正余弦定理的應用

正余弦定理的應用—面積問題

正、余弦定理的實際應用基礎達標在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°，C點的俯角為70°，則∠BAC=________.解析：如圖，由已知∠BAD=60°，∠CAD=70°，

∴∠BAC=60°+70°=130°.2.若P在Q的北偏東44°，則Q在P的________方向．解析：如圖，依題意知∠AQP=44°，則點Q在點P的南偏西44°.

3.為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)．要測算出A、B兩點間的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC=100m，∠B=60°，∠C=45°，則AB=________m.4.如圖，A、B兩地之間隔著一個水塘，現(xiàn)選擇另一點C，測得CA=80m，CB=40m∠ACB=60°，則A、B兩地之間距離為________m.經(jīng)典例題題型一距離問題【例1】

一貨輪在海上由西向東航行，在A處望見燈塔C在貨輪的東北方向，半小時后在B處望見燈塔C在貨輪的北偏東30°方向．若貨輪的速度為30nmile/h，當貨輪航行到D處望見燈塔C在貨輪的西北方向處，求A、D兩處的距離．則由正弦定理，得即又∵sin15°=

sin120°=∴AC=

15(nmile)．在△ACD中，∵∠A=∠D=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=

AC=15(3+)(nmile)，∴A、D兩處的距離為15(3+

)nmile.解：如圖所示，在△ABC中，∠CAB=45°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=180°-45°-120°=15°，AB=300.5=15(nmile)．題型二高度問題【例2】

某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高．∴BD=在Rt△ABE中，

tan∠AEB=AB為定值，若要使仰角∠AEB最大，

則BE要最小，即BE⊥CD，這時∠AEB=30°.在Rt△BED中，

∠BDE=180°-135°-30°=15°，

∴BE=BDsin∠BDE=20

sin15°在Rt△ABE中，AB=BEtan∠AEB

∴塔的高度為

解：如圖所示，在△BDC中，CD=40m，∠BCD=90°-60°=30°，∠DBC=180°-45°=135°.由正弦定理，得題型三角度問題【例3】近幾年來，印度洋海域索馬里海盜活動猖獗，并頻頻襲擊過往貨輪，某年某月某日，巡邏人員在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處

海里的B處一貨輪遭到搶劫，立即發(fā)出阻截信號，此時，在A處北偏西75°方向，距離A處2海里的C處的中國編隊接到信號后，立即以10海里/小時的速度追截海盜船，而海盜船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問：中國編隊沿什么方向行駛能最快追上海盜船？

解：如圖，設中國編隊用th在D處追上海盜船，則有CD=10BD=10t，在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC∴BC=

∵cos∠CBA=

∴∠CBA=45°，即B在C的正東方向．∵∠CBD=90°+30°=1