和．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定、多邊形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，能夠通過引入“輔助線”、“輔助元”等“輔助元素”解決問題．23．（2022·山東淄博市·八年級(jí)期末）如圖1，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)，平分，，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．（3）點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，若的面積，請(qǐng)直接寫出的面積（不需要寫出解答過程）．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）=3．【分析】（1）證明△AGE≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結(jié)論；（2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB?AG）＝（AB?AC）；(3)根據(jù)△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，得出BDEF的面積為6，設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，由即可求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE在和中，，，，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴為的中位線，，，四邊形是平行四邊形．（2）四邊形是平行四邊形，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，．（3）如圖：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，∴∵BF∥DE設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，則=（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，以及等底同高的平行四邊形和三角形的面積之間的關(guān)系，證明GE＝EC，再利用三角形中位線定理證明DE∥AB是解決問題的關(guān)鍵．24．（2023春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┪覀儼堰B接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請(qǐng)對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明．(1)如圖1，點(diǎn)D，E分別是的邊，的中點(diǎn)，求證：，且；(2)如圖2，四邊形中，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊的中點(diǎn)，若，，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）如圖所示，延長(zhǎng)到F，使得，證明，得到，則，再由點(diǎn)D是的中點(diǎn)，得到，即可證明四邊形是平行四邊形，則，，再由，即可證明；（2）如圖所示，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于E，證明，得到，，即點(diǎn)N是的中點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可知，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，延長(zhǎng)到F，使得，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，又，∴，∴，且；（2）解：如圖所示，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于E，∵，∴，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，即點(diǎn)N是的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴由（1）的結(jié)論可知，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．25．（2022·山東煙臺(tái)市·八年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)在邊所在的直線上，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖①，求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②，線段