課下梯度訓(xùn)練（三）等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（三）等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式層級(jí)(一)“四基”落實(shí)練1．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3－2n，則它的公差為()A．2 B．3C．－2 D．－3解析：選C∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故選C.2．等差數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n等于()A．50 B．49C．48 D．47解析：選A由題得2a1＋5d＝4，將a1＝eq\f(1,3)代入得，d＝eq\f(2,3)，則an＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)．令an＝33，得n＝50，故選A.3．(多選)給出下列命題，正確的是()A．?dāng)?shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數(shù)列C．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定能寫(xiě)成an＝kn＋b的形式(k，b為常數(shù))D．?dāng)?shù)列{2n＋1}(n∈N*)是等差數(shù)列解析：選BCD根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列6,4,2,0的公差為－2，A錯(cuò)誤；由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列a，a－1，a－2，a－3是公差為－1的等差數(shù)列，所以B正確；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，則an＝kn＋b，所以C正確；因?yàn)閍n＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以數(shù)列{2n＋1}(n∈N*)是等差數(shù)列，所以D正確．4．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2＝6，a5＝15.若bn＝a2n，則數(shù)列{bn}是()A．以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列B．以6為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列C．以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列D．以6為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列解析：選D因?yàn)閿?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數(shù)列，a2＝6，a5＝15，設(shè)公差為d，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝6，,a1＋4d＝15，))解得a1＝3，d＝3，所以an＝3n，因此bn＝a2n＝6n，而bn－bn－1＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n≥2，n∈N*))，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))是以6為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，故選D.5．一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前6項(xiàng)均為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則公差是()A．－2 B．－3C．－4 D．－5解析：選C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∴a6＝23＋5d，a7＝23＋6d，∵數(shù)列前6項(xiàng)均為正數(shù)，從第7項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，∴23＋5d＞0,23＋6d＜0，∴－eq\f(23,5)＜d＜－eq\f(23,6).又?jǐn)?shù)列是公差為整數(shù)的等差數(shù)列，∴d＝－4，故選C.6．給出下列各組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：①1,4,7，…，an＝3n－2；②21,17,13，…，an＝4n－17；③1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3)，…，an＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3)；④1,2＋eq\r(3)，3＋2eq\r(3)，…，an＝(1＋eq\r(3))n－eq\r(3).其中正確的序號(hào)是________．解析：由d＝a2－a1求得公差，結(jié)合a1即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式，驗(yàn)證知①④正確．②中an＝25－4n，③中an＝eq\f(5,3)－eq\f(2,3)n.答案：①④7．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，則a8＝________.解析：由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a2，a5，a8成等差數(shù)列．∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.答案：218．已知b是a，c的等差中項(xiàng)，且a＞b＞c，若lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差數(shù)列，a＋b＋c＝15，則a的值為_(kāi)_______．解析：由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,2lgb－1＝lga＋1＋lgc－1，,a＋b＋c＝15，,a＞b＞c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝5，,c＝3.))答案：79．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn2＋qn＋r(p，q，r∈R，且p，q，r為常數(shù))．(1)當(dāng)p，q，r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？(2)設(shè)bn＝an＋1－an，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．解：(1)欲使{an}是等差數(shù)列，則an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)＋r]－(pn2＋qn＋r)＝2pn＋p＋q應(yīng)是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以只有2p＝0，即p＝0時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．此時(shí)q，r∈R.(2)證明：因?yàn)閎n＝an＋1－an＝2pn＋p＋q，所以bn＋1－bn＝2p(n＋1)＋p＋q－2pn－p－q＝2p為常數(shù)，所以{bn}是等差數(shù)列．10．已知等差數(shù)列{an}：3,7,11,15，….(1)求{an}的通項(xiàng)公式．(2)135,4m＋19(m∈N*)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若am，at(m，t∈N*)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，那么2am＋3at是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.依題意，有a1＝3，d＝7－3＝4，∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.(2)令4n－1＝135，得n＝34，∴135是數(shù)列{an}的第34項(xiàng)．∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，∴4m＋19是數(shù)列{an}的第m＋5項(xiàng)．(3)∵am，at是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，∴am＝4m－1，at＝4t－1，∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.∵2m＋3t－1∈N*，∴2am＋3at是數(shù)列{an}的第2m＋3t－1項(xiàng)．層級(jí)(二)能力提升練1．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a3＝2，a7＝1，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))為等差數(shù)列，則a19等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．2解析：選A因?yàn)閍3＝2，a7＝1，故eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a7＋1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a19＋1)＝eq\f(1,a3＋1)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3))),4)×16＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，故a19＝0.故選A.2．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為_(kāi)_______．解析：∵eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)(n∈N*)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，又eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝2－1＝1，∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1)＝n，∴an＝eq\f(1,n).答案：an＝eq\f(1,n)3．下表為“森德拉姆素?cái)?shù)篩”，其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列.234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……若記第i行第j列的數(shù)為aij，則a99＝________，表中數(shù)2019共出現(xiàn)________次．解析：因?yàn)橛浀趇行第j列的數(shù)為aij，所以每一組i與j的解就對(duì)應(yīng)表中的一個(gè)數(shù)．因?yàn)榈?行的數(shù)組成的數(shù)列{a1j}(j＝1,2,3，…)是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以a1j＝2＋(j－1)×1＝j(luò)＋1.又第j列數(shù)組成的數(shù)列{aij}(i＝1,2,3，…)是以j＋1為首項(xiàng)，公差為j的等差數(shù)列，所以aij＝j(luò)＋1＋(i－1)×j＝ij＋1.所以a99＝9×9＋1＝82.令aij＝2019，則ij＝2018.又因?yàn)?018的公約數(shù)為1,2,1009,2018，共4個(gè)，所以數(shù)字2019在表中出現(xiàn)的次數(shù)為4.答案：8244．已知等差數(shù)列8,5,2，….(1)求該數(shù)列的第20項(xiàng)．(2)試問(wèn)－121是不是該等差數(shù)列的項(xiàng)？如果是，指明是第幾項(xiàng)；如果不是，試說(shuō)明理由．(3)該數(shù)列共有多少項(xiàng)位于區(qū)間[－200,0]內(nèi)？解：記該等差數(shù)列為{an}，公差為d，由a1＝8，d＝5－8＝－3，得數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝8－3(n－1)＝－3n＋11.(1)該數(shù)列的第20項(xiàng)a20＝－3×20＋11＝－49.(2)如果－121是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，則方程－3n＋11＝－121有正整數(shù)解．解這個(gè)方程，得n＝44，故－121是該等差數(shù)列的第44項(xiàng)．(3)解不等式－200≤－3n＋11≤0，得eq\f(11,3)≤n≤eq\f(211,3)，因此，該數(shù)列位于區(qū)間[－200,0]內(nèi)的項(xiàng)從第4項(xiàng)起直至第70項(xiàng)，共有67項(xiàng)．5．已知無(wú)窮等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出序號(hào)能被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2.(2)求{bn}的通項(xiàng)公式．(3){bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第幾項(xiàng)？解：(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝8－5n.數(shù)列{an}中序號(hào)被4除余3的項(xiàng)是{an}中的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)設(shè){an}中的第m項(xiàng)是{bn}中的第n項(xiàng)，即bn＝am，則m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝13－20n.(3)設(shè)所求為{an}的第m項(xiàng)，則m＝503×4－1＝2011，即{bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第2011項(xiàng)．層級(jí)(三)素養(yǎng)強(qiáng)化練1．我國(guó)古代用日晷測(cè)量日影的長(zhǎng)度，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度．《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同．二十四個(gè)節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)的變化量相同，周而復(fù)始．從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若測(cè)得冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺，大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為25.5尺，則冬至日影的長(zhǎng)(單位：尺)為()A．11.5 B．12.5C．13.5 D．14.5解析：選C由題意設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為a1，所求等差數(shù)列的公差為d，則a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5，兩式相減得－6d＝6，解得d＝－1，所以a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故選C.2．甲蟲(chóng)是行動(dòng)較快的昆蟲(chóng)之一，下表記錄了某種類(lèi)型的甲蟲(chóng)的爬行速度：時(shí)間t/s123…？…60距離s/cm9.819.629.4…49…？(1)你能建立一個(gè)