（小白高考）新高考數(shù)學(xué)(零基礎(chǔ))一輪復(fù)習(xí)教案5.1《平面向量的概念及線性運(yùn)算》 (教師版)

頁(yè)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對(duì)向量特性的理解，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合向量的線性運(yùn)算，考查用向量刻畫平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合向量的線性運(yùn)算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量，可在平面內(nèi)自由平移零向量長(zhǎng)度為eq\a\vs4\al(0)的向量記作0，其方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于eq\a\vs4\al(1)個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量﹣b的和的運(yùn)算叫做a與b的差a﹣b＝a＋(﹣b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(向量的有關(guān)概念)下列說(shuō)法正確的是()A．方向相同的向量叫做相等向量B．共線向量是在同一條直線上的向量C．零向量的長(zhǎng)度等于0D．eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線解析：選C長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正確；當(dāng)eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))時(shí)，eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線可能重合，故D不正確．2．(多選·向量線性運(yùn)算)下列各式中結(jié)果為零向量的為()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))C．eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))D．eq\o(AB,\s\up7(→))﹣eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))﹣eq\o(CD,\s\up7(→))答案：AD3．(共線向量定理)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋xb與﹣(b﹣2a)共線，則x＝________.答案：﹣eq\f(1,2)二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．(多選·忽視零向量)下列命題中，正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長(zhǎng)度與向量eq\o(BA,\s\up7(→))的長(zhǎng)度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同D．零向量與任意數(shù)的乘積都為零答案：AC2．(忽視向量相等的條件)若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，則四邊形ABCD的形狀是______________．解析：當(dāng)|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形；當(dāng)|eq\o(AD,\s\up7(→))|≠|(zhì)eq\o(BC,\s\up7(→))|時(shí)，四邊形ABCD是等腰梯形．答案：平行四邊形或等腰梯形考點(diǎn)一平面向量的基本概念[典例](1)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(2)下列說(shuō)法中，正確的是()A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c共線B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)總是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行[解析](1)∵a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，∴向量a與b的方向相同，即存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，故選D.(2)A錯(cuò)，當(dāng)b＝0時(shí)，由a與b共線，b與c共線推不出a與c共線；B錯(cuò)，任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)也可以在一條直線上；C正確，當(dāng)a與b中有零向量時(shí)，它們一定共線；D錯(cuò)，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量也可以平行，即可以共線．故選C.[答案](1)D(2)C[方法技巧]解決向量問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．(3)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．(5)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量，因此單位向量eq\f(a,|a|)與a方向相同．(6)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大?。?7)在解決向量的概念問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a(chǎn)＝2bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝﹣eq\f(1,3)bD．a(chǎn)⊥b解析：選C由eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0得eq\f(a,|a|)＝﹣eq\f(b,|b|)≠0，即a＝﹣eq\f(b,|b|)·|a|≠0，則a與b共線且方向相反，因此當(dāng)向量a與向量b共線且方向相反時(shí)，能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立．對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A中a與b的方向相同；選項(xiàng)B中a與b共線，方向相同或相反；選項(xiàng)C中a與b的方向相反；選項(xiàng)D中a與b互相垂直．2．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝﹣|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算考法(一)平面向量的線性運(yùn)算[例1](1)若D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))﹣eq\o(CA,\s\up7(→))B．2eq\o(CA,\s\up7(→))﹣eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))(2)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AE,\s\up7(→))等于()A.eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)bB．eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)bC.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bD．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b[解析](1)∵D為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))，∴eq\o(CB,\s\up7(→))＝2eq\o(CD,\s\up7(→))﹣eq\o(CA,\s\up7(→))，故選A.(2)由題意得eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)m，滿足eq\o(AE,\s\up7(→))＝meq\o(AN,\s\up7(→))＋(1﹣m)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1﹣m)a.由C，E，M三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)n，滿足eq\o(AE,\s\up7(→))＝neq\o(AM,\s\up7(→))＋(1﹣n)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)na＋(1﹣n)b，所以eq\f(1,3)mb＋(1﹣m)a＝eq\f(1,2)na＋(1﹣n)b.因?yàn)閍，b為基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5).))所以eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b，故選A.[答案](1)A(2)A[方法技巧]向量線性運(yùn)算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．(3)用基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果．考法(二)利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)[例2]如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線AC于K，其中，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AK,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ的值為()A.eq\f(2,9)B．eq\f(2,7)C.eq\f(2,5)D．eq\f(2,3)[解析]∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(AF,\s\up7(→)).∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，∴eq\o(AK,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up7(→))＋2λeq\o(AF,\s\up7(→)).由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線可得，eq\f(5,2)λ＋2λ＝1，解得λ＝eq\f(2,9)，故選A.[答案]A[方法技巧]利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的方法與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量線性運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，D是AC的中點(diǎn)，teq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\o(DM,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)t的值為()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．2D．1解析：選B因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝2eq\o(MD,\s\up7(→))，又因?yàn)閑q\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，所以eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MD,\s\up7(→))＝0，所以eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\o(DM,\s\up7(→))，因?yàn)閠eq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\o(DM,\s\up7(→))，所以t＝eq\f(1,3).2.(多選)如圖所示，在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，下列關(guān)于向量eq\o(CD,\s\up7(→))表示不正確的是()A．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))B．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))解析：選BC對(duì)于A，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))，因?yàn)閑q\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))，所以A正確；對(duì)于B，由三角形法則得，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝﹣eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))，所以B不正確；對(duì)于C，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))﹣eq\o(AC,\s\up7(→))，所以C不正確；對(duì)于D，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))，所以D正確．考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用[典例](1)已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ，μ的關(guān)系一定成立的是()A．λμ＝1B．λμ＝﹣1C．λ﹣μ＝﹣1D．λ＋μ＝2(2)設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3e1﹣2ke2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為_(kāi)_______．[解析](1)∵eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))有公共點(diǎn)A，∴若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)t使eq\o(AB,\s\up7(→))＝teq\o(AC,\s\up7(→))，即λa＋b＝ta＋μtb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,μt＝1，))消去參數(shù)t得λμ＝1；反之，當(dāng)λμ＝1時(shí)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,μ)a＋b，此時(shí)存在實(shí)數(shù)eq\f(1,μ)使eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AC,\s\up7(→))，故eq\o(AB,\s\up7(→))和eq\o(AC,\s\up7(→))共線．∵eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．故選A.(2)由題意，A，B，D三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→)).又eq\o(AB,\s\up7(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3e1﹣2ke2，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))﹣eq\o(CB,\s\up7(→))＝3e1﹣2ke2﹣(ke1＋e2)＝(3﹣k)e1﹣(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3﹣k)e1﹣λ(2k＋1)e2，又e1與e2不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝﹣eq\f(9,4).[答案](1)A(2)﹣eq\f(9,4)[方法技巧]平面向量共線定理的3個(gè)應(yīng)用證明向量共線若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與非零向量b共線證明三點(diǎn)共線若存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知向量a＝(1,3)，b＝(m,6)，若a∥b，則m＝________.解析：因?yàn)閍∥b，所以3×m＝6×1，解得m＝2.答案：22．設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a﹣b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．解：(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a﹣b)，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋8b＋3(a﹣b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共線，又它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k﹣λ)a＝(λk﹣1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2﹣1＝0.∴k＝±1.eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．(多選)設(shè)a，b是非零向量，記a與b所成的角為θ，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充要條件是()A．a(chǎn)∥bB．θ＝0C．a(chǎn)＝2bD．θ＝π解析：選BCeq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)等價(jià)于非零向量a與b同向共線，即θ＝0，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，a＝2b，則a與b同向共線，故C正確．2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))D．eq\o(BC,\s\up7(→))解析：選A由題意得eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).3．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|﹣λa|≥|a|D．|﹣λa|≥|λ|·a解析：選B對(duì)于A，當(dāng)λ>0時(shí)，a與λa的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，a與λa的方向相反；B正確；對(duì)于C，|﹣λa|＝|﹣λ||a|，由于|﹣λ|的大小不確定，故|﹣λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對(duì)于D，|λ|a是向量，而|﹣λa|表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大?。?.如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))D．eq\o(CF,\s\up7(→))解析：選D由題圖知eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(CF,\s\up7(→)).5．在△ABC中，O為△ABC的重心，若eq\o(BO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ﹣2μ＝()A．﹣eq\f(1,2)B．﹣1C.eq\f(4,3)D．﹣eq\f(4,3)解析：選D如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)M，∵點(diǎn)O為△ABC的重心，∴M是AC的中點(diǎn)，∴eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝﹣eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))﹣eq\o(AB,\s\up7(→)))＝﹣eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，又eq\o(BO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，∴λ＝﹣eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，∴λ﹣2μ＝﹣eq\f(4,3)，故選D.二、綜合練——練思維敏銳度1．已知兩個(gè)非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b與n＝2a＋λb共線，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．5B．3C.eq\f(5,2)D．2解析：選C∵a，b是非零向量，且互相垂直，∴4a＋5b≠0，m≠0.∵m，n共線，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝4μ，,λ＝5μ.))解得λ＝eq\f(5,2).2．設(shè)平面向量a，b不共線，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝﹣2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a﹣b)，則()A．A，B，D三點(diǎn)共線B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線D．A，C，D三點(diǎn)共線解析：選A∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝﹣2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a﹣b)，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝(a＋5b)＋(﹣2a＋8b)＋3(a﹣b)＝2(a＋5b)＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))共線，即A，B，D三點(diǎn)共線．3．已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且2eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))，則()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D．點(diǎn)P不在直線AB上解析：選B因?yàn)?eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))，所以2eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上．4．(多選)在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC和AC的中點(diǎn)，P是AE與BF的交點(diǎn)，則有()A．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(EF,\s\up7(→))C．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→))D．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))解析：選AC如圖，根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))﹣eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))，A是正確的；因?yàn)镋F是中位線，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(FE,\s\up7(→))，B是錯(cuò)誤的；設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則根據(jù)三角形重心性質(zhì)知，CP＝2PG，所以eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))))，所以C是正確的，D錯(cuò)誤．5．設(shè)向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝a﹣2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為()A．﹣2B．﹣1C．1D．2解析：選B因?yàn)閑q\o(BC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝a﹣2b，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a﹣b.又因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))，所以2a＋pb＝λ(2a﹣b)，所以2＝2λ，p＝﹣λ，即λ＝1，p＝﹣1.6．(多選)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，﹣3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(﹣2,1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(t＋3，t﹣8)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)t可以為()A．﹣2B．eq\f(1,2)C．1D．﹣1解析：選ABD若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點(diǎn)不共線，故向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))不共線．由于向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，﹣3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(﹣2,1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(t＋3，t﹣8)，故eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))﹣eq\o(OA,\s\up7(→))＝(﹣3,4)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))﹣eq\o(OB,\s\up7(→))＝(t＋5，t﹣9)，若A，B，C三點(diǎn)不共線，則﹣3(t﹣9)﹣4(t＋5)≠0，∴t≠1.7．已知點(diǎn)O為△ABC的外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：選A由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，由O是△ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，選A.8．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ﹣1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1B．﹣eq\f(1,2)C．1或﹣eq\f(1,2)D．﹣1或﹣eq\f(1,2)解析：選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ﹣1)