新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題5.4三角恒等變換（講）原卷版

專題5.4三角恒等變換新課程考試要求1.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.掌握簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理（多例）、直觀想象（多例）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（多例）、數(shù)據(jù)分析等.高考預(yù)測（1）和（差）角公式：結(jié)合拆角、配角方法，將兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相結(jié)合，考查三角函數(shù)式的化簡求值或求角問題（2）二倍角公式與同角公式綜合考查，重點(diǎn)解決三角函數(shù)求值問題；（3）和差倍半的三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用.（4）對于三角恒等變換，高考命題主要以公式的基本運(yùn)用（正用、逆用、變用）、計算為主，其中多與角的范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識結(jié)合考查.【知識清單】知識點(diǎn)1．兩角和與差的三角函數(shù)公式（1）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).（2）變形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；.（3）輔助角公式一般地，函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).知識點(diǎn)2．二倍角公式（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).（2）變形公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一兩角和與差的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)公式的應(yīng)用【典例1】（2021·全國高三其他模擬）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段SKIPIF1<0繞原點(diǎn)SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，到達(dá)線段SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2020·山東聊城?高一期末）角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，將的終邊繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到角，則（）A． B． C． D．【典例3】【多選題】（2020·廣東高一期末）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則滿足條件的ω的值為（）A． B． C． D．【規(guī)律方法】1.三角函數(shù)求值的兩種類型：(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.2.三角公式化簡求值的策略(1)使用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”．(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．(3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．3.給值求角問題，解題的一般步驟是：(1)先確定角α的范圍，且使這個范圍盡量小；(2)根據(jù)(1)所得范圍來確定求tanα、sinα、cosα中哪一個的值，盡量使所選函數(shù)在(1)得到的范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(3)求α的一個三角函數(shù)值；(4)寫出α的大?。咀兪教骄俊?.（2019·北京高考模擬（文））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，終邊分別是射線OA和射線OB．射線OA，OC與單位圓的交點(diǎn)分別為，.若，則的值是()A． B．C． D．2.（2020·湖南婁星?婁底一中高一期末）已知為銳角，且，則（）A． B． C． D．3.（2019·河南鶴壁高中高考模擬（文））平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是單位圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，若，則為_____．【總結(jié)提升】(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．高頻考點(diǎn)二兩角和與差的正切公式的應(yīng)用【典例4】（2021·安徽高三其他模擬（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例5】（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）已知SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【規(guī)律方法】1．運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練，準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等．2．應(yīng)熟悉公式的逆用和變形應(yīng)用，公式的正用是常見的，但逆用和變形應(yīng)用則往往容易被忽視，公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用．提醒：在T(α＋β)與T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保證tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意義；若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用誘導(dǎo)公式化簡．【變式探究】1.（2018年全國卷II文）已知tan(α?5π42.（2021·廣東高三其他模擬）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長SKIPIF1<0與太陽天頂距SKIPIF1<0的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度SKIPIF1<0等于表高SKIPIF1<0與太陽天頂距SKIPIF1<0正切值的乘積，即SKIPIF1<0.若對同一“表高”兩次測量，“晷影長”分別是“表高”的2倍和3倍(所成角記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，則SKIPIF1<0___________.【總結(jié)提升】1.“1”的代換：在Tα±β中如果分子中出現(xiàn)“1”常利用1＝tan45°來代換，以達(dá)到化簡求值的目的．2．若α＋β＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，則有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．3．若化簡的式子里出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”兩個整體，?？紤]tan(α±β)的變形公式．考點(diǎn)三二倍（半）角公式的應(yīng)用【典例6】（2021·全國高考真題（文））若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例7】（2020·浙江高一期末）已知，若，則__；__.【典例8】(2019年高考全國Ⅰ卷文)函數(shù)的最小值為___________．【總結(jié)提升】1.轉(zhuǎn)化思想是實(shí)施三角變換的主導(dǎo)思想，恒等變形前需清楚已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．注意三角函數(shù)公式逆用和變形用的2個問題(1)公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．(2)注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等這些數(shù)值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．2.已知θ的某個三角函數(shù)值，求eq\f(θ,2)的三角函數(shù)值的步驟是：(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得θ的其他三角函數(shù)值；(2)代入半角公式計算即可【變式探究】1.（2021·沈陽市·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0的大小；（2）SKIPIF1<0，給出SKIPIF1<0的一個合適的數(shù)值使得函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0．2.（2020·河南林州一中高一月考）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【特別提醒】1.倍角的含義：對于“二倍角”應(yīng)該有廣義的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是eq\f(α,2)的二倍角……這里的蓄含著換元思想．這就是說，“倍”是相對而言的，是描述兩個數(shù)量之間的關(guān)系的．2．公式的適用條件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，當(dāng)α＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，tanα不存在，求tan2α的值可采用誘導(dǎo)公式．考點(diǎn)四簡單的三角恒等變換---化簡與證明

【典例9】（2021·重慶一中高三其他模擬）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【典例10】求證：.【總結(jié)提升】1.三角函數(shù)式化簡的方法(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．(2)在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次，去掉根號．2．三角函數(shù)式的化簡遵循的三個原則(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的變換，從而正確使用公式．(2)二看“名”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降冪”等．3．三角恒等式的證明方法(1)從等式的比較復(fù)雜的一邊化簡變形到另一邊，相當(dāng)于解決化簡題目．(2)等式兩邊同時變形，變形后的結(jié)果為同一個式子．(3)先將要證明的式子進(jìn)行等價變形，再證明變形后的式子成立．提醒：開平方時正負(fù)號的選取易出現(xiàn)錯誤，所以要根據(jù)已知和未知的角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)匕呀遣鸱郑鶕?jù)角的范圍確定三角函數(shù)的符號．【變式探究】1．（2021·全國高三其他模擬（理））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0