拓展04 全等三角形提高證明題含輔助線（六種類型）（解析版）

拓展04全等三角形提高證明題含輔助線（六種類型）【類型一】利用角平分線構造全等1．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，E，F(xiàn)分別為AC，AB上的點，且∠AED＋∠AFD＝180°．（1）求證：∠AFD＝∠CED；（2）求證：DE＝DF．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)同角的補角相等即可得解；（2）過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據(jù)角平分線性質求出DM=DN，由（1）知∠MFD=∠DEN，證出△FMD≌△END即可．【詳解】（1）證明：∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AED+∠CED＝180°，∴∠AFD＝∠CED；（2）證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∠FMD＝∠END＝90°，∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AED+∠DEN＝180°，∴∠MFD＝∠DEN，在△FMD和△END中，∠MFD=∠DEN∠FMD=∠END∴△FMD≌△END（AAS），∴DE＝DF．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線性質的應用，解題關鍵是利用AAS推出△FMD≌△END．2．如圖，在ΔABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線交BC于D，過D作DE⊥BA于點E，點F在AC上，且BD=DF．（1）求證：AC=AE；（2）求證：∠BAC+∠FDB=180°；（3）若AB=9.5，AF=1.5，求線段BE的長，【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BE的長為4．【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用AAS證明△ACD≌△AED即可；（2）設∠1=∠2=α，在AB上截取AM=AF，連接MD，證明△FAD≌△MAD，進而證明RtΔMDE≌RtΔBDE，再證明ΔCFD≌ΔEBD，根據(jù)∠FDB+∠BAC即可求證；（3）由（2）可得EB=EM,AF=AM,根據(jù)BE=AB-AM-ME即可求得BE的長．【詳解】證明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在ΔACD和ΔAED中，{∠DCA=∠DEA∴ΔACD≌ΔAED(AAS)，∴AC=AE，（2）設∠1=∠2=α，∵∠C=∠DEA=90°，在ΔADC中，∠ADC=90°-α，在ΔADE中，∠ADE=90°-α，∵∠FDB=∠FCD+∠CFD=90°+∠CFD，在AB上截取AM=AF，連接MD，在ΔFAD和ΔMAD中，{∴ΔFAD≌ΔMAD(SAS)，∴FD=MD，∠5=∠6，∵BD=DF，∴BD=MD，在RtΔMDE和RtΔBDE中，{∴RtΔMDE≌RtΔBDE(HL)，∴∠3=∠4，設∠5=∠6=β，∵∠1=∠2=α，∴∠1+∠5=∠2+∠6=α+β，在ΔFAD中，∠1+∠5=∠DFC在ΔAMD中，∠2+∠6=∠3，∴∠DFC=∠3，∴∠DFC=∠4，在ΔCFD和ΔEBD中，{∠DCF=∠DEB∴ΔCFD≌ΔEBD(AAS)，∴∠CFD=∠4，∵∠C=90°，在ΔABC中，∠4=90°-2α，∴∠CFD=90°-2α，∴∠FDB=90°+90°-2α=180°-2α，∵∠BAC=∠1+∠2=2α，∴∠FDB+∠BAC=180°-2α+2α=180°，（3）∵AF=AM，且AF=1.5，∴AM=1.5，∵AB=9.5，∴MB=AB-AM=9.5-1.5=8，∵MB=BE，且ME+BE=BM，∴BE=【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，角平分線的定義，掌握以上知識是解題的關鍵．3．如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求證：∠B與∠AHD互補；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關系，并加以證明．【答案】（1）見解析；（2）AG＝AH+HD，證明見解析【分析】（1）在AB上取一點M，使得AM=AH，連接DM，則利用SAS可得出ΔAHD≌ΔAMD，從而得出HD=MD=DB，即有∠DMB＝∠B，通過這樣的轉化可證明∠B與（2）由（1）的結論中得出的∠AHD＝∠AMD，結合三角形的外角可得∠DGM＝∠GDM，可將HD轉化為【詳解】證明：（1）在AB上取一點M，使得AM=AH，連接DM∵AH=AM∠CAD=∠BAD∴ΔAHD≌ΔAMD∴HD＝MD∵HD∴DB∴∠DMB∵∠AMD+∠DMB∴∠AHD+∠B＝即∠B與∠AHD互補．（2）由（1）∠AHD∵∠B+2∠DGA＝∴∠AMD＝又∵∠AMD＝∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM即∴MD∴HD∵AG∴AG＝AH+HD【點睛】本題考查角平分線的性質，應用角平分線構造全等是常用的構造全等的方法，遇到角平分線常有“翻折構造全等”“作角邊的垂線段”兩種輔助線方法．4．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．求證：（1）AD=AE=EC．（2）BA+BC=2BF．【答案】證明詳見解析【詳解】分析：（1）根據(jù)角平分線的性質，得到∠ABD=∠CBD，然后根據(jù)SAS證得△ABD≌△EBC，然后根據(jù)全等三角形的性質和三角形的外角得到等腰△ACE，由此可證；（2）過點E作EG⊥BC于點G，根據(jù)三角形全等的判定“HL”證得Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AFE，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等，等量代換求解.詳解：證明：（1）∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD=BC∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴∠BCE=∠BDA，∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE為等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=EC=AE．（2）過點E作EG⊥BC于點G，∵E是BD上的點，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG，∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE=BEEF=EG∴Rt△BEG≌Rt△BEF(HL)，∴BG=BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，EF=EGAE=CERt△CEG≌Rt△AFE，∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG，=BF+BG=∠BF，∴BA+BC=2BF．點睛：此題考查了角平分線定理，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，利用了轉化及等量代換的數(shù)學思想，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．【類型二】倍長中線5．如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE．【答案】見解析.【分析】延長AE至點F，使得EF=AE，連接BF，易證△AEC≌△FEB（SAS），得到BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，可得∠ABF=∠DCA，然后通過SAS證明△ABF≌△△DCA即可.【詳解】證明：延長AE至點F，使得EF=AE，連接BF，∵∠BEF=∠CEA，BE=CE，∴△AEC≌△FEB（SAS），∴BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=∠DCA，在△ABF和△DCA中，AB=CD∠ABF=∠DCA∴△ABF≌△△DCA（SAS)，∴AD=FA=2AE.【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質，正確作出輔助線是解題關鍵，一般的中線輔助線都是用的倍長中線.6．如圖，已知ΔABC中，點M是BC邊長的中點，過M作∠BAC的角平分線AD的平行線交AB于E，交CA的延長線于F，求證：（1）AE=AF.（2）BE=CF.【答案】見詳解.【分析】（1）要證AE=AF，利用等角對等邊只需證出∠AFE=∠AEF，利用平行不難發(fā)現(xiàn)這兩個角和角平分線分成的兩角是內錯角和同位角；（2）利用倍長中線法構造出全等三角形即可.【詳解】證明：（1）∵MF∥DA∴∠AFE=∠CAD，∠AEF=∠DAE又∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠DAE∴∠AFE=∠AEF∴AE=AF（2）將FM延長至N使FM=MN，連接BN.∵M為CB中點∴CM=MB在△FMC和△NMB中CM=MB∴△FMC≌△NMB（SAS）∴CF=BN，∠F=∠N又∵∠AFE=∠AEF，∠AEF=∠BEN∴∠N=∠BEN∴BE=BN∴BE=CF【點睛】此題考查的（1）平行線的性質和等角對等邊；（2）倍長中線法構造全等三角形.7．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足為M，點C是BM延長線上一點，連接AC．（1）如圖1，點D在線段AM上，且DM＝CM．求證：△BDM≌△ACM；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABC外一點，且滿足EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且F為線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．

【答案】（１）見解析；（２）見解析．【分析】(1)根據(jù)已知條件，利用（SAS）即可證明三角形全等；(2)延長EF至點G，使FG=EF，由上題中△BDM≌△ACM，得出AC=BD，再證△BFG≌△CFE，可得BG=CE，∠G=∠CEF，從而得BD=CE=BG，即可得∠BDF=∠G=∠CEF．【詳解】解：（1）如圖，

∵∠ABC＝45°，AM⊥MB∴BM=AM在△BMD和△AMC中∵{∴△BDM≌△ACM（SAS）．(2)如圖，延長EF至點G，使FG=EF，連接BG

∵△BDM≌△ACM∴BD=AC又∵CE=AC∴BD=CE在△BFG和△CFE中∵{∴△BFG≌△CFE（SAS）∴BG=CE，∠G=∠CEF∴BD=CE=BG∴∠BDF=∠G=∠CEF．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．8．規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中點P，連接OP，請證明AC=2OP．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)OA=OB，OC=OD，∠AOC+∠BOD=180°即可證明；（2）延長OP至E，使PE=OP，先證△BPE≌△DPO，推出BE=OD，∠E=∠DOP，進而推出BE∥OD，再證△EBO≌△COA，即可推出OE=AC，由此可證AC=2OP．【詳解】（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）證明：延長OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點，∴BP=PD，∵在△BPE和△DPO中，PE=PO∠BPE=∠DPO∴△BPE≌△DPOSAS∴BE=OD，∠E=∠DOP，∴BE∥OD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，在△EBO和△COA中，OB=AO∴△EBO≌△COASAS∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形．【類型三】截長補短9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，試說明：BC＝AB＋CD．【答案】見解析【分析】在線段BC上截取BE=BA，連接DE．則只需證明CD=CE即可．結合角度證明∠CDE=∠CED．【詳解】解：證明：在線段BC上截取BE=BA，連接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC在△ABD和△EBD中，BE=BA∠ABD=∠EBD∴△ABD≌△EBD．（SAS）∴∠BED=∠A=108°，∠ADB=∠EDB．又∵AB=AC，∠A=108°，∠ACB=∠ABC=12×（180°-108°）=36°∴∠ABD=∠EBD=18°．∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°．∴∠CDE=∠DEC．∴CD=CE．∴BC=BE+EC=AB+CD．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質及等腰三角形的判定，綜合性較強．10．如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點O，求證：AE+CD=AC．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內角和定理和角平分線的定義，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，連接OF，分別證明△AOE≌△AOFSAS，△COD≌△COFASA，得到【詳解】證明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°，∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC∴∠OAC+∠OCA=1∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°，如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF，

在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF∴△AOE≌△AOFSAS∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，∵∠COD=60°，∴∠COD=∠COF，在△COD和△COF中，∠OCD=∠OCFCO=CO∴△COD≌△COFASA∴CD=CF，∵AF=AE，∴AF+CF=AE+CD=AC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，做輔助線構造全等三角形是解題關鍵．11．在△ABC中，∠ABC=60°，點D、E分別在AC、BC上，連接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：AD+DE=BD．【答案】（1）60°；（2）見解析【分析】（1）由AB=BE，∠ABC=60°，可得△ABE為等邊三角形，由∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∠AED=∠C，可證∠CDE=∠AEB=60°（2）延長DA至F，使AF=DE，連接FB，由∠BED=60°+∠AED，∠BAF=60°+∠C，且∠C=∠AED，可證△FBA≌△DBE(SAS)由DB=FB，可證△FBD為等邊三角形，可得BD=FD，可推出結論，【詳解】解：（1）∵AB=BE，∠ABC=60°，∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，∵∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∵∠AED=∠C，∴∠CDE=∠AEB=60°（2）如圖，延長DA至F，使AF=DE，連接FB，由（1）得△ABE為等邊三角形，∴∠AEB=∠ABE=60°，∵∠BED=∠AEB+∠AED=60°+∠AED，又∵∠BAF=∠ABE+∠C=60°+∠C，且∠C=∠AED，∴∠BED=∠BAF，在△FBA與△DBE中，AB=BE∴△FBA≌△DBE(SAS)∴DB=FB，∠DBE=∠FBA∴∠DBE+∠ABD=∠FBA+∠ABD，∴∠ABE=∠FBD=60°又∵DB=FB，∴△FBD為等邊三角形∴BD=FD，又∵FD=AF+AD，且AF=DE，∴FD=DE+AD=BD，【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質，三角形全等判定與性質，線段和差，三角形外角性質，關鍵是引輔助線構造三角形全等證明等邊三角形．12．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點睛】本題主要考查三角形全等的性質與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質與判定及等邊三角形的性質與判定，解題的關鍵是構造輔助線證明三角形全等．【類型四】直接連接13．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點D為BC中點，過點D作DM⊥DN，分別交BA，AC延長線于點M、N，求證：DM=DN【答案】見解析【分析】連接AD，可得∠ADM=∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM=DN．【詳解】解：連接AD，∵D為BC中點，∴AD=BD，∠BAD=∠C，∵∠ADM+∠MDC=90°，∠MDC+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，∵∠MAD=MAC+DAC=135°，∠NCD=180°-∠ACD=135°在ΔAMD和ΔCND中，∠ADM=∠CDNAD=CD∴ΔAMD?ΔCND(ASA)，∴DM=DN．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△AMD≌△CND是解題的關鍵．14．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點，E、F分別在AC、AB上，且DE⊥DF，試判斷DE、DF的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】DE=DF，理由見解析【分析】連接AD，則有AD=CD，∠DAF=∠C=45°，且AD⊥CD，可得∠CDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°，所以∠CDE=∠ADF，可證△CDE≌△ADF，可得結論．【詳解】DE=DF，理由如下：連接AD，因為∠A=90°，AB=AC，D為BC中點，∴CD=AD，∠C=∠DAF=45°，AD⊥CD，∴∠CDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，∠C=∠DAFCD=AD∴△CDE≌△ADF(ASA)，∴DE=DF．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，正確掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．15．如圖所示，在△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC，交∠BAC的平分線AE于點E，EF⊥AB于點F，EG⊥AC交AC延長線于點G．求證：BF＝CG．【答案】見解析．【分析】連接EB、EC，利用已知條件證明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG．【詳解】證明：連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點，∴BE=EC，∵EF⊥AB，EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BEF和Rt△CEG中，BE=CEEF=EG∴Rt△BEF≌Rt△CEG(HL)，∴BF=CG．【點評】本題考查了全等三角形的判定：解題的關鍵是全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．16．如圖，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平分∠ACB交AB于D點，過A作AE⊥CD交CD延長線于E點，交CB延長線于F點，取FC中點G，連接DG，過C作CH⊥AC交DG延長線于（1）求證：AF=CD；（2）求證：AC=CH+2BD.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直推出∠ABF=∠ABC=90°與∠FAB=∠BCD，則可證明ΔABF≌ΔCBD，即可有（2）連接FD根據(jù)CE⊥AF，AB⊥CF，推出FD⊥AC，即可證明CH//FD，可有∠HCG=∠DFG，然后證明ΔFGD≌ΔCGH推出CH=FD，根據(jù)已知條件即可有AD=DF，由（1）知FB=BD，即可證明AC=CH+2BD.【詳解】證：（1）∵∠ABC=90°∴∠ABF=∠ABC=∴∠AFB+∠FAB=90°∴∠FAB=∠BCD在ΔABF與ΔCBD中∠ABF=∠CBD∴ΔABF≌ΔCBD∴AF=CD（2）連接FD∵CE⊥AF，AB⊥CF∴FD⊥AC∵CH⊥AC∴CH//FD∴∠HCG=∠DFG∵G是FC中點∴FG=CG在ΔFGD與ΔCGH中∠DFG=∠HCG∴ΔFGD≌ΔCGH∴CH=FD∵CE⊥AF，CE平分∠FCA∴AC=CF∴AD=DF由（1）可知ΔABF≌ΔCBD∴FB=BD∴CF=CB+BF=AB+BF=AD+DB+BF=CH+2DB即AC=CH+2BD【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質與判定，角平分線的性質，在（1）中找出條件證明ΔABF≌ΔCBD是關鍵，在（2）中作出輔助線是解題的關鍵.【類型五】延長交于一點17．如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，過點A作AD⊥CD于點D，點E是AB的中點，連接DE，若AC=20，BC=14，求DE的長．

【答案】DE的長為3．【分析】先添加輔助線，構造全等三角形，利用性質求出AD=DF，最后用中位線定理即可求解．【詳解】解：如圖，延長AD，CB交于點F，

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°，在△ACD和△FCD中，∠ACD=∠FCDCD=CD∴△ACD≌△FCDASA∴AD=DF，AC=CF=20，∴BF=CF-BC=20-14=6，∵點D為AF中點，點E為AB中點，∴DE為△ABF的中位線，∴DF=1答：DE的長為3．【點睛】此題考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，解題的關鍵是延長CB交AD延長線于F，證明DE是△ABF的中位線．18．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC的角平分線交AC于E，AD⊥BE于D，求證：AD=BE．【答案】見解析【詳解】試題分析：延長AD和BC交于F，求出∠CBE=∠CAF，AC=BC，證△EBC≌△FAC，△ABD≌△FBD，推出BE=AF，AD=DF，即可得出答案．解：如圖延長AD和BC交于F，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，∴∠ABC=45°=∠BAC，∴AC=BC，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACF=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBC，∵BD⊥AD，∴∠BCE=∠ADE=90°，∵∠BEC=∠AED，∴根據(jù)三角形內角和定理得：∠DAE=∠CBE，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴BE=AF，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（ASA），∴AD=DF，即AF=2AD，∴AD=AF，∴AD=BE．考點：全等三角形的判定與性質．19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分線AD交BC于D，交∠ABC的角平分線于E，過點E作EF⊥AE，交AC于點F，求證：AF+BD=AB【答案】見解析【分析】延長EF，BC相交于點M，分別證明△AEB≌△MEB和△AEF≌△MED即可得解．【詳解】證明：延長EF，BC相交于點M，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°，∴∠DEB=180°-135°=45°，∵AE⊥EF，∴∠MEB=∠MED+∠DEB=90°+45°=135°=∠AEB，在△AEB和△MEB中，∠AEB=∠MEBEB=EB∴△AEB≌△MEBASA∴∠EAB=∠M，AE=ME，AB=MB，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠EAB，∴∠FAE=∠M，在△AEF和△MED中，∠FAE=∠MAE=ME∴△AEF≌△MEDASA∴AF=MD，∴AF+BD=MD+BD=MB=AB．【點睛】本題考查角平分線的定義和全等三角形的判定和性質．熟練掌握角平分線的定義，通過添加輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．20．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，點D為AC中點，AE⊥BD交BC于點E，交BD于點F．求證：

(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內角和定理得出∠BAC=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求證；（2）過點C作CA的垂線交AE延長線于點M，先證明△ACM≌△BADASA，得出AD=CM，BD=AM，則CM=CD，再證明△MCE≌△DCESAS，得出【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．（2）證明：過點C作CA的垂線交AE延長線于點M

∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD∴△ACM≌△BADASA∴AD=CM，∵D為AC中點，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB∴△MCE≌△DCE∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握三角形的內角和為180°，直角三角形兩銳角互余，以及正確畫出輔助線，構造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質進行證明．【類型六】半角模型21．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求證：AD為∠BDC的平分線；（2）若∠DAE=12∠BAC，且點E在BD上，直接寫出BE、DE、DC三條線段之間的等量關系_______【答案】（1）見解析；（2）DE=BE+DC.【分析】（1）過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先證明∠BAG=∠CAF，然后證明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分線的判定定理即可得到結論；（2）過A作∠CAH=∠BAE，證明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再證明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三條線段之間的等量關系.【詳解】證明:（1）如圖1，過A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，在△BAG和△CAF中∠AGB=∠F=∴△BAG≌△CAF（AAS），∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，（2）BE、DE、DC三條線段之間的等量關系是DE=BE+DC，理由如下：如圖2，過A作∠CAH=∠BAE交DC的延長線于H，∵∠DAE=12∠BAC∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，在△EAD和△HAD中∠EAD=∠HADAD=AD∴△EAD≌△HAD（ASA），∴DE=DH，AE=AH，在△EAB和△HAC中AB=AC∠BAE=∠CAH∴△EAB≌△HAC（SAS），∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線的判定定理，線段和差的證明，掌握截長法和補短法是解答此題的突破口．22．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，若∠EAF=12∠BAD，判斷EF、BE【答案】（1）BE+DF=EF；（2）EF+DF=BE．理由見解析．【分析】（1）線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關系是BE+DF=EF．如圖，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，利用全等三角形的性質解決問題即可．（2）結論：EF+DF=BE．如圖中，在BE上截取BM=DF，連接AM，證明△ABM≌△ADFSAS，推出AM=AF，∠BAM=∠DAF，再證明△AEM≌△AEF【詳解】（1）解：線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關系是BE+DF=EF．如圖，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，∵∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠1=180°，即：∠ABC+∠D=180°，∴∠1=∠D，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADFSAS∴AM=AF，∠3=∠2，∵∠EAF=12∠BAD∴∠2+∠4=∠EAF，∴∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF，在△MAE和△FAE中，AM=AF∠MAE=∠FAE∴△MAE≌△FAESAS∴EF=EM，∵EM=BM+BE=BE+DF，∴EF=BE+FD；故答案為：BE+DF=EF．（2）結論：EF+DF=BE．理由：在BE上截取BM=DF，連接AM，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADE=180°，∴∠B=∠ADF，在△ABM與△ADF中，BM=DF∠ABM=∠ADF∴△ABM≌△ADFSAS∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，則∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD，∴∠BAD=∠MAF∵∠EAF=12∠BAD∴∠EAF=∠EAM，在△AEM與△AEF中，AM=AF∠EAF=∠EAM∴△AEM≌△AEFSAS∴EM=EF，即BE-BM=EF，即BE-DF=EF，∴EF+DF=BE．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．23．問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．(1)小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是；（直接寫結論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=12∠BAD，（1(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=12∠BAD，（1【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．證明見解析；(3)結論EF=BE+FD不成立，結論是：EF=BE-FD．證明見解析．【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，利用全等三角形的性質解決問題即可；（2）延長CB至M，使BM=DF，連接AM．證明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性質得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性質得出EF=ME，即EF=BE+BM，則可得出結論；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性質得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．證明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性質得出結論．【詳解】（1）解：EF=BE+FD．延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案為：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．證明：如圖②中，延長CB至M，使BM=DF，連接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=12∠BAD∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAF∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：結論EF=BE+FD不成立，結論：EF=BE-FD．證明：如圖③中，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF