高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破-難點(diǎn)08-奇偶性與單調(diào)性

難點(diǎn)8關(guān)于奇偶性與單調(diào)性(二)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識.●難點(diǎn)磁場(★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.錯(cuò)解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2<x<,即A={x|2<x<},∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上為減函數(shù)，∴g(x)max=g(1)=－4.［例2］已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★★題目.知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.設(shè)t=cosθ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正.∴當(dāng)<0,即m<0時(shí)，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符；當(dāng)0≤≤1時(shí)，即0≤m≤2時(shí)，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,∴4－2<m≤2.當(dāng)>1,即m>2時(shí)，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2.●錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.(2)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.(★★★★)設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)等于()A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.52.(★★★★)已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是()A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3)二、填空題3.(★★★★)若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________.4.(★★★★)如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________.三、解答題5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是