2023屆湖北宜昌數(shù)學(xué)九年級上冊期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.若關(guān)于x的一元二次方程/一機=。的一個根是工=1,貝!］機的值是（）

A.1B.0C.-1D.2

2.如果兩個相似三角形的相似比是1:2,那么它們的面積比是（）

A.1:2B.1:4C.1:72D.2:1

3.下列事件是必然事件的是（）

A.打開電視播放建國70周年國慶閱兵式

B.任意翻開初中數(shù)學(xué)書一頁，內(nèi)容是實數(shù)練習

C.去領(lǐng)獎的三位同學(xué)中，其中有兩位性別相同

D.食用保健品后長生不老

4.從長度分別為1,3,5,7的四條線段中任選三條作邊，能構(gòu)成三角形的概率為（）

1111

A.—B?—C.-D.一

2345

5.如圖，00的直徑AB的長為10,弦AC長為6,/ACB的平分線交00于D，則CD長為（）

A.7B.772C.8后D.9

6.參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,若共有x人參加聚會，則根據(jù)題意，可列方程（）

A.x（x-l）=10B.x（x+l）=10C.，x（x-l）=10D.—x（x+l）=10

22

7.小明同學(xué)以正六邊形三個不相鄰的頂點為圓心，邊長為半徑，向外作三段圓弧，設(shè)計了如圖所示的圖案，已知正六

邊形的邊長為1,則該圖案外圍輪廓的周長為（）

A.2〃B.3萬C.4%D.6%

8.下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

9.2019年教育部等九部門印發(fā)中小學(xué)生減負三十條：嚴控書面作業(yè)總量，初中家庭作業(yè)不超過90分鐘.某初中學(xué)校

為了盡快落實減負三十條，了解學(xué)生做書面家庭作業(yè)的時間，隨機調(diào)查了40名同學(xué)每天做書面家庭作業(yè)的時間，情況

如下表.下列關(guān)于40名同學(xué)每天做書面家庭作業(yè)的時間說法中，錯誤的是（）

書面家庭作業(yè)時間（分鐘）708090100110

學(xué)生人數(shù)（人）472072

A.眾數(shù)是90分鐘B.估計全校每天做書面家庭作業(yè)的平均時間是89分鐘

C.中位數(shù)是90分鐘D.估計全校每天做書面家庭作業(yè)的時間超過90分鐘的有9人

10.如圖，在aABC中，NB=90。，AB=6cm,BC=12cm,動點P從點A開始沿邊AB向B以lcm/s的速度移動（不

與點B重合），動點Q從點B開始沿邊BC向C以2cm/s的速度移動（不與點C重合）.如果P、Q分別從A、B同時

出發(fā)，那么經(jīng)過（）秒，四邊形APQC的面積最小.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.拋物線y=x2+3與y軸的交點坐標為.

12.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為xi=-2,X2=4,則m+n=

13.已知：a,〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式：J（a_l）2_J（a+力2+|一尸.

一紇_____>

-2-1012

14.已知點P是線段AB的黃金分割點，AP>PB.若AB=L則AP=_（結(jié)果保留根號）.

15.若整數(shù)。使關(guān)于x的二次函數(shù)丁=（。-1）/一（2。+3）》+。+2的圖象在》軸的下方，且使關(guān)于x的分式方程

10\+2ax

2+——=--------有負整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)。的和為___________.

x+33+無

16.如圖是甲、乙兩人同一地點出發(fā)后，路程隨時間變化的圖象.

（1）甲的速度_____乙的速度.（大于、等于、小于）

（2）甲乙二人在_____時相遇；

（3）路程為150千米時，甲行駛了小時，乙行駛了小時.

17.如圖，在平面直角坐標系中，4（4,0）,3（0,3）,。為線段。4上任一點，作E>E_L3D交線段A8于E，當AE的

長最大時，點E的坐標為.

18.設(shè)機，"分別為一元二次方程好+2X—2021=0的兩個實數(shù)根，則,”2+3,〃+"=.

三、解答題（共66分）

3

19.（10分）已知：如圖，在RtAABC中，NACB=90。，BC="3",tanZBAC=-,將NABC對折，使點C的對應(yīng)

4

點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O,以點O為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系

(1)求過A、B、O三點的拋物線解析式；

(2)若在線段AB上有一動點P,過P點作x軸的垂線，交拋物線于M,設(shè)PM的長度等于d,試探究d有無最大值,

如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由.

(3)若在拋物線上有一點E,在對稱軸上有一點F,且以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E

的坐標.

20.(6分)如圖，AG是NPAQ的平分線，點E在AQ上，以AE為直徑的。0交AG于點D,過點D作AP的垂線,

垂足為點C,交AQ于點B.

(1)求證：直線BC是。。的切線；

(2)若。。的半徑為6,AC=2CD,求BD的長

21.(6分)某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號的汽車.已知該型號汽車的進價為15萬元/輛，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當該型號

汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低1萬元，平均每周多售出2輛.

(1)當售價為22萬元/輛時，平均每周的銷售利潤為萬元；

(2)若該店計劃平均每周的銷售利潤是90萬元，為了盡快減少庫存，求每輛汽車的售價.

22.(8分)已知拋物線-3經(jīng)過點A(1,0),頂點為點M.

(1)求拋物線的表達式及頂點用的坐標；

(2)求NOAM的正弦值.

23.(8分)某校根據(jù)課程設(shè)置要求，開設(shè)了數(shù)學(xué)類拓展性課程，為了解學(xué)生最喜歡的課程內(nèi)容，隨機抽取了部分學(xué)生

進行問卷調(diào)查(每人必須且只選中其中一項)，并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖(不完整)，請根據(jù)圖中信息回答問題:

抽取的學(xué)生最喜歡課程內(nèi)容的扇形統(tǒng)計圖抽取的學(xué)生最喜歡有具體的內(nèi)容的條形統(tǒng)計圖

A.4咻我單

B.a-f

C次於此先

D.1■話點陽

匕名黑方法

(1)求m,n的值.

(2)補全條形統(tǒng)計圖.

(3)該校共有1200名學(xué)生，試估計全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù).

24.(8分)如圖，DCPEFPGHPAB,AB=U,CD=6,DE:EG:GA^3:4:5.求EF和G”的長.

nc

25.(10分)對于平面直角坐標系中的兩個圖形Ki和K2,給出如下定義：點G為圖形Ki上任意一點，點H為K2圖

形上任意一點，如果G,H兩點間的距離有最小值，則稱這個最小值為圖形Ki和K2的“近距離”。如圖1,已知AABC,

A(-1,-8),B(9,2),C(-1,2),邊長為0的正方形PQMN,對角線NQ平行于x軸或落在x軸上.

(1)填空：

①原點O與線段BC的“近距離”為—；

②如圖1,正方形PQMN在4ABC內(nèi)，中心。坐標為(m,0),若正方形PQMN與AABC的邊界的“近距離”為1,

則m的取值范圍為；

(2)已知拋物線C：y=--x2+3x-a,且-1勺學(xué)，若拋物線C與AABC的“近距離”為1,求a的值；

4

(3)如圖2,已知點D為線段AB上一點，且D(5,-2),將AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0。41勺80。)，將旋轉(zhuǎn)中的

△ABC記為AAB'C,連接DB二點E為DB，的中點，當正方形PQMN中心O,坐標為(5,-6),直接寫出在整個旋轉(zhuǎn)

過程中點E運動形成的圖形與正方形PQMN的“近距離”.

26.(10分)關(guān)于x的一元二次方程》2一2(“-1)》+。2一。—2=0有兩個不相等的實數(shù)根%、%2.

(1)求。的取值范圍；

(2)若玉、々滿足才+%一占％=16,求a的值.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、B

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=l代入一元二次方程可得到關(guān)于m的一元一次方程，然后解一元一次方

程即可.

【詳解】把x=l代入x2-x+m=l得l-l+m=l,

解得m=l.

故選B.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一

個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

2、B

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出.

【詳解】???兩個相似三角形的相似比是1：2,

...它們的面積比是1：1.

故選B.

【點睛】

本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡單.

3、C

【分析】根據(jù)必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確

定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，對每一項進行分析即可.

【詳解】A.打開電視播放建國70周年國慶閱兵式是隨機事件，故不符合題意；

B.任意翻開初中數(shù)學(xué)書一頁，內(nèi)容是實數(shù)練習是隨機事件，故不符合題意；

C.去領(lǐng)獎的三位同學(xué)中，其中有兩位性別相同是必然事件，符合題意；

D.食用保健品后長生不老是不可能事件，故不符合題意；

故選C.

【點睛】

本題考查的是事件的分類，事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件.

4、C

【分析】從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率.

【詳解】解：從四條線段中任意選取三條，所有的可能有：1,3,5；1,3,7；1,5,7；3,5,7共4種，

其中構(gòu)成三角形的有3,5,7共1種，

???能構(gòu)成三角形的概率為：

4

故選C.

點睛：此題考查了列表法與樹狀圖法，以及三角形的三邊關(guān)系，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5^B

【解析】作DF_LCA,交CA的延長線于點F,作DGJ_CB于點G,連接DA,DB.由CD平分NACB,根據(jù)角平分

線的性質(zhì)得出DF=DG,由HL證明△AFDgZkBGD,ACDF^ACDG,得出CF=7,又ACDF是等腰直角三角形，從

而求出CD=7J5.

【詳解】作DFJ_CA,垂足F在CA的延長線上，作DG_LCB于點G,連接DA,DB,

VCDY^-ZACB,

.,.ZACD=ZBCD

.,.DF=DG,AD=BD>

.\DA=DB,

VZAFD=ZBGD=90°,

.".△AFD^ABGD,

，AF=BG.

易證ACDF絲ZkCDG,

.*.CF=CG,

VAC=6,BC=8,

.?.AF=1,

；.CF=7,

???△CDF是等腰直角三角形，

.*.CD=7V2，

故選B.

G

【點睛】

本題綜合考查了圓周角的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的對等關(guān)系，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等，綜合性較強,

有一定的難度，正確添加輔助線、熟練應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

6、C

【分析】如果x人參加了這次聚會，則每個人需握手x-l次，x人共需握手次；而每兩個人都握了一次手，

因此一共握手;x(x—1)=10次.

【詳解】設(shè)x人參加了這次聚會，則每個人需握手x-1次，

依題意，可列方程:尤(x-l)=10.

故選C.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用.

7、C

【分析】根據(jù)正六邊形的邊長相等，每個內(nèi)角為120度，可知圖案外圍輪廓的周長為三個半徑為1、圓心角為24()度

的弧長之和.

【詳解】由題意可知：

V正六邊形的內(nèi)角=(6—2)x180。=]20。，

6

二扇形的圓心角=360°一120°=240°,

?.?正六邊形的邊長為1,

...該圖案外圍輪廓的周長=3x—=4萬，

180

故選：C.

【點睛】

本題考查了弧長的計算公式，正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

8、B

【解析】試題分析：A選項既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；

B選項中該圖形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形；

C選項中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；

D選項中是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.

故選B.

考點：1.軸對稱圖形；2.中心對稱圖形.

9、D

【分析】利用眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義分別確定后即可得到本題的正確的選項.

【詳解】解：A、書面家庭作業(yè)時間為90分鐘的有20人，最多，故眾數(shù)為90分鐘，正確；

90+90

B、共4()人，中位數(shù)是第2()和第21人的平均數(shù)，即------=90,正確；

2

C、平均時間為：—x(70x4+80x7+90x20+100x8+110)=89,正確；

40

D、隨機調(diào)查了40名同學(xué)中，每天做書面家庭作業(yè)的時間超過90分鐘的有8+1=9人，故估計全校每天做書面家庭作

業(yè)的時間超過90分鐘的有9人說法錯誤，

故選：D.

【點睛】

本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義，屬于統(tǒng)計基礎(chǔ)題，比較簡單.

10、C

【分析】根據(jù)等量關(guān)系“四邊形APQC的面積=三角形ABC的面積三角形PBQ的面積”列出函數(shù)關(guān)系求最小值.

【詳解】解：設(shè)P、Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為ts,四邊形APQC的面積為Sen?,則有：

S=SAABC-SAPBQ

11,、

=—xl2x6--(6-t)x2t

22

=t2-6t+36

=(t-3)2+l.

當t=3s時，S取得最小值.

故選C.

【點睛】

本題考查了函數(shù)關(guān)系式的求法以及最值的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出

最值.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11、(0,3)

【分析】由于拋物線與y軸的交點的橫坐標為0,代入解析式即可求出縱坐標.

【詳解】解：當x=0時，y=3,則拋物線y=x2+3與y軸交點的坐標為(0,3),故答案為(0,3).

【點睛】

此題主要考查了拋物線與坐標軸的交點坐標與解析式的關(guān)系，利用解析式中自變量為0即可求出與y軸交點的坐標.

12、-1

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出-2+4=-m,-2X4=n,再求出m+n的值即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為xi=-2,x2=4,

/.-2+4=-m,-2X4=n,

解得：m=-2,n=-8,

/?m+n=-l,

故答案為：-L

【點睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出?2+4=?m,-2X4=n是解此題的關(guān)鍵.

13、1.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)J/=|a|開平方，再結(jié)合數(shù)軸確定a-La+b,l-b的正負性，然后去絕對值，最后合

并同類項即可.

【詳解】原式=|a-1|-|a+b|+|l-b|=l-a-(-a-b)+(l-b)=1-a+a+b+1-b=l,

故答案為：1.

【點睛】

此題主要考查了二次根式的化簡和性質(zhì)，正確把握絕對值的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

14、575-5

【分析】根據(jù)黃金分割比的定義計算即可.

【詳解】根據(jù)黃金分割比，有

AP=^^AB=^^xlO=5石-5

22

故答案為：5^-5.

【點睛】

本題主要考查黃金分割比，掌握黃金分割比的定義是解題的關(guān)鍵.

15、-16

4/7「一12

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象在X軸的下方得出a—1<0,<0>解分式方程得X=——，注意XH-3,根

4aa-i

據(jù)分式方程有負整數(shù)解求出a,最后結(jié)合a的取值范圍進行求解.

【詳解】?.?二次函數(shù)y=(a—1)*一(2a+3)x+a+2的圖象在x軸的下方，

4ac-/_4(a-l)(a+2)-(2a+3產(chǎn)

：?a—1v0,

~^a—-4(a-l)

解得，a,

o

c19l+2ax

2+——=------,

x+33+x

解得，x=-^-(x^-3),

a—1

?.?分式方程有負整數(shù)解，

a—1=-1,-2,—3,—6,—12,即a=0,-1,—2,—5,-11,

17

Va<-----,

8

a=—5,—11,

...所有滿足條件的整數(shù)a的和為一5-11=一16,

故答案為：—16.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象，解分式方程，分式方程的整數(shù)解，二次函數(shù)的圖象在X軸下方，則開口向下且函數(shù)的最大

值小于1,解分式方程時注意分母不為1.

16、(1)、小于；(2)、6；(3)、9、4

【解析】試題分析：根據(jù)圖像可得：甲的速度小于乙的速度；兩人在6時相遇；甲行駛了9小時，乙行駛了4小時.

考點：函數(shù)圖像的應(yīng)用

3

17、(3,-)

4

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,由DE_LBD,取BE的中點F,以點F為圓心，BF長為半徑作半圓，與x軸相切于

點D,連接FD,設(shè)AE=x,利用相似三角形求出x,再根據(jù)三角形相似求出點E的橫縱坐標即可.

【詳解】VA(4,0),B(0,3),

/.OA=4,OB=3,

VDE±BD,

.?.ZBDE=90°,

取BE的中點F,以點F為圓心，BF長為半徑作半圓，與x軸相切于點D,連接FD,

設(shè)AE=x,貝BF=EF=DF=-(5-X),

2

VZADF=ZAOB=90°,

.?.DF〃OB

/.△ADF^AAOB

.AFDF

.x+彳(5—x)—(5—x)

,,2_______2______，

5——3~

解得x=-.

4

過點E作EG_Lx軸，

.,.EG/7OB,

.,.△AEG^AABO,

AEEGAG

???__A__—____―___,

OBOA

5

-

4

-EGAG,

5=

3-----4

3

.*.EG=-,AG=1,

4

.?.OG=OA-AG=4-1=3,

3

AE(3,-),

4

3

故答案為：（3.-）

此題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，本題借助半圓解題使題中的DEJ_BD所成的角確定為圓

周角，更容易理解，是解此題的關(guān)鍵.

18、1.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出m2+2m=2021、m+n=-2,將其代入m2+3m+n中即可求

出結(jié)論.

【詳解】Vm,n分別為一元二次方程x2+2x-2018=0的兩個實數(shù)根，

m2+2m=2021,m+n=-2,

m2+3m+n=m2+2m+(m+n)=1+(-2)=1.

故答案為L

【點睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出m2+2m=K

m+n=-2是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

2

19、(1)y=-x--X；(2)當t=!時，d有最大值，最大值為2；(3)在拋物線上存在三個點：Ei(g,-g),E2

242232

(與，—).E3使以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形.

【解析】(1)在RtaABC中，根據(jù)NBAC的正切函數(shù)可求得AC=1,再根據(jù)勾股定理求得AB,設(shè)OC=m,連接OH

由對稱性知，OH=OC=m,BH=BC=3,ZBHO=ZBCO=90°,即得AH=AB-BH=2,OA=l-m.在RtaAOH中，根

據(jù)勾股定理可求得m的值，即可得到點O、A、B的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性可設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析

式為：y=ax(x-j)2,再把B點坐標代入即可求得結(jié)果；

315

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，設(shè)動點P(t,—/+—),則M(t,

48

1,5

-r2--r),先表示出d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

24

(3)設(shè)拋物線的頂點為D,先求得拋物線的對稱軸，與拋物線的頂點坐標，根據(jù)拋物線的對稱性，A、

24

O兩點關(guān)于對稱軸對稱.分AO為平行四邊形的對角線時，AO為平行四邊形的邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即

可.

【詳解】(1)在RtZ\ABC中，

3

VBC=3，tanZBAC=-,

4

.\AC=1.

二AB=y/BC2+AC2=V32+42=5?

設(shè)OC=m,連接OH

3

...在RtZ\AOH中，OH2+AH2=OA2,即m2+22=(Lm)2,得m=一.

2

35

.*.OC=-,OA=AC-OC=-,

22

53

AO(0,0)A0),B(—,3).

22

設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax(x-1).

31

把乂=一萬，y=3代入解析式，得a=5.

1,5

即過A、B、。三點的拋物線的解析式為y=5*2-7].

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得

3,.

-----\-b—3

23

,解之得人

48

-k+b=Q

[2

315

???直線AB的解析式為y=-/+丁

4

31515,

設(shè)動點P(t,則M-r2——t).

4824

,315、，125

：.d=(——1+—)—(-/——t)--/2)2+2

482422822

...當t=L時，d有最大值，最大值為2.

2

].5

⑶設(shè)拋物線尸5，一片的頂點為D.

1125

.?.拋物線的對稱軸x=-,頂點D（一，-一）.

2232

根據(jù)拋物線的對稱性，A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱.

當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是

525

平行四邊形.這時點D即為點E,所以E點坐標為（己,--

432

當AO為平行四邊形的邊時，由OA=2,知拋物線存在點E的橫坐標為*+°或？+即粵或-工，

2424244

分別把x=?和x=-g代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=[Y—中，得點E（：,2）或EG，，：）.

442443224

所以在拋物線上存在三個點：Ei（-,E2（^,2），E3?）,使以O(shè)、A、E、F為頂點的四邊形

232432232

為平行四邊形.

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

20、（1）證明見詳解；（2）8.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和同圓的半徑相等可得OD〃AC,證明OD_LCB,可得結(jié)論；

l4r

（2））在Rt^ACD中，設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=?,證明△ACDsaADE,表示a=不，由平行線分線段成比

例定理得：絲=絲，代入可得結(jié)論.

BCAC

【詳解】（1）證明：連接OD,

：AG是NHAF的平分線，

.?.NCAD=NBAD,

VOA=OD,

.,.ZOAD=ZODA,

.,.ZCAD=ZODA,

，OD〃AC,

VZACD=90°,

.*.ZODB=ZACD=90°,即OD_LCB,

在。O上，

二直線BC是QO的切線；

(2)解：在Rt^ACD中，設(shè)CD=a,貝1JAC=2a,\D=亞a,

連接DE,

TAE是。O的直徑，

ZADE=90°,

由NCAD=NBAD,ZACD=ZADE=90",

/.△ACD^AADE,

.ADAC亞a2a

..——=--，即----=—j=~,

AEAD2r>j5a

4r

Cl=----9

5

由(1)知：OD〃AC,

BDODp...BDr

'BD+a~2a'

44

解得BD=—r=-x6=8.

33

【點睛】

本題考查切線的判定、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程解決問題是關(guān)鍵.

21、(1)98(2)20萬元

【分析】(1)根據(jù)當該型號汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1

輛，即可求出當售價為22萬元質(zhì)時，平均每周的銷售量，再根據(jù)銷售利潤=一輛汽車的利潤X銷售數(shù)量列式計算；

（2）設(shè)每輛汽車降價x萬元，根據(jù)每輛的盈利X銷售的輛數(shù)=90萬元，列方程求出x的值，進而得到每輛汽車的售

價.

【詳解】（1）由題意，可得當售價為22萬元/輛時，平均每周的銷售量是：

25-22,

----------XI+8=14,

0.5

則此時，平均每周的銷售利潤是：（22-15）X14=98（萬元）；

（2）設(shè)每輛汽車降價x萬元，根據(jù)題意得：

（25-x-lS）（8+2x）=90,

解得xi=LX2=5,

當x=l時，銷售數(shù)量為8+2X1=10（輛）；

當x=5時，銷售數(shù)量為8+2X5=18（輛），

為了盡快減少庫存，則x=5,此時每輛汽車的售價為25-5=20（萬元），

答：每輛汽車的售價為20萬元.

【點睛】

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是會表示一輛汽車的利潤，銷售量增加的部分.找到關(guān)鍵描述語，找

到等量關(guān)系：每輛的盈利X銷售的輛數(shù)=90萬元是解決問題的關(guān)鍵.

22、（1）M的坐標為（-1,-4）；（2）

【解析】（D把A坐標代入拋物線解析式求出〃的值，確定出拋物線表達式，并求出頂點坐標即可；

（2）根據(jù)（1）確定出拋物線對稱軸，求出拋物線與x軸的交點8坐標，根據(jù)題意得到三角形AM8為直角三角形，

由MB與A8的長，利用勾股定理求出AM的長，再利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可.

【詳解】解：（1）由題意，得1+33=0,

解這個方程，得，b=2,

所以，這個拋物線的表達式是y=d+2x-3,

所以y=（x+1）2-4,

則頂點M的坐標為（-1,-4）；

（2）由（1）得：這個拋物線的對稱軸是直線x=-1,

設(shè)直線x=-l與x軸的交點為點B,

則點8的坐標為（-1,0）,且NMA4=90。，

在RtAABM中，MB=4,AB=2,

由勾股定理得：AM2=A/B2+AB2=16+4=20,即AM=2,予

所以sinNOAM==..

EM2-.5

4M5

【點睛】

此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，以及解直角三角形，

熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

23、（1）加=15%,〃=15%；（2）見解析；（3）300人.

【分析】（1）用選A的人數(shù)除以其所占的百分比即可求得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)百分比=其所對應(yīng)的人數(shù)+總?cè)?/p>

數(shù)分別求出m、n的值j即可；（2）用總數(shù)減去其他各小組的人數(shù)即可求得選D的人數(shù)，從而補全條形統(tǒng)計圖；（3）

用樣本估計總體即可確定全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù).

【詳解】（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為12+20%=60人，

所以加=15+60=25%,”=9+60=15%.

（2）最喜歡“生活應(yīng)用”的學(xué)生數(shù)為60x30%=18（人）.

條形統(tǒng)計圖補全如下：

（3）該要校共有1200名學(xué)生，可估計全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生有；1200x25%=300人.

【點睛】

本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，從條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖中獲取必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.

24、砂=7.5,GH=95.

【分析】過C作CQ〃AD,交GH于N,交EF于M,交AB于Q,則可判斷四邊形AQCD為平行四邊形，所以AQ=CD=6,

同理可得EM=EM=CD=6,貝!|BQ=AB-AQ=6,再利用平行線分線段成比例定理得到DE：EG：GA=CF：HF：HB=3：

4：5,然后根據(jù)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原

三角形的三邊對應(yīng)成比例得到MF：BQ=CF：CB=3：12,NH：BQ=CH：CB=7：12,則可計算出MF和NH,從而

得到GH和EF的長

【詳解】解：過C作CQPA。，交G4于點N,交EF于點M,交45于。，如圖,

???CD//AB,

，四邊形AQCD為平行四邊形.

:.AQ—CD—6,

同理可得GN=EM=8=6.

二BQ=AB-AQ^6.

DCPEFPGHPAB,

:.DE:EG:GA=CF:HF:HB=3:4:5.

VMFPNHPBQ,

:.M『:BQ=CF:C3=3:（3+4+5）,NH:BQ=CH:CB=（3+4）:（3+4+5）.

37

MF=—x6=1.5,NH=—x6=3.5.

1212

:.EF=EM+MF=6+1.5=75,HG=GN+NH=6+35=95.

故答案為跖=7.5,GH=9.5.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.平行于三角形的一邊，并且

和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.

25

25、（1）①2；②14m46-夜；（2）。=一彳或。=11+拉；（3）點E運動形成的圖形與正方形PQMN的“近距

離”為5亞-我.

【分析】（D①由垂線段最短，即可得到答案；

②根據(jù)題意，找出正方形PQMN與△ABC的邊界的“近距離”為1,的臨界點，然后分別求出m的最小值和最大值，

即可得到m的取值范圍；

（2）根據(jù)題意，拋物線與△ABC的“近距離”為1時，可分為兩種情況：當點C到拋物線的距離為1,即CD=1；當

拋物線與線段AB的距離為1時，即GH=1；分別求出a的值，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，取AB的中點F,連接EF,求出EF的長度，然后根據(jù)題意，求出點F,點Q的坐標，求出FQ的長

度，即可得到EQ的長度，即可得到答案.

【詳解】解：(1)①TB(9,2),C(-1,2),

.,.點B、C的縱坐標相同，

二線段BC〃x軸，

二原點O到線段BC的最短距離為2；

即原點O與線段BC的“近距離”為2；

故答案為：2；

②TA(-1,-8),B(9,2),C(-1,2),

二線段BC〃x軸，線段AC〃y軸，

.,.AC=BC=10,AABC是等腰直角三角形，

當點N與點O重合時，點N與線段AC的最短距離為1,

則正方形PQMN與AABC的邊界的“近距離”為1,

此時m為最小值，

?.?正方形的邊長為0,

由勾股定理，得：丁+加2=(0)2,

m-\,m=-\(舍去)；

當點Q到線段AB的距離為1時，此時m為最大值，如圖:

VQN=1,△QMN是等腰