新高考數(shù)學一輪復(fù)習講練測專題8.8立體幾何綜合問題（講）解析版

專題8.8立體幾何綜合問題新課程考試要求1.會解決簡單的立體幾何問題.2．會用向量方法證明直線、平面位置關(guān)系的有關(guān)命題.3．會用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測（1）立體幾何中的動態(tài)問題.（2）立體幾何中的探索性問題.（3）平面圖形的翻折問題.（4）立體幾何與傳統(tǒng)文化（5）立體幾何新定義問題（6）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要圍繞考查空間直角坐標系的建立、空間向量的坐標運算能力和分析解決問題的能力命制試題，以多面體為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向．空間的角與距離的計算（特別是角的計算）是高考熱點，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過計算解決立體幾何問題．距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計算中加以考查．此類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問則通過建立空間直角坐標系，利用空間向量方法進一步求角或距離.【考點分類剖析】考點一：立體幾何中的動態(tài)問題【典例1】（2021·福建高二期末）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．當SKIPIF1<0時，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值B．當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等C．當SKIPIF1<0時，存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】由SKIPIF1<0即可判斷A；當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點可判斷B；建立空間直角坐標系，計算SKIPIF1<0可判斷C；設(shè)SKIPIF1<0，求出所需各點坐標，計算SKIPIF1<0可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時點SKIPIF1<0位于點SKIPIF1<0處，三棱錐SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定值，點SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0是定值，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，即三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，故選項A正確；對于B：當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等，故選項B正確；對于C：當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，建立如圖所示空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，所以不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故選項C不正確；對于D：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項D正確；故選：ABD.【典例2】（2020·四川南充·高三其他（理））已知三條射線，，兩兩所成的角都是60°.點在上，點在內(nèi)運動，，則點的軌跡長度為()A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過作平面于，則點在的平分線上，在平面內(nèi)，作于，連結(jié)，根據(jù)三垂線定理，則，，點的軌跡是以為圓心，6為半徑的圓在內(nèi)的圓弧，圓弧的長度為：故選：C【總結(jié)提升】1.立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求軌跡的長度及動角的范圍等．2．一般是根據(jù)線、面垂直，線、面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡．【變式探究】1.（2020·河北新華·石家莊二中高三月考（理））如圖，正方體中，P為底面上的動點，于E，且則點P的軌跡是（）A．線段 B．圓 C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分【答案】A【解析】連結(jié)，可證，即，即點E是體對角線上的定點，直線AE也是定直線．，∴動點P必定在線段AE的中垂面上，則中垂面與底面的交線就是動點P的軌跡，所以動點P的軌跡是線段．故選：A2．【多選題】（2021·重慶巴蜀中學高三月考）已知圓臺的上下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為SKIPIF1<0，設(shè)圓臺的體積為SKIPIF1<0，則下列選項中說法正確的是（）A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 B．當SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)變化時，SKIPIF1<0先增大后減小C．SKIPIF1<0不存在最大值 D．當SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)變化時，SKIPIF1<0逐漸減小【答案】AB【解析】通過題意得到圓臺體積V關(guān)于外接球半徑r的函數(shù)，容易判斷A；利用導數(shù)探討該函數(shù)的單調(diào)性和最值，可以判斷B,C,D.【詳解】SKIPIF1<0，對選項SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，設(shè)SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0，由韋達定理SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0；SKIPIF1<02)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則B正確，C，D錯誤，故選：SKIPIF1<0.考點二：立體幾何中的探索性問題【典例3】（2021·廣東高二期末）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點．（1）求二面角SKIPIF1<0的余弦值；（2）在棱SKIPIF1<0（包含端點）上是否存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，給出你的結(jié)論，并證明．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）不存在，證明見解析.【解析】(1)以SKIPIF1<0為正交基底建立直角坐標系，求出相應(yīng)點的坐標，再求平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0和面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，然后計算法向量夾角的余弦值，即可得二面角SKIPIF1<0的余弦值；(2)設(shè)SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，若在棱SKIPIF1<0（包含端點）上存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，再判斷即可.【詳解】（1）解：設(shè)正方體的邊長為單位長度，建立如圖直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0．又因為平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．（2）不存在.證明：設(shè)SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若在棱SKIPIF1<0（包含端點）上存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾，所以棱SKIPIF1<0（包含端點）上不存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【典例4】（2020·全國）如圖，是的直徑，點B是上與A，C不重合的動點，平面.（1）當點B在什么位置時，平面平面，并證明之；（2）請判斷，當點B在上運動時，會不會使得，若存在這樣的點B，請確定點B的位置，若不存在，請說明理由.【答案】（1）當時，平面平面，證明見解析，（2）不存點B使得，理由見解析【解析】(1)當時,平面平面,證明如下:平面,平面,平面平面,,平面平面,平面,平面,∴平面平面;(2)假設(shè)存在點B,使得,點B是上的動點,,又,?平面,,平面,平面,,設(shè),在中,有,在中,有,可得,故為銳角,這與矛盾,故不存點B使得.【典例5】（2020·全國高二課時練習）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大?。唬?）點在線段上，且，點在線段上，若平面，求的值（用含的代數(shù)式表示）.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）在三棱柱中，由平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，交線為.又因為，所以，所以平面.因為平面，所以又因為，所以，又，所以平面.（2）由（1）知底面，，如圖建立空間直角坐標系，由題意得，，，.所以，.所以.故異面直線與所成角的大小為.（3）易知平面的一個法向量，由，得.設(shè)，得，則因為平面，所以，即，解得，所以.【規(guī)律方法】求解立體幾何中探索問題的策略1．條件探索性問題(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；(3)把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件．如本例(2)先根據(jù)題意猜測點的位置．再結(jié)合證明．一般探索點存在問題，點多為中點或三等分點中的一個．2．結(jié)論探索性問題首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論，就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)論，就否定假設(shè)．【變式探究】1．（2020·四川瀘縣五中高二開學考試（理））如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為.【解析】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個平面沒有交點，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（3）不能.如圖，作交于點，延長交于點，連接，由，，，所以平面，則平面，又，根據(jù)三垂線定理，得到，所以是二面角的平面角，若，則是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角對大邊知，所以，這與上面相矛盾，所以二面角的大小不能為.2．（2021·重慶巴蜀中學高三月考）已知在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是正方形.若SKIPIF1<0.（1）求四棱錐SKIPIF1<0的體積；（2）在線段SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0滿足：二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0？若存在，請求出SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0.若不存在，請說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0.【解析】（1）根據(jù)條件先求解正方形的邊長，再求解四棱錐的高，從而可求體積；（2）先建立空間直角坐標系，求解平面的法向量，利用二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的范圍可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則解出SKIPIF1<0，所以體積SKIPIF1<0.（2）以SKIPIF1<0為坐標原點，平行于SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正方向，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正方向，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由于點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0.3．（2020·浦東新·上海師大附中高二期中）設(shè)四邊形為矩形，點為平面外一點，且平面，若，.（1）求與平面所成角的正切值；（2）在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若點是的中點，在內(nèi)確定一點，使的值最小，并求此時的值.【答案】（1）；（2）存在，；（3）、、三點共線，【解析】(1)因為平面，平面，所以，又因為底面是矩形，所以，所以由線面垂直的判定定理可得:平面，所以與平面所成角既為，

又由題意可得:，，所以tan∠CPD=.所以與平面所成角的正切值為.

(2)假設(shè)邊上存在一點G滿足題設(shè)條件，作，則平面，所以.，故存在點G，當時，使點D到平面的距離為.（3）延長CB到，使，因為平面，平面，所以，又因為底面是矩形，所以，

所以由線面垂直的判定定理可得:平面，則是點C關(guān)于面的對稱點，連接，交面于H，則點H是使的值最小時，在面上的一點.作于M，則點M是AD的中點，連接交AB于N，連接HN，則，所以，又，所以，而，所以.所以.【總結(jié)提升】與空間角有關(guān)的探索性問題的解題策略與空間角有關(guān)的探索性問題主要為與兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角有關(guān)的存在性問題，常利用空間向量法求解．求解時，一般把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，并注意準確理解和熟練應(yīng)用夾角公式．其步驟是：(1)假設(shè)存在(或結(jié)論成立)；(2)建立空間直角坐標系，設(shè)(求)出相關(guān)空間點的坐標；(3)構(gòu)建有關(guān)向量；(4)結(jié)合空間向量，利用線面角或二面角的公式求解；(5)作出判斷．考點三：平面圖形的折疊問題【典例6】【多選題】（2021·廣東高二期末）如圖，菱形SKIPIF1<0邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點．將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則下列結(jié)論中正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0 D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】根據(jù)題意知EB，ED，EA‘兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量求得異面直線，線面夾角問題.

【詳解】由題知，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，以E點坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，故A錯誤；對于B，取CE的中點F，聯(lián)結(jié)DF，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過F作SKIPIF1<0平面CDE，四面體SKIPIF1<0的外接球球心O在FO上，作SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C正確；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，D正確；故選：BCD【典例7】（2021·江蘇高二期中）已知梯形SKIPIF1<0如圖1所示，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，沿SKIPIF1<0將四邊形SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到如圖2所示的幾何體.（1）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求點F到平面ABE的距離；（3）若點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長度.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【解析】（1）證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，然后證明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，說明線段SKIPIF1<0的長即為點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，然后轉(zhuǎn)化求解點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，即可得出答案．（3）建系如圖，求出平面SKIPIF1<0的法向量，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解（1）∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵四邊形SKIPIF1<0是正方形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）過點F作SKIPIF1<0于點G，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的長即為點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；（3）如圖，以點SKIPIF1<0為坐標原點，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【特別提醒】解決空間圖形的翻折問題時，要從如下幾個角度掌握變化規(guī)律：注意：掌握翻折過程中的特殊位置①翻折的起始位置；②翻折過程中，直線和平面的平行和垂直的特殊位置.【變式探究】1．（2021·貴州凱里一中高三三模（文））如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點，以SKIPIF1<0為折痕把SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0到達點SKIPIF1<0的位置，則當三棱錐SKIPIF1<0體積最大時，其外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】在SKIPIF1<0中，由余弦定理求得SKIPIF1<0，再由當SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0體積最大，把三棱錐SKIPIF1<0補形為一個長方體，結(jié)合長方體求得外接球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0體積最大，此時SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0兩兩垂直，可把三棱錐補形為一個長方體，且長方體長、寬、高分別為：SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球半徑為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為：SKIPIF1<0.故選：D.2．（2021·重慶八中高三月考）如圖1，C，D是以AB為直徑的圓上兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0所在的半圓沿直徑AB折起，使得點C在平面ABD上的正投影E在線段BD上，如圖2.（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）已知O為AB中點，在線段CE上是否存在點F，使得SKIPIF1<0平面ACD？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）先證明SKIPIF1<0面BCD，進而得出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0平面ADC.（2）建立空間直角坐標系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用向量法證明即可.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BCD因為SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ADC.（2）以O(shè)為坐標原點，垂直于AB的方向為x軸正方向，OB為y軸正方向，垂直于面ADB的方向為z軸正方向不妨設(shè)圓的半徑為SKIPIF1<0，E為點C在平面ABD上的正投影，所以E在x軸正方向上.由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由（1）知SKIPIF1<0即為平面ACD的法向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0平面CAD，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以線段CE上不存在點F，使得SKIPIF1<0平面CAD.考點四：立體幾何與傳統(tǒng)文化【典例8】（2020·海南高考真題）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【解析】畫出截面圖如下圖所示，其中SKIPIF1<0是赤道所在平面的截線；SKIPIF1<0是點SKIPIF1<0處的水平面的截線，依題意可知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是晷針所在直線.SKIPIF1<0是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知SKIPIF1<0、根據(jù)線面垂直的定義可得SKIPIF1<0..由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，也即晷針與點SKIPIF1<0處的水平面所成角為SKIPIF1<0.故選：B【總結(jié)提升】近幾年高考命題關(guān)于這部分內(nèi)容的考查，主要是以傳統(tǒng)文化、數(shù)學文化、現(xiàn)代生活為背景，考查立體幾何的基礎(chǔ)知識，涉及三視圖、面積體積計算、幾何體的幾何特征等.【變式探究】（2021·全國高三專題練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0距離之比SKIPIF1<0是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線SKIPIF1<0上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是正方體的表面SKIPIF1<0(包括邊界)上的動點，若動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0所形成的阿氏圓的半徑為______；若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，且滿足SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值是______.阿波羅尼奧斯【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】在SKIPIF1<0上取點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0延長線上取點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是題中阿氏圓上的點，則SKIPIF1<0是阿氏圓的直徑，由此可求得半徑，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在上述阿氏圓上，這樣當SKIPIF1<0是阿氏圓與SKIPIF1<0交點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離最大，三棱錐SKIPIF1<0體積的最大，由體積公式計算可得．【詳解】在SKIPIF1<0上取點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0延長線上取點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是題中阿氏圓上的點，由題意SKIPIF1<0是阿氏圓的直徑，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴阿氏圓半徑為SKIPIF1<0；正方體中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都與側(cè)面SKIPIF1<0垂直，從而與側(cè)面SKIPIF1<0內(nèi)的直線SKIPIF1<0垂直，如圖SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在上述阿氏圓上，∵SKIPIF1<0的面積是2為定值，因此只要SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離最大，則三棱錐SKIPIF1<0體積的最大，由于SKIPIF1<0點在阿氏圓上，當SKIPIF1<0是阿氏圓與SKIPIF1<0交點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離最大，此時SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0