實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)第三版答案

泛函分析

習題解答

1、設(shè)(X,d)為一度量空間，令U(x?,ε)={x|x∈X,d(x,x?)<ε}S(x?,s)={x|x∈X,d(x,x?)≤s},

問U(x?,ε)的閉包是否等于S(x?,ε)。

解答：在一般度量空間中不成立U(x?,E)=S(x,ε),例如：取R'的度量子空間X=[0,1]U[2,3],則X中

的開球U(1,1)={x∈X;d(1,x)<1}的的閉包是[0,1],而S(1,1)={x∈X;d(1,x)≤1}=[0,1]U{2}

2、設(shè)C*[a,b]是區(qū)間[a,b]上無限次可微函數(shù)全體，定義,證

明：C*[a,b]按d(f,g)構(gòu)成度量空間。

|f?(t)-g?(t)=0,特別當r=0,Vt∈[a,b]時有|f(t)-g(t)|=0→Vt∈[a,b]有f(t)=g(t)。

(2)由函數(shù)在(0,+x)上單調(diào)增加，從而對Vf,g,h∈C*[a,b]有

=d(f,h)+d(h,g)

即三角不等式成立d(f,g)≤d(f,h)+d(h,g)。

3、設(shè)B是度量空間X中的閉集，證明必有一列開集O,O?,LO,L包含B,而

證明：設(shè)B為度量空間X中的閉集，作集：,(n=1,2……),O,為開集，從而只要

故：

,(n=1,2……)

可實上，由于任意正整數(shù)n,有BCO。,

另一方面，對任意的:

令n→≈有d(x?,B)=0。所以x?∈B(因B為閉集)。這就是說，

綜上所證有：

4、設(shè)d(x,y)為度量空間(X,d)上的距離，證明也是X上的距離。

證明：首先由d(x,y)為度量空間(X,d)上的距離,因此顯然有d(x,y)且

a(x,y)=0的充要條件是d(x,y)=0,而d(x,y)=0的充要條件是x=y,因此a(x,y)=0的充要條件是x=y。

其次由函數(shù)在(0,+o)上單調(diào)增加有

即三角不等式成立。所以d(x,y)也是X上的距離。

5、證明點列{f,}按題2中距離收斂于f∈C*[a,b]的充要條件為f,的各階導數(shù)在[a,b]上一致收斂于f的

各階導數(shù)。

有：

證明：由題2距離的定義：

所以對任何非負

若{f,}上述距離收斂于f,則

整數(shù)r有：

由此對任何非負實數(shù)r有

從而對任何非負整數(shù)r,f。的各階導數(shù)f在[a,b]上一致收斂于f的各階導數(shù)f。

反之：若對每個r,f,的各階導數(shù)f“`在[a,b]上一致收斂于f的各階導數(shù)f,則對每個r=0,1,2,L有

,

則VE>0,3N,,Vn>N,有：

,

從而對任意的非負實數(shù)r有：又由于

從而；,于是Vε>0,3R有：

從而取N=max(N?,N,LNg),n>N時

于是Vε>0,3N,Vn>N有d(f?,f)<ε。從而點列{f?}按題2中距離收斂于f∈C*[a,b]。

7、設(shè)E及F是度量空間中兩個集，如果d(E,F)>0,證明必有不相交開集O及G分別包含E及F。

證明：i.VxeE,I)為半徑作點x的鄰域

U(a,ǒ,),),則O是開集且EC?。同理可作開集G,使得

余證OIG=φ,如若不然即OIG≠φ,則存在P∈OIG,由O及G的作法可知，必有x∈E,y∈F,使得

。從而有

P∈U(x,δ),PeU(y,δ,),即

另一方面d(x,F)≤d(x,y),d(y,E)≤d(x,y),從而有

由,故得矛盾。因此OlG=φ

9、設(shè)X是可分距離空間，F(xiàn)為X的一個開覆蓋，即F是一族開集，使得對每個x∈X,有F中的開集O

使x∈O,證明必可從F中選出可數(shù)個集組成X的一個開覆蓋。

證明：因X是可分距離空間，所以在X中存在可數(shù)稠密子集B={xj,x?,Lx,L}。因F是X的一個開覆

蓋。因此Vx∈X,存在F中的開集O,使得x∈O且x是O的內(nèi)點。存在r>0,使

x∈U(x,r)CO,因B在X中稠密，從而可在上取出B中的點x,再取有理數(shù)廣，使得

(此處的有理數(shù)r′與x,x均有關(guān)系)于是x∈U(x,r)cU(x,r)-O,由x∈X的任意性從而滿足

該條件的開集O的全體覆蓋X。又由于U(x,r)的x,和r'均為可數(shù)故這種開集O的全體至多可數(shù)。

10、設(shè)X是距離空間，A為X中的子集，令X,證明f(x)是X上的連續(xù)函數(shù)。

證明：x,x?∈X,則由d(x,y)≤d(x,x?)+d(x?,y)可得

→f(x)-f(x?)≤d(x,x?)

同理可得：f(x?)-f(x)≤d(x,x?)>|f(x)-f(x?)|≤d(x,x?)。因此當x→x?即d(x,x?)→0時有

|f(x)-f(x?)→0。所以,x∈X在x?處連續(xù)，由x?在X上的任意性得

在X上連續(xù)。

14、Cauahy點列是有界點列。

證明：設(shè))是度量空間中的(X,d)中的Cauahy點列，則Vε>0,3N,Vn,m>N有d(x。,×m)<E。特別取ε=1,3N則對任意的n,m>N有d(x,x)<1,則,即點列{x,,n≥N+1}的直徑

δ({x,n≥N+1})<1,從而點列{x,n≥N+1}是(X,d)有界集。其次對于{x,I≤n≤N+1},取

M=max{d(x,x;},I≤i,j≤N+1},則δ({x,,I≤n≤N+1})≤M即{x,l≤n≤N+1}是(X,d)中的有界集。

又集{x,}={x,,l≤n≤N+1}U{x,n≥N+l},所以{x,}有界。

設(shè)(X,|gi)是賦范空間，{x,}是(X,|lgl)中的Cauahy點列點列，則Ve>0,3N,Vn,m>N時有

||x-x|<E,今取E=1,則3N,使得||x-xxl<1?！鶹n>N,|x,|xy?|l+1,取

M={||x?ll,||x?|l,L||xxll,||xx≠i|l+1},則Vn,有|x,|l≤M。所以點列{x,}有界。

18、設(shè)X為完備度量空間，A是X到X中的映