新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題5.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（講）原卷版

專題5.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)新課程考試要求理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，了解三角函數(shù)的周期性.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多例）、數(shù)據(jù)分析等.高考預(yù)測(cè)（1）“五點(diǎn)法”作圖；（2）三角函數(shù)的性質(zhì)；（3）與不等式相結(jié)合考查三角函數(shù)定義域的求法．（4）與二次函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等結(jié)合考查函數(shù)的值域(最值)．（5）借助函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)．（6）往往將三角恒等變換與三角函數(shù)圖象、性質(zhì)結(jié)合考查.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無最大值，也無最小值周期性奇偶性,奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱中心無對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱圖形.知識(shí)點(diǎn)2．“五點(diǎn)法”做函數(shù)的圖象“五點(diǎn)法”作圖：先列表，令，求出對(duì)應(yīng)的五個(gè)SKIPIF1<0的值和五個(gè)值，再根據(jù)求出的對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)描出五個(gè)點(diǎn)，再把五個(gè)點(diǎn)利用平滑的曲線連接起來，即得到在一個(gè)周期的圖象，最后把這個(gè)周期的圖象以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數(shù)的圖象.【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域【典例1】（2021·上海高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是___________.【典例2】（2017新課標(biāo)2）函數(shù)fx=sin2【規(guī)律方法】1．三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．三角函數(shù)值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求；(2)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．【變式探究】1.（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，最小值為，則_________，_________.2.（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域.（1）；（2）.【總結(jié)提升】在使用開平方關(guān)系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)時(shí)，一定要注意正負(fù)號(hào)的選取，確定正負(fù)號(hào)的依據(jù)是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，則按三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)來確定正負(fù)號(hào)；如果角α所在的象限是未知的，則需要按象限進(jìn)行討論．考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性常見考題類型：1．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值或范圍；3.比較大小.【典例3】（2021·全國高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A． B． C． D．【典例4】（2020·河南洛陽?高一期末（理））已知，，則，，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【典例5】（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的最大值為（）A． B． C． D．【規(guī)律方法】1.求形如或(其中A≠0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“()”視為一個(gè)“整體”；②A>0(A<0)時(shí)，所列不等式的方向與()，()的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)．2.當(dāng)時(shí)，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號(hào)提出來，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi).3．已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法(1)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解．(2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解.【變式探究】1.（2021·河南高一三模）已知函數(shù)，則（）A． B．在上單調(diào)遞增C．在上的最小值為 D．在上的最大值為2.（2020·浙江柯城?衢州二中高三其他）已知函數(shù)，則的最大值為________，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________.3.（2019·渦陽縣第九中學(xué)高一期末（文））已知函數(shù)．求的單調(diào)增區(qū)間；【總結(jié)提升】1.對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的兩點(diǎn)說明(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域R上均不是單調(diào)函數(shù)，但存在單調(diào)區(qū)間．(2)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為2π，所以任給一個(gè)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加上2kπ，(k∈Z)后，仍是單調(diào)區(qū)間，且單調(diào)性相同．2．對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的三點(diǎn)說明(1)明確正、余弦函數(shù)的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．(2)函數(shù)y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依賴函數(shù)定義域D來決定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數(shù)最值通常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝Z，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝AsinZ的形式求最值．3.正切函數(shù)單調(diào)性的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)正切函數(shù)在定義域上不具有單調(diào)性．(2)正切函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，有無數(shù)個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，(eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π)，…上都是增函數(shù)．(3)正切函數(shù)的每個(gè)單調(diào)區(qū)間均為開區(qū)間，不能寫成閉區(qū)間，也不能說正切函數(shù)在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))∪…上是增函數(shù)．考點(diǎn)三三角函數(shù)的周期性【典例6】（2018年全國卷Ⅲ文）函數(shù)f(x)=tanxA.π4B.π2C.π【規(guī)律方法】1.求三角函數(shù)的周期的方法（1）定義法：使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有.利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路，非常適合選擇題；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期為.要特別注意兩個(gè)公式不要弄混；(3)圖象法：可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù)；(4)絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定.如的周期都是,但的周期為，而，的周期不變.2.使用周期公式，必須先將解析式化為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式；正弦余弦函數(shù)的最小正周期是SKIPIF1<0，正切函數(shù)的最小正周期公式是SKIPIF1<0；注意一定要注意加絕對(duì)值.3.對(duì)稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心、相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是四分之一個(gè)周期;正切曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.【變式探究】（2021·全國高三月考（理））函數(shù)的最小正周期是_______________________.【特別提醒】最小正周期是指使函數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的最小正數(shù)，是對(duì)x而言，而不是對(duì)ωx而言．.考點(diǎn)四三角函數(shù)的奇偶性

【典例7】（2021·全國高三其他模擬）函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．【規(guī)律方法】1.一般根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則繼續(xù)求SKIPIF1<0；最后比較SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系，如果有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有SKIPIF1<0=-SKIPIF1<0，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù).2.如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下：(1)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；(2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；(3)若為奇函數(shù)則有.【變式探究】（浙江省2019屆高考模擬卷（二)）函數(shù)y=cosA．B．C．D．【特別提醒】利用定義判斷與正切函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則，即首先要看f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．考點(diǎn)五三角函數(shù)的對(duì)稱性

【典例8】（2021·安徽高三其他模擬（文））已知函數(shù)，且函數(shù)的最小正周期為，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，①；②點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心；③直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.其中正確的（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【規(guī)律方法】函數(shù)的對(duì)稱性問題，往往先將函數(shù)化成的形式，其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心,關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．【變式探究】（2021·廣西欽州一中高三開學(xué)考試（理））關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.②的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.③的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.④的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.其中所有真命題的序號(hào)是__________.【特別提醒】1.求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，應(yīng)把ωx＋φ作為整體，代入相應(yīng)的公式中，解出x的值，最后寫出結(jié)果．2.正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是(eq\f(kπ,2)，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．考點(diǎn)六三角函數(shù)的零點(diǎn)【典例9】（2021·全國高三其他模擬（理））函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（）A． B． C． D．【總結(jié)提升】重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用數(shù)形結(jié)合的思想將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題．【變式探究】（2021·河南商丘市·高一月考）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5考點(diǎn)七三角函數(shù)中有關(guān)ω問題

常見考題類型：1.三角函數(shù)的周期T與ω的關(guān)系；2.三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系；3.三角函數(shù)的對(duì)稱性、最值與ω的關(guān)系【典例10】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模擬（文））已知函數(shù)(ω>0)，若f(x)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．【典例11】（2021·遼寧鐵嶺市·高三二模）函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【典例12】（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（文））已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸方程為，則的值不可能是（）A． B． C．1 D．【典例13】（2018年北京高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=cos(ωx?π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x【變式探究】1.（2021·全國高三其他模擬（理））若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2.【多選題】（2021·全國高三其他模擬）函數(shù)，．若在上的最大值為1，則（）A．B．C．，使在區(qū)間上為減函數(shù)D．若的圖象關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為3．【多選題】（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)和的說法正確的是（）A．函數(shù)與有相同的周期B．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心一定不同C．若函數(shù)的圖象在上至少可取到兩次最大值1，則D．若函數(shù)的圖象與直線在上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則考點(diǎn)八三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

【典例14】（2021·全國高考真題（文））函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A．和 B．和2 C．和 D．和2【典例15】（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是____，最小值是_________.【規(guī)律方法】1．求形如y＝asinx＋b的函數(shù)的最值或值域時(shí)，可利用正弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx≤1)求解．2．對(duì)于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函數(shù)，當(dāng)定義域?yàn)镽時(shí)，值域?yàn)閇－|A|＋k，|A|＋k]；當(dāng)定義域?yàn)槟硞€(gè)給定的區(qū)間時(shí)，需確定ωx＋φ的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定值域．3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函數(shù)的值域或最值時(shí)，可以通過換元，令t＝sinx，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值，求解過程中要注意正弦函數(shù)的有界性．4．求形如y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)，ac≠0的函數(shù)的值域，可以用分離常量法求解；也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解出y．綜上可知，