專題22 易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：一次函數(shù)三大易錯(cuò)模型全攻略（解析版）

專題22易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：一次函數(shù)三大易錯(cuò)模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)一忽略一次函數(shù)中“k≠0”或正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)致錯(cuò)】 1【易錯(cuò)二忽略自變量的取值范圍致錯(cuò)】 4【易錯(cuò)三一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置不明確時(shí)忘記分類討論】 11【典型例題】【易錯(cuò)一忽略一次函數(shù)中“k≠0”或正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)致錯(cuò)】例題：（2023秋·安徽淮北·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若是關(guān)于x的一次函數(shù)，則m的值為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義得到且，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：且，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義進(jìn)行解答．【詳解】解：由題意得：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的定義．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）已知函數(shù)，是的一次函數(shù)，則的值是（

）A．1 B． C．1或 D．任意實(shí)數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義：形如，為常數(shù)且，可得且，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：且，即且，則，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值和一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值和一次函數(shù)的定義．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）函數(shù)是一次函數(shù)，則常數(shù)k的值為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義，形如的函數(shù)為一次函數(shù)，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，解得故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義．4．（2023秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是一次函數(shù)，則．【答案】【分析】由函數(shù)是一次函數(shù)，可得且，從而可得答案．【詳解】解：∵函數(shù)是一次函數(shù)，∴且，解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的定義，熟記一次函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義，得到，，即可得到答案．【詳解】解：是一次函數(shù)，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義條件：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，是的一次函數(shù)，則的值是．【答案】1【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義知自變量的次數(shù)為1且其系數(shù)不為0，據(jù)此求解可得．【詳解】解：是關(guān)于x的一次函數(shù)，∴，解得：，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如（k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．7．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知函數(shù)y＝（m﹣1）x＋1﹣(1)當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的正比例函數(shù)？【答案】(1)m≠1(2)m＝﹣1【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的形式，y=kx+b（k≠0），即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的形式，y=kx（k≠0），即可進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：∵函數(shù)y＝（m﹣1）x+1﹣是關(guān)于x的一次函數(shù)，∴m﹣1≠0，解得m≠1，即當(dāng)m為不等于1的值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)；（2）∵函數(shù)y＝（m﹣1）x+1﹣是關(guān)于x的正比例函數(shù)，∴m﹣1≠0且1﹣＝0，解得m＝﹣1，即當(dāng)m為﹣1時(shí)，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于x的正比例函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)和一次函數(shù)的一般形式，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．（1）當(dāng)為何值時(shí)，是的一次函數(shù)，并寫出關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，是的正比例函數(shù)，并寫出關(guān)系式．【答案】（1）當(dāng)m=-2，n為任意實(shí)數(shù)時(shí)，是的一次函數(shù)，關(guān)系式為；（2）當(dāng)m=-2，n=-4時(shí)，是的正比例函數(shù)，關(guān)系式為【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意可得，n可以取任意實(shí)數(shù)解得：m=-2∴∴當(dāng)m=-2，n為任意實(shí)數(shù)時(shí)，是的一次函數(shù)，關(guān)系式為；（2）由題意可得，解得：∴∴當(dāng)m=-2，n=-4時(shí)，是的正比例函數(shù)，關(guān)系式為．【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，求參數(shù)問(wèn)題，掌握一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【易錯(cuò)二忽略自變量的取值范圍致錯(cuò)】例題：（2022·北京·前門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知蠟燭被燃燒的長(zhǎng)度與燃燒時(shí)間成正比例，長(zhǎng)為的蠟燭，點(diǎn)燃6分鐘后，蠟燭變短了，設(shè)蠟燭點(diǎn)燃x分鐘后的長(zhǎng)度為，(1)請(qǐng)列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量取值范圍；(2)利用描點(diǎn)法畫出此函數(shù)的圖象；(3)由圖象指出此蠟燭幾分鐘燃燒完畢．【答案】(1)y與x之間的關(guān)系式是y=24-0.6x，0≤x≤40；(2)見(jiàn)解析；(3)此蠟燭40分鐘燃燒完畢．【分析】（1）根據(jù)蠟燭點(diǎn)燃后的長(zhǎng)度=原長(zhǎng)度-每分鐘燃燒的長(zhǎng)度×?xí)r間，建立函數(shù)關(guān)系式用待定系數(shù)法求解，并求出自變量的取值范圍；（2）用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像；（3）從圖像直接可以得出結(jié)論．（1）由題意可得，y=24-x=24-0.6x,∴y與x之間的關(guān)系式是y=24-0.6x，令y=0，則24-0.6x=0，解得：x=40，∴自變量x的取值范圍是：0≤x≤40；（2）列表為：x040y=24-0.6x240圖象是一條線段．描點(diǎn)并連線為：（3）由圖像可以看出：此蠟燭40分鐘燃燒完畢．【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)題意中的等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；能夠根據(jù)函數(shù)解析式求得對(duì)應(yīng)的x的值，特別注意自變量的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅張掖·七年級(jí)?？计谥校┢囬_始行駛時(shí)，油箱內(nèi)有油40升，如果每小時(shí)耗油5升，則油箱內(nèi)余油量Q（升）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系用圖象表示應(yīng)為圖中的（

）A．

B．C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)最初剩余油量為40，剩余油量只會(huì)減少的特點(diǎn)，逐一判斷．【詳解】解：油箱內(nèi)有油40升，那么余油量最初應(yīng)是40，排除A、B；隨著時(shí)間的增多，余油量就隨之減少，排除C．正確的為D．故選：D．【點(diǎn)睛】本題應(yīng)首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據(jù)實(shí)際情況采用排除法求解．2．（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)疫情防控形勢(shì)要求，某市連續(xù)一段時(shí)間在全市范圍開展全員核酸檢測(cè)，某核酸檢測(cè)點(diǎn)開始檢測(cè)時(shí)，已有100名居民在等候檢測(cè)，檢測(cè)開始后，仍有民繼續(xù)前來(lái)排隊(duì)檢測(cè)設(shè)居民按2人/分鐘速度增加，每個(gè)窗口檢測(cè)速度為6人/分鐘，已知檢測(cè)的前5分鐘只開放一個(gè)檢測(cè)窗口，該檢測(cè)點(diǎn)等候核酸檢測(cè)的居民的人數(shù)y(人)與檢測(cè)時(shí)間x(分鐘）的關(guān)系如圖所示．(1)求第5分鐘時(shí)檢測(cè)點(diǎn)等候核酸檢測(cè)的居民人數(shù)a的值；(2)求檢測(cè)到第10分鐘時(shí)，檢測(cè)點(diǎn)等候檢測(cè)的居民人數(shù)；(3)若要在開始檢測(cè)后8分鐘內(nèi)計(jì)所有排隊(duì)的居民都能檢測(cè)完成，以便后來(lái)到的居民隨到隨檢，問(wèn)檢測(cè)一開始至少需要同時(shí)開放幾個(gè)檢測(cè)窗口？【答案】(1)(2)30人(3)即至少需要同時(shí)開放3個(gè)檢測(cè)窗口【分析】（1）根據(jù)題意列出式子求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)題意可得，求解得，將代入解析式得，即檢測(cè)到第10分鐘時(shí)，檢測(cè)點(diǎn)等候檢測(cè)的居民人數(shù)為30人；（3）根據(jù)個(gè)檢測(cè)窗口8分鐘檢測(cè)人數(shù)分鐘排隊(duì)增加人數(shù)，列出不等式，可求解．【詳解】（1）解：由題意可得第5分鐘時(shí)檢測(cè)點(diǎn)等候核酸檢測(cè)的居民人數(shù)為：（2）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)把，代入，得：，解得：

當(dāng)時(shí)，

檢測(cè)到第10分鐘時(shí)，檢測(cè)點(diǎn)等候檢測(cè)的居民人數(shù)為30人（3）解：設(shè)檢測(cè)一開始同時(shí)開放m個(gè)檢測(cè)窗口，由題意得：

為整數(shù)最小值為3，即至少需要同時(shí)開放3個(gè)檢測(cè)窗口．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和一元一次不等式的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是求出一次函數(shù)解析式，建立一元一次不等式．3．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)期中）春節(jié)是中國(guó)民間最隆重盛大的傳統(tǒng)節(jié)日，是集祈福禳災(zāi)，歡慶娛樂(lè)和飲食為一體的民俗大節(jié)．人們?cè)诔c(diǎn)燃紅紅的蠟燭，以表除舊布新．已知一根蠟燭的長(zhǎng)為30cm，點(diǎn)燃后蠟燭每小時(shí)燃燒4cm，設(shè)蠟燭燃燒的時(shí)間為，蠟燭燃燒時(shí)剩下的長(zhǎng)度為．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．(2)求當(dāng)時(shí)，x的值．(3)在平面直角坐標(biāo)系中畫出y與x之間的函數(shù)圖像，從圖像中你還能得到哪些信息？寫出一條即可．【答案】(1)(2)6(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)燃燒速度與總長(zhǎng)度即可直接寫出關(guān)系式，當(dāng)總長(zhǎng)燒完時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間即為時(shí)間上限；（2）將代入求出的解析式即可求解．（3）根據(jù)（1）中求出的解析式，令x=0得出圖像與y軸的交點(diǎn)，令y=0得出圖像與x軸的交點(diǎn)，再連接并延長(zhǎng)即可，再根據(jù)圖像作答即可．（1）由題意得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，∵，∴，∴自變量的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，解得；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，∴畫出的大致函數(shù)圖像如圖所示，由圖像可知，蠟燭7.5小時(shí)就燃燒完．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用、一次函數(shù)圖像的畫法，根據(jù)題意找出函數(shù)關(guān)系式，找到圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是關(guān)鍵．4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，，動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度、4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)從A出發(fā)，點(diǎn)M沿折線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿折線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M達(dá)點(diǎn)B后，點(diǎn)M、點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度均變?yōu)槊棵?個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)M、N的距離為y

(1)請(qǐng)直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出自變量t的取值范圍；(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像；(3)當(dāng)M，N兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)或4【分析】（1）先求解，表示，，再分兩種情況表示即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，再描點(diǎn)畫圖即可；（3）當(dāng)M，N兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，有，則，或，則，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵當(dāng)時(shí)，，，∴，當(dāng)，相遇時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；∴；（2）當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，描點(diǎn)畫圖如下，

（3）當(dāng)M，N兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，當(dāng)，則，當(dāng)，則，∴當(dāng)或時(shí)，M，N兩點(diǎn)相距6個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)態(tài)問(wèn)題的函數(shù)圖象，一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，理解題意，列出正確的函數(shù)表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)三一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置不明確時(shí)忘記分類討論】例題：（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)過(guò)B點(diǎn)作直線BP與x軸交于點(diǎn)P，且使OP＝2OA，求直線BP的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)A(-2,0)，B(0,4)(2)y=x+4或者y=-x+4【分析】（1）分別當(dāng)x=0時(shí)和當(dāng)y=0時(shí)，即可求出B、A的坐標(biāo)；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，即，根據(jù)OP=2OA，可得，即a=±4，分a=4和a=-4兩種情況討論，用待定系數(shù)法求解即可．（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=2x+4=4，即B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，當(dāng)y=0時(shí)，0=2x+4，即x=-2，即A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)，故答案為：B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)；（2）∵P點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，即，∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)，∴OA=2，∵OP=2OA，∴OP=4，∴，即a=±4，當(dāng)a=4時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)BP的函數(shù)關(guān)系式為，∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，∴，解得，即此時(shí)BP的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)a=-4時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0)，同理可求：BP的函數(shù)關(guān)系式為，綜上：BP的函數(shù)關(guān)系式為或者．【點(diǎn)睛】本題考查了求解一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)以及求解一次函數(shù)解析式的知識(shí)，解題時(shí)要注重分類討論的思想，注意不要遺漏．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于5，則的值是．【答案】或【分析】先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式得到，求出k即可．【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴一次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，∵一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于5，∴，解得∴該直線的表達(dá)式為或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，解題關(guān)鍵是求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并注意分類討論．2．（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市第十一中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知直線：與x軸交于點(diǎn)A，直線：分別與交于點(diǎn)G，與x軸交于點(diǎn)B．若，則k的值是．【答案】或9【分析】求出A、B、G的坐標(biāo)，由列出方程即可求解．【詳解】解：對(duì)于直線：與x軸交于點(diǎn)A，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，對(duì)于直線：，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，聯(lián)立方程組，解得，∴，∵，∴，解得或9．故答案為：或9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線相交問(wèn)題，三角形的面積，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)列出k的方程．3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，且，則該直線的解析式為___________．【答案】或【分析】先表示出點(diǎn)坐標(biāo)；再把代入得，則，然后根據(jù)三角形面積公式得到，即，然后解方程即可求得的值，進(jìn)一步求得的值．【詳解】解：把代入得，解得，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，又∵，∴，即：，∴，解得：或，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴該直線的解析式為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)的圖像上的點(diǎn)滿足解析式．4．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸相交于點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)B．(1)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為________，________；(2)點(diǎn)在x軸上，若點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根據(jù)直線，令求出的值，令求出的值，即可得點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）分類討論：點(diǎn)在軸的上方和下方，兩種情況，利用三角形的面積公式和已知條件，列出方程，利用方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，．∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故答案為：，；（2）解：∵，∴，∴．∵，∴；①當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，，∴，∵點(diǎn)P在x軸下方，∴，當(dāng)時(shí)，代入得，，解得．∴；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，，∴，∵點(diǎn)P在x軸上方，∴．當(dāng)時(shí)，代入得，，解得．∴，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積等知識(shí)，題中運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的知識(shí)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，注意