電磁波第一章加答案

第一章矢量分析本章重點(diǎn)介紹與場分析有關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容。1.1場的概念1.2標(biāo)量場1.3矢量場的通量和散度1.4矢量場的環(huán)量和旋度1.5幾個(gè)重要的公式1.6亥姆霍茲定理1.7三種常用坐標(biāo)系本章內(nèi)容

矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示矢量的幾何表示矢量可表示為：其中為模值，表征矢量的大?。粸閱挝皇噶?，表征矢量的方向；1.1場的概念1.1.1場量：標(biāo)量和矢量標(biāo)量與矢量標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強(qiáng)度）矢量的代數(shù)表示矢量用直角坐標(biāo)分量表示zxy1.1.2矢量的運(yùn)算矢量的加法和減法說明：1、矢量的加法符合交換律和結(jié)合律：

2、矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解：矢量的乘法矢量與標(biāo)量相乘標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）說明：1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律：

2、兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量矢量的矢積（叉積）說明：1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分配律：

2、兩個(gè)矢量的叉積為矢量3、矢量運(yùn)算恒等式qsinABq如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。

例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。

例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：1.1.3場的相關(guān)概念1.2.1標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場空間中，由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為，則等值面方程為：1.2.2方向?qū)?shù)等值面沿某一給定方向的變化率，稱為標(biāo)量場自該點(diǎn)沿該方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)定義：方向?qū)?shù)與選取的考察方向有關(guān)。1.2標(biāo)量場例:溫度場甲:每米的溫度變化乙:每米的溫度變化丙:每米的溫度變化同一溫度場中，等溫面沿不同方向的變化率不同：L1的方向性導(dǎo)數(shù)為：L2的方向性導(dǎo)數(shù)為：L3的方向性導(dǎo)數(shù)為：函數(shù)

在點(diǎn)

沿

方向的方向?qū)?shù)函數(shù)

在點(diǎn)

沿

方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)物理意義：，標(biāo)量場

在

處沿方向增加率；，標(biāo)量場

在

處沿方向減小率；，標(biāo)量場

在

處沿方向?yàn)榈戎得娣较颍o改變）方向?qū)?shù)的計(jì)算——的方向余弦。

式中：

分別為與x,y,z坐標(biāo)軸的夾角。

梯度的定義式中：為場量最大變化率的方向上的單位矢量。

梯度的性質(zhì)

標(biāo)量場的梯度為矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)

標(biāo)量場梯度的大小表示過該點(diǎn)的最大方向性導(dǎo)數(shù)標(biāo)量場梯度的方向垂直于等值面，沿等值面增加的法線方向。標(biāo)量場在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向投影1.2.3標(biāo)量場的梯度

梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系N

梯度的運(yùn)算直角坐標(biāo)系：哈密頓算符例1：求標(biāo)量場在M(2,-1,

1)處的梯度及沿矢量方向的方向?qū)?shù)。

梯度運(yùn)算相關(guān)公式式中：

為常數(shù)；為坐標(biāo)變量函數(shù)；1.3矢量場的通量與散度1.3.1矢量線（力線）矢量線的疏密表征矢量場的大小矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場的方向1.3.2矢量場的通量矢量線OM

1)面元矢量定義：面積很小的有向曲面。：面元面積，為微分量，無限?。好嬖ň€方向，垂直于面元平面。

面元法向的確定方法：對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋法則確定；對(duì)閉合曲面：閉合面外法線方向

若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數(shù)和。

矢量場的通量

2)若矢量場分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量沿有向曲面S的通量。問題：如何定量描述矢量場的大??？

引入通量的概念。

若，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的正源；

若，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)源；

若，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)無源，或正源負(fù)源代數(shù)和為0。

通過閉合面S的通量的物理意義：1.3.3、矢量場的散度

散度的定義在場空間中任意點(diǎn)M處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為，則定義場矢量在M點(diǎn)處的散度為：即流出單位體積元封閉面的通量。

散度的物理意義矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性(體密度)；矢量場的散度是標(biāo)量；矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場的散度值表征空間中某點(diǎn)處通量源的密度。(正源)

負(fù)源)(無源）

若處處成立，則該矢量場稱為無散場

若，則該矢量場稱為有散場，為源密度討論：在矢量場中，1.3.4散度定理（矢量場的高斯定理）該公式表明了矢量場的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場穿過包圍該體積的邊界面S的通量。

在直角坐標(biāo)系下：1.3.5散度的計(jì)算例2：已知點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度求其在任何一點(diǎn)處的散度1.4矢量場的環(huán)流旋度磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁場的環(huán)流：1.4.1矢量的環(huán)流在場矢量空間中，取一有向閉合路徑

，則稱沿

積分的結(jié)果稱為矢量沿

的環(huán)流。即：

線元矢量：長度趨近于0，方向沿路徑切線方向。

環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。反映矢量場漩渦源分布情況討論：環(huán)量的定義1.4矢量場的環(huán)流旋度1.4.2矢量的旋度

環(huán)流面密度稱為矢量場在M點(diǎn)處沿方向的漩渦源密度。定義：空間某點(diǎn)M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：1)環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向有關(guān)。2)任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關(guān)系：

矢量場的旋度矢量場在M點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處環(huán)流面密度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的矢量，模值等于M點(diǎn)處最大環(huán)流面密度，方向?yàn)榄h(huán)流密度最大的方向，表示為，即：式中：

表示矢量場旋度的方向；

旋度的物理意義

矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)

矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的漩渦源密度

旋度的計(jì)算

直角坐標(biāo)系：例3：求矢量場在點(diǎn)M(1,2,1)處的旋度與在該點(diǎn)沿矢徑方向的環(huán)流密度。矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零

旋度計(jì)算相關(guān)公式：證明證明討論：散度和旋度比較

1.4.3斯托克斯定理由旋度的定義

對(duì)于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有斯托克斯定理的證明：＝得證！意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消1.5幾個(gè)重要公式1.5.1兩個(gè)恒等式結(jié)論：任何標(biāo)量場的梯度的旋度恒等于零。推導(dǎo)：如果一個(gè)矢量場的旋度恒等于零。則該矢量場可由一個(gè)標(biāo)量的梯度來表示。結(jié)論：任何標(biāo)量場的梯度的旋度恒等于零。推導(dǎo)：如果一個(gè)矢量場的旋度恒等于零。則該矢量場可由一個(gè)標(biāo)量的梯度來表示。1.5.2拉普拉斯運(yùn)算1標(biāo)量場的拉氏運(yùn)算對(duì)標(biāo)量場的梯度求散度的運(yùn)算稱為拉普拉斯運(yùn)算。記作：式中：稱為拉普拉斯算符。在直角坐標(biāo)系中：矢量場的拉氏運(yùn)算在直角坐標(biāo)系中：1.6亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定，且任意矢量場可表示為：說明：

矢量場可分解一個(gè)有源無旋場和無源有旋場之和，即：已知矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電、磁場散度電、磁場旋度場域邊界條件亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線。

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：和則由其在邊界面上的場分布確定。注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交線的交點(diǎn)來確定。在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交坐標(biāo)系；三條正交線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。1.7三種常用的正交坐標(biāo)系1.7.1直角坐標(biāo)系位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元

odzdydx1.7.2圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系說明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：加減：標(biāo)積：矢積：1.7.3球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量說明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算：

加減：標(biāo)積：矢積：1.7.4坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系