（小白高考）新高考數(shù)學(xué)(零基礎(chǔ))一輪復(fù)習(xí)教案8.6《拋物線》 (原卷版)

頁(yè)第六節(jié)拋物線核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合拋物線的定義，考查求拋物線方程、最值等問(wèn)題，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)及幾何圖形，求其相關(guān)性質(zhì)及性質(zhì)的應(yīng)用能力，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝﹣2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝﹣2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝﹣eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝﹣eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣y0＋eq\f(p,2)3．拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝﹣p2；(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1﹣y2|；(6)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦；(7)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(8)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．已知拋物線C與雙曲線x2﹣y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4eq\r(2)x2．若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.eq\f(17,16)B．eq\f(15,16)C.eq\f(7,8)D．03．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝()A．2B．3C．4D．8二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．拋物線y＝﹣2x2的準(zhǔn)線方程是()A．x＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,8)C．y＝eq\f(1,2)D．y＝eq\f(1,8)2．過(guò)點(diǎn)P(﹣2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)yD．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)y3．若拋物線的焦點(diǎn)在直線x﹣2y﹣4＝0上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________．考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用[典例](1)已知A為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2B．3C．6D．9(2)已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若A(3,2)，則|PA|＋|PF|的最小值為_(kāi)_______，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．[方法技巧]1．利用拋物線的定義可解決的常見(jiàn)問(wèn)題軌跡問(wèn)題用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線距離問(wèn)題涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題時(shí)，注意在解題中利用兩者之間的相互轉(zhuǎn)化2．拋物線定義的應(yīng)用規(guī)律[提醒]建立函數(shù)關(guān)系后，一定要根據(jù)題目的條件探求自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．[針對(duì)訓(xùn)練]1．若點(diǎn)A為拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，|AF|＝5，點(diǎn)P為直線x＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最小值為()A．8B．2eq\r(13)C．2＋eq\r(41)D．eq\r(65)[典例](1)已知拋物線y2＝ax上的點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝3xD．y2＝5x(2)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x[方法技巧]拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數(shù)法①根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，若開(kāi)口方向不確定需分為y2＝﹣2px(p>0)和y2＝2px(p>0)兩種情況求解．另一種是設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開(kāi)口向右；若m<0，開(kāi)口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x2．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若△FPM為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為_(kāi)_______．考點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)[典例](1)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)(2)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________.[方法技巧]拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)涉及拋物線幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．(2)與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題，可直接應(yīng)用公式求解．解題時(shí)，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定弦長(zhǎng)公式是由交點(diǎn)橫坐標(biāo)還是由交點(diǎn)縱坐標(biāo)定，是p與交點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)的和還是與交點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)的差，這是正確解題的關(guān)鍵．[針對(duì)訓(xùn)練]1．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為()A.eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)2．(多選)已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1,1)，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為eq\f(3,2)B．過(guò)點(diǎn)P作過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為eq\f(5,32)C．過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x﹣2y＋1＝0D．過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為eq\r(3)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(eq\r(3)，0)B．(0，eq\r(3))C．(2eq\r(3)，0)D．(0,2eq\r(3))3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的一點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p＝()A．2B．4C．6D．84．若直線AB與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，且AB⊥x軸，|AB|＝4eq\r(2)，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為()A．1B．2C．3D．55．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在該拋物線上，且P在y軸上的投影為點(diǎn)E，則|PF|﹣|PE|的值為()A．1B．2C．3D．46．已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．二、綜合練——練思維敏銳度1．若拋物線y2＝2px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x2．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1B．2C．4D．83．雙曲線eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為()A.eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C.eq\f(16,3)D．eq\f(8,3)4．已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C1：y2＝ax(a＞0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，則a的值為()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．45．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線()A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)OB．經(jīng)過(guò)點(diǎn)PC．平行于直線OPD．垂直于直線OP6．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△AOB的面積為4，則|AB|＝()A．6B．8C．12D．167．已知拋物線y2＝2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x﹣2)2＋y2＝1的兩條切線，則直線BC的方程為()A．x＋2y＋1＝0B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0D．x＋3y＋2＝08．(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，