山東省德州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共60分）一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（）A. B. C. D.2.若向量，，且的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（）.A.0 B. C.0或 D.0或3.已知直線：過(guò)定點(diǎn)，直線：過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（）A.10 B.12 C.13 D.204.直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)5.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若記，，，則（）A. B.C. D.6.如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點(diǎn)A，B，，，若，則AB的長(zhǎng)度（）A.22 B.40 C. D.7.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）．A. B. C. D.8.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若M為直線AB上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓的圓心為 B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.圓的半徑為5 D.點(diǎn)在圓內(nèi)10.已知橢圓焦距是，則m的值可能是（）A. B.13 C. D.1911.已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線恒過(guò)點(diǎn)B.C.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D.當(dāng)時(shí)，圓上存無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A.平面B.到平面的距離為C.過(guò)點(diǎn)，，作正方體的截面，所得截面的面積是D.平面與平面夾角余弦值為第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是____.14.已知，，，若，，，四點(diǎn)共面，則______．15.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)且，則___________.16.若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17已知.（1）求；（2）求與夾角的余弦值；（3）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.18.已知直線和直線的交點(diǎn)為.（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程.19.已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓的圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.20.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．21.如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點(diǎn)，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．22.如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為.（1）求橢圓方程；（2）若橢圓的弦所在直線交軸于點(diǎn)，且.求證：直線的斜率為定值.

20232024學(xué)年上學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共60分）一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線中a，b，c的關(guān)系先求出b，進(jìn)而可求焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題意，，又，解得.所以雙曲線的一條漸近線方程為，即.故選：B.2.若向量，，且的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（）.A.0 B. C.0或 D.0或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及夾角公式，代入坐標(biāo)計(jì)算即可．【詳解】由題意得，解得或，故選:C．3.已知直線：過(guò)定點(diǎn)，直線：過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（）A.10 B.12 C.13 D.20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線過(guò)定點(diǎn)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合，得到，利用勾股定理，即可求解.【詳解】由直線過(guò)定點(diǎn)，直線可化為，令，解得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，又由直線和，滿足，所以，所以，所以.故選：C.4.直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)【答案】D【解析】【分析】求直線過(guò)的定點(diǎn)，再判斷直線與圓位置關(guān)系，【詳解】為，故過(guò)定點(diǎn)，在圓上，故直線與圓相切或相交，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)或2個(gè)，故選：D5.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若記，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【詳解】由在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖所示，連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，可得：.故選：A.6.如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點(diǎn)A，B，，，若，則AB的長(zhǎng)度（）A22 B.40 C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)作且，連接，易得，通過(guò)線面垂直的判定定理可得平面，繼而得到，由勾股定理即可求出答案.【詳解】解：過(guò)作且，連接，則四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋云叫兴倪呅问蔷匦?，因?yàn)椋?，而，則是二面角的平面角，即，因?yàn)椋礊檎切?，所以，因?yàn)?，即，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以在中，，所以，故選：C7.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的找到最短距離，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得.【詳解】由已知得關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，且直線斜率為所以解得，即圓心，可知，則最短總路程為故選：B8.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若M為直線AB上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由題意可求得橢圓方程為，由，得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，然后利用點(diǎn)差法可求出直線的方程，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，則，，所以橢圓方程為，因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋渣c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，所以，所以，所以，即，所以，所以直線為，即，因?yàn)镸為直線上任意一點(diǎn)，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故選：B二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓的圓心為 B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.圓的半徑為5 D.點(diǎn)在圓內(nèi)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定圓的方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】圓的圓心為，半徑為5，AC正確；由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，B正確；由，得點(diǎn)在圓外，D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知橢圓的焦距是，則m的值可能是（）A. B.13 C. D.19【答案】BD【解析】【分析】利用橢圓焦距的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】由題知，或，解得或.故選：BD11.已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線恒過(guò)點(diǎn)B.C.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D.當(dāng)時(shí)，圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【解析】【分析】求解直線系結(jié)果的定點(diǎn)判斷A；圓的圓心求解、判斷B；求解直線被圓截的弦長(zhǎng)判斷C，利用圓的圓心到直線的距離判斷D．【詳解】直線，恒過(guò)點(diǎn)，所以A正確；圓的圓心坐標(biāo)為，，，所以B正確；圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．直線，恒過(guò)點(diǎn)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；

當(dāng)時(shí)，直線方程為：，經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以D正確．故選：ABD．12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）A.平面B.到平面的距離為C.過(guò)點(diǎn)，，作正方體的截面，所得截面的面積是D.平面與平面夾角余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，用空間向量計(jì)算證明垂直即可判斷；對(duì)于B，用空間向量求平面的法向量，再在法向量上的投影即可判斷；對(duì)于C，補(bǔ)全完整截面為正六邊形，直接計(jì)算面積即可判斷；對(duì)于D，用空間向量求平面的法向量再計(jì)算二面角的余弦值即可判斷.【詳解】以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，則，，，，，則平面，故A正確；向量為平面的法向量，且，，所以到平面的距離為，故B正確；作中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，則正六邊形為對(duì)應(yīng)截面面積，正六邊形邊長(zhǎng)為，則截面面積為：，故C錯(cuò)誤；平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)兩個(gè)平面夾角為，，故D正確．故選：ABD．第II卷（非選擇題共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.過(guò)直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是____.【答案】【解析】【分析】通過(guò)解方程組，利用互相垂直直線的方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】?jī)芍本€方程聯(lián)立，得，所以交點(diǎn)設(shè)與直線垂直的直線方程為，把代入中，得，故答案為：14.已知，，，若，，，四點(diǎn)共面，則______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)，，，四點(diǎn)共面，由求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，，且，，，四點(diǎn)共面，所以，則，解得，故答案為：515.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上一點(diǎn)且，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義以及焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：橢圓得，，，設(shè)，，則，，，，，，即.故答案為：16.若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)已知求出圓心，半徑，再把分式轉(zhuǎn)化為斜率，最后化簡(jiǎn)為直線結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用點(diǎn)到直線距離求解即可.【詳解】曲線方程化為，是以為圓心，3為半徑的圓，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，不妨設(shè)即直線：，又在圓上運(yùn)動(dòng)，故直線與圓有公共點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得解得，故的最大值為.故答案為:.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知.（1）求；（2）求與夾角的余弦值；（3）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）10（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算律,即可求解.（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.（3）由,轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，得，，或.18.已知直線和直線的交點(diǎn)為.（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程求得交點(diǎn)，根據(jù)直線平行及點(diǎn)在直線上求平行直線方程；（2）設(shè)垂直直線為，由已知及點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)，即可得直線方程.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立，解得，交點(diǎn)，設(shè)與直線平行的直線方程為把代入可得，可得，∴所求的直線方程為：.【小問(wèn)2詳解】設(shè)與直線垂直的直線方程為，∵到的距離為，解得或，∴直線的方程為：或19.已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓的圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）求出的中垂線方程聯(lián)立，即可求得圓心坐標(biāo)，繼而求得半徑，可求得圓的方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和圓的方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的中垂線方程為，即，故圓的圓心在直線上.聯(lián)立方程組，解得，故圓圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，，則，.故.20.設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求出p值作答.（2）求出直線的方程，與的方程聯(lián)立，再求出三角形面積作答.【小問(wèn)1詳解】拋物線：的準(zhǔn)線方程為，依題意，，解得，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則直線的方程為，由消去y得：，解得，，所以的面積.21.如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點(diǎn)，且平面平面．（1）證明：平面；（2）若，求