解答題題型突破三數(shù)列

解答題題型突破三數(shù)列對應(yīng)學(xué)生用書第116頁與數(shù)列有關(guān)的比較大小問題(1)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n2-5n+4,①數(shù)列中有多少項是負數(shù)?②當(dāng)n為何值時,an有最小值?并求出最小值.(2)已知數(shù)列{an},若an=n2+kn+4,且對于n∈N*,都有an+1>an成立,求實數(shù)k的取值范圍.解析(1)①由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因為n∈N*,所以n=2,3,所以數(shù)列中有兩項是負數(shù),即為a2,a3.②因為an=n2-5n+4=n-522-94又n∈N*,所以當(dāng)n=2或n=3時,an取得最小值,最小值為a2=a3=-2.(2)由an+1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列,又因為通項公式an=n2+kn+4,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,解得k>-1-2n.又n∈N*,所以k>-3.故實數(shù)k的取值范圍是(-3,+∞).點撥求解數(shù)列中的一些不等關(guān)系問題,利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小,或者借助數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【突破訓(xùn)練1】已知數(shù)列{an}的通項公式是an=(n+1)·1011n,解析因為an+1-an=(n+2)·1011n+1-(n+1)·1011n=1011n×9-n11,當(dāng)n<9時,an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時,an+1-an<0,即an+1<a與數(shù)列有關(guān)的恒成立問題已知等差數(shù)列{an}滿足a6=6+a3,且a3-1是a2-1,a4的等比中項.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=1anan+1(n∈N*),數(shù)列bn的前n項和為Tn,求使Tn解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因為a6-a3=3d=6,所以d=2,所以a3-1=a1+3,a2-1=a1+1,a4=a1+6,因為a3-1是a2-1,a4的等比中項,所以(a3-1)2=(a2-1)·a4,即(a1+3)2=(a1+1)(a1+6),解得a1=3.所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1.(2)由(1)得bn=1anan+1所以Tn=b1+b2+…+bn=1=1213由n3(2n+3)<所以使得Tn<17成立的最大正整數(shù)n的值為8點撥以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題,轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題求解.【突破訓(xùn)練2】設(shè)Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和,且滿足an2+2an=4Sn+(1)求{an}的通項公式;(2)令bn=1anan+1,Tn=b1+b2+…+bn,若Tn<m恒成立解析(1)由題意知an>0,an2+2an=4Sn+3,令n=1,得a12+2a1=4S1+3,解得a1=當(dāng)n≥2時,an-12+2an-1=4Sn-1+①-②得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因為an+an-1>0,所以an-an-1-2=0,即an-an-1=2,所以{an}是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.(2)由(1)知bn=1(2n所以Tn=12×13-15+15-17+…+12n+1-12n+3=12×13因為14n+6>0,所以Tn<16,所以m≥16,與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明an+12是等比數(shù)列,并求{a(2)證明1a1+1a2+…+解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=32,所以an+12是首項為32,公比為3的等比數(shù)列,所以因此{an}的通項公式為an=3n(2)由(1)知1an=因為當(dāng)n≥1時,3n-1≥2·3n-1,所以13n-于是1a1+1a2+…+1an≤1=321-所以1a1+1a2+…+點撥與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題常常通過構(gòu)造函數(shù)或利用放縮法證明.【突破訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=ax的圖象過點1,12,且點n-1,ann2(n∈N*(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令bn=an+1-12an,若數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:Sn<5解析(1)由題意知a=12,所以f(x)=1因為f(x)的圖象過點n-所以ann2=12n-1(2)由(1)得bn=(n+1)22所以Sn=3×12+5×122+7×123+…+(2n-1)12n-1