第03講 解題技巧專題：平行線中有關(guān)拐點(diǎn)問題(4類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第03講解題技巧專題：平行線中有關(guān)拐點(diǎn)問題(4類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】 1【考點(diǎn)二平行線中兩個(gè)拐點(diǎn)問題】 8【考點(diǎn)三平行線中多個(gè)拐點(diǎn)問題】 12【考點(diǎn)四平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】 18【考點(diǎn)一平行線中一個(gè)拐點(diǎn)問題】例題：如圖，，若，，則∠E=______．【答案】##66度【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作，則，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等分別求出，則．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線求出是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可直接得到答案．【詳解】如下圖所示，過點(diǎn)C作，∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵，，∴，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴，∴，∴在原圖中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．如圖，ABCD，為平行線間一點(diǎn)，若，，則______度．【答案】100【分析】過點(diǎn)作的平行線，由平行線的判定與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，則，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)準(zhǔn)確作出的平行線．3．如圖，若ABCD，則，，則______．【答案】##20度【分析】過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，再結(jié)合可得，進(jìn)而可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，則，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，構(gòu)造合適的輔助線是解題關(guān)鍵．4．已知直線，和，分別交于，點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且不和點(diǎn)，重合．(1)如圖，有一動點(diǎn)在線段之間運(yùn)動時(shí)，求證：；(2)如圖，當(dāng)動點(diǎn)在點(diǎn)之上運(yùn)動時(shí)，猜想、、有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)，理由見解析．【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)可知，故可得出，再由即可得出結(jié)論；過作，依據(jù)，可得，進(jìn)而得到，，再根據(jù)，即可得出．（1）證明：如圖，過點(diǎn)作，，，，．又，；（2）解：．理由如下：如圖，過作，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．5．已知：ABEF，在平面內(nèi)任意選取一點(diǎn)C．利用平行線的性質(zhì)，探究∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系．圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（5）圖（6）(1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表：(2)請選擇其中一個(gè)圖形進(jìn)行說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)即可求解．（2）過點(diǎn)C作CGAB，利用平行線的判定和性質(zhì)即可求解．（1）解：∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系如下表：圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系圖（1）∠B+∠F=∠C圖（2）∠F-∠B=∠C圖（3）∠B-∠F=∠C圖（4）∠B+∠F+∠C=360°圖（5）∠B-∠F=∠C圖（6）∠F-∠B=∠C（2）解：圖（1）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F=∠C．理由：過點(diǎn)C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；圖（2）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C．理由：過點(diǎn)C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；圖（3）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C．理由：過點(diǎn)C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；圖（4）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：過點(diǎn)C作CGAB，∴∠BCG+∠B=180°，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；圖（5）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C．理由：過點(diǎn)C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；圖（6）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C．理由：過點(diǎn)C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．【考點(diǎn)二平行線中兩個(gè)拐點(diǎn)問題】例題：如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案為：540°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式訓(xùn)練】1．如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．【答案】30°##30度【分析】過A點(diǎn)作AB直線l1，過C點(diǎn)作CD直線l2，由平行線的性質(zhì)可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，結(jié)合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，進(jìn)而可求解．【詳解】解：過A點(diǎn)作AB直線l1，過C點(diǎn)作CD直線l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直線l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角的計(jì)算，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．如圖，，則∠1、∠2、∠3的關(guān)系為______________．【答案】【分析】根據(jù)可得，，又因?yàn)?，所以可得．【詳解】解：∵，∴，，又∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，正確判斷角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．3．①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【答案】②③④【分析】①過點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)點(diǎn)E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長AB到G，由平行線的性質(zhì)可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④過點(diǎn)P作PFAB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯(cuò)誤；②如圖2，過點(diǎn)E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過點(diǎn)C作CDAB，延長AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的結(jié)論可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正確；④如圖4，過點(diǎn)P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三平行線中多個(gè)拐點(diǎn)問題】例題：如圖，直線，則的度數(shù)為___________°．【答案】360【分析】過E作EF∥CD，過G作GH∥CD，過M作MN∥CD，根據(jù)平行線的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】過E作EF∥CD，過G作GH∥CD，過M作MN∥CD，如圖所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案為：360．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．探究：(1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關(guān)系？(2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關(guān)系？(3)如圖③，已知ABCD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關(guān)系；【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【分析】（1）過點(diǎn)E作EMAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（2）過點(diǎn)F作NFAB，結(jié)合（1）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（3）過點(diǎn)G作GMAB，結(jié)合（2）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．（1）解：如圖①，過點(diǎn)E作EMAB，∵ABCD，∴ABCDEM，∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，即∠1＋∠3＝∠2；（2）如圖②，過點(diǎn)F作NFAB，∵ABCD，∴ABCDFN，∴∠4＝∠NFH，由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；（3）如圖③，過點(diǎn)G作GMAB，∵ABCD，∴ABCDGM，∴∠5＝∠MGN，由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．如圖：(1)如圖1，，若，計(jì)算并直接寫出的大?。?2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將直線變成折線，證明：(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將且線變成折現(xiàn)．請你寫出一條關(guān)于、的數(shù)量關(guān)系（無需證明直接寫出）【答案】(1)65°(2)見解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l）過P作PE∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)P、Q分別作l1和l2的平行線分別記為l3和l4，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換即可得到結(jié)論；（3）分別過P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差即可得到結(jié)論．（1）解：過P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）證明：過點(diǎn)P、Q分別作l1和l2的平行線分別記為l3和l4∵l1∥l2∴l(xiāng)1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如圖，分別過P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵，∴∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．猜想說理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個(gè)圖形說明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．【答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)；（3）過點(diǎn)E作AB的平行線，過點(diǎn)F作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出度數(shù)；通過前面的計(jì)算，找出規(guī)律．利用規(guī)律得到有n個(gè)折點(diǎn)的結(jié)論；【詳解】解：（1）如圖1：，如圖2：，如圖3：，如圖1說明理由如下：∵，∴，∴，即；（2）如下圖：過F作，∴，又∵，∴，∴，∴，即；故答案為：；（3）如下圖：，過E作，過F作，∵，∴，∴，，，∴，即；綜上所述：由當(dāng)平行線AB與CD間沒有點(diǎn)的時(shí)候，，當(dāng)A、C之間加一個(gè)折點(diǎn)F時(shí)，；當(dāng)A、C之間加二個(gè)折點(diǎn)E、F時(shí)，則；以此類推，如圖5，，當(dāng)、之間加三個(gè)折點(diǎn)時(shí)，則；…當(dāng)、之間加n個(gè)折點(diǎn)時(shí)，則，即的度數(shù)是．【點(diǎn)睛】本題是探索型試題，主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)等知識求解是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四平行線中在生活上的拐點(diǎn)問題】例題：某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到．【詳解】解：如圖，延長交于，∵，，，又，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．【變式訓(xùn)練】1．如圖，某縣積極推進(jìn)“鄉(xiāng)村振興計(jì)劃”，要對一段水渠進(jìn)行擴(kuò)建．如圖，已知現(xiàn)有水渠從A地沿北偏東50°的方向到B地，又從B地沿北偏西20°的方向到C地．現(xiàn)要從C地出發(fā)修建一段新渠CD，使，則∠BCD的度數(shù)為_____度．【答案】110【分析】根據(jù)方向角和平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等即可求出．【詳解】解：B點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東50°，C點(diǎn)在B點(diǎn)北偏西20°，∴，∵∴，故答案為：110．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，利用方位角進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】如圖所示，過點(diǎn)O作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作，∵光線，都是水平線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．3．幸福鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東60°的方向到B村，從B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠從C村沿CD方向修建可以保持與AB的方向