課題學(xué)習(xí)最短路徑問題 省賽獲獎(jiǎng)

第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題目標(biāo)突破目標(biāo)突破總結(jié)反思總結(jié)反思13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題知|識(shí)|目|標(biāo)1．通過觀察、歸納、操作等活動(dòng)，掌握翻折法(軸對(duì)稱)解決最短路徑問題．2．通過觀察、歸納、操作等活動(dòng)，掌握平移法解決最短路徑問題．13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題目標(biāo)突破目標(biāo)一利用翻折法(軸對(duì)稱)解決最短路徑問題例1[教材問題1變式]如圖13－4－1，在銳角∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，試在OA，OB上確定兩點(diǎn)C，D，使△PCD的周長(zhǎng)最短．圖13－4－113.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題解：△PCD的周長(zhǎng)等于PC＋CD＋PD，要使△PCD的周長(zhǎng)最短，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，只需使得PC＋CD＋PD的大小等于某兩點(diǎn)之間的距離，于是考慮作點(diǎn)P關(guān)于射線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)E，F(xiàn)，則△PCD的周長(zhǎng)等于線段EF的長(zhǎng)．作法：如圖，①作點(diǎn)P關(guān)于射線OA的對(duì)稱點(diǎn)E；②作點(diǎn)P關(guān)于射線OB的對(duì)稱點(diǎn)F；③連接EF，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D.則C，D就是所要求作的點(diǎn)．13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題證明：連接PC，PD，則PC＝EC，PD＝FD.在OA上任取異于點(diǎn)C的一點(diǎn)H，連接HE，HP，HD，則HE＝HP.∵△PHD的周長(zhǎng)＝HP＋HD＋PD＝HE＋HD＋DF>ED＋DF＝EF，而△PCD的周長(zhǎng)＝PC＋CD＋PD＝EC＋CD＋DF＝EF，∴△PCD的周長(zhǎng)最短．13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題【歸納總結(jié)】通過翻折法(軸對(duì)稱)將折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題，構(gòu)造“兩點(diǎn)之間，線段最短”的基本圖形，從而解決最短路徑問題．題型二利用平移法解決最短路徑問題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題例2[教材復(fù)習(xí)題13第15題變式]如圖13－4－6，荊州護(hù)城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD′，EE′(橋?qū)挷挥?jì))，設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，如何架橋可使ADD′E′EB的路程最短？圖13－4－613.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題[解析]

由于含有固定線段“橋”，導(dǎo)致不能ADD′E′EB通過軸對(duì)稱直接轉(zhuǎn)化為一條線段，常用的方法是構(gòu)造平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答，這就是“造橋選址問題”．解：作AF⊥CM，且AF＝河寬，作BG⊥CN，且BG＝河寬，連接GF，與河岸相交于E′，D′.過D′作DD′⊥CM于D，過E′作E′E⊥CN于E，DD′，EE′即為橋的位置．13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題證明：由作圖可知，AF∥DD′，AF＝DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD＝FD′，同理，BE＝GE′，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，GF最?。串?dāng)橋建于如圖13－4－5所示位置時(shí)，ADD′E′EB最短．13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題【歸納總結(jié)】通過平移法將折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題，構(gòu)造“兩點(diǎn)之間，線段最短”的基本圖形，從而解決最短路徑問題．

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知識(shí)點(diǎn)最短路徑問題

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題總結(jié)反思最短路徑問題的理論根據(jù)：“兩點(diǎn)之間，線段最短”“垂線段最短”等．在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用______、______等圖形變換把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑．軸對(duì)稱

平移

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題如圖13－4－7，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，A村已通上燃?xì)?，燃?xì)夤敬蛩銓村的管道再接到B村，應(yīng)如何設(shè)計(jì)路線才能使管道最短？圖13－4－7圖13－4－813.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題解：如圖13－4－8，管道路線為AM→MN→NB.找出以上畫法的錯(cuò)