2023年高考數(shù)學(xué)第28講怎么求異面直線所成角

第28講怎么求異面直線所成角

一、知識(shí)概要

1異面直線所成角的定義（線線角）

直線a,h是兩異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)。，分別作d//a,b'Hb，則兩相交直線a,b所成的

銳角（或直角）叫作兩異面直線a,6所成的角，兩條異面直線所成的角的范圍是（0,

2求異面直線所成的角的方法

求異面直線所成的角是通過(guò)平移直線把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決，根據(jù)等角定理,異面直

線所成的角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，一般將角的頂點(diǎn)取在一些特殊點(diǎn)上（如線段端點(diǎn)，中點(diǎn)等），還

可以用空間向量法求解就不用平移了.

3平移法求異面直線所成角的一般步驟

⑴平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置

的點(diǎn),如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn).

⑵證明:證明所作的角是異面直線所成的角.

⑶尋找:在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

/711

⑷取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是（）,萬(wàn).所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直

線所成的角.

4立體幾何中,解計(jì)算題的一般步驟

（1）作圖；

（2）證明;

⑶計(jì)算.

三步缺一不可.

二、例題精析

（1）在正四面體A8CD中（如圖3-1所示）,分別是AB,C。的中點(diǎn)，則EE和所成的角為

⑵已知正四面體ABC。中，E是A8的中點(diǎn)，則異面直線CE與所成角的余弦值為

（）.

1

A.-

6

B在

6

1

C.一

3

D在

3

圖3-］

⑶在正四面體488中,（如圖3-2所示）線段肱V是棱AC的中點(diǎn)和—BCD中心的連線，而線

段OE是.ABD的高.求MN和DE所成角的余弦值.

【策略點(diǎn)擊】

本例3小題都是求正四面體上兩異面直線所成角.通常是通過(guò)平移化空間為平面,再解三角形求

得，一般情況下運(yùn)用余弦定理［如第⑵⑶問(wèn)的解法］,也可用原圖形的擴(kuò)展，每個(gè)四面體都有其外接

平行六面體，四面體的棱為平行六面體的面對(duì)角線，而正四面體的外接平行六面體是正方體或者

說(shuō)正四面體是正方體的六條面對(duì)角線所構(gòu)成的內(nèi)接圖形，第（1）（2）問(wèn)的解法二用的就是這種解法.

【解】

（1）【解法一】

圖3-3

（平移法）如圖3—3所示，取瓦）的中點(diǎn)M,連接EM,FM,則

EM//-AD,FM//-BC.:.NEFM是EF與BC所成的角或其補(bǔ)角.ABCD是正四面體,

22

.?.40=8。且4。，8。，于是雙0=月0且,即，醐"'是等腰直角三角形.

/.NEFM=45°,即EF與BC所成角為45°.

【解法二】

圖3-4

(補(bǔ)體法)如圖3-4所示，作正四面體ABC。的外接正方體，則分別為正方體相對(duì)兩個(gè)面的

中心,二EF//BG.于是EF與8C所成角即為NCBG,其大小為45°.

(2)【解法一】

坪移法)如圖3-5所示，取AQ的中點(diǎn)F，連接EF,CF，則EE//8D故NCE/(或其補(bǔ)角)即為

異面直線CE與8。所成的角.

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2廁CE=CF=?EF=1.

CE2+EF2-CF23+1-373

在CEF中油余弦定理得cosZCEF=~上二

2CEEF2x0x1—6

???異面直線CE與8。所成角的余弦值為g,故選B.

6

圖3-6

(補(bǔ)體法+向量法)在正方體中嵌套一個(gè)正四面體ABC。,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3-6所示，不

妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(2,2,2),

?E是A3的中點(diǎn),.?.E(L0,1),又C￡=(l,-2,1),,

BD=(0,2,2),.-.cos0=|cos<C￡,BD)|=-r-=B.故選B.

\CE^BD\V6X2V26

⑶如圖3—7所示，連接ON,延長(zhǎng)交于F,可知產(chǎn)為3C中點(diǎn)，連接取EF三等分點(diǎn)G,

使四=2連接GN,GM廁GN//DE且GN=LDE,/.ZGNM是和DE所成的角或

GF13

其補(bǔ)角.

設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a.在-GMN中,GN=1GM=——a

66

連接NC,=；a,NC=與a,cosNMCN=與.

MN2=MC2+NC2-2MC-NC-cosNMCN=-a\:.MN=-a

42

NG?'MV-GM?

cosZGNM

2NGMN

圖3-7

[例2]

如圖3-8所示,四邊形438和AOP。均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段

PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成的角為夕則cos0的最大值為

圖3-8

【策略點(diǎn)擊】

立體幾何中動(dòng)態(tài)問(wèn)題具有較大的綜合性，是解立體幾何問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)，通常有兒何法與向量

法兩種解題方法,幾何法可以結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值，當(dāng)點(diǎn)M在P處時(shí),與AE所成

角為直角,此時(shí)余弦值為0（最小），當(dāng)M到達(dá)。點(diǎn)時(shí)，角最小從而余弦值最大.當(dāng)然若設(shè)QM=x,

求得cos。關(guān)于x的函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性求得最大值，可謂殊途同歸,結(jié)合圖形中動(dòng)點(diǎn)變化

時(shí),EM與AF所成角大小的變化，顯示出數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的魅力,這是一種很好的思維方法.

當(dāng)然本題極易建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解無(wú)疑是求空間角的常用方法，易于操作.

【解法一】

y,P

圖3-9

(平移法十函數(shù)單調(diào)性)如圖3-9所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,QM=x，則()?x”2.取BE中點(diǎn)G,

連接EG,MG,則EG//AENMEG或其鄰補(bǔ)角即為異面直線EM與AR所成的角，設(shè)

ZMEG=氏連接E0.在Rt_AQE中，易得QE=百;在Rt^MQE中，易得ME=y/x2+5.而

AF=y[5，則EG=^~，過(guò)點(diǎn)、G作G/7LAO,過(guò)點(diǎn)M作MR±AD,^\HR=x--

22

Rt_GM?中，易得GR=+4；在Rt_MRG中，易得

\EG2+EM2-MG2\

MG=+8,cos6=

2EGEM

_4I2J_|「2|_2-x

66+575-77+56心+5

2-x2

易知/(x)=-.在X￡[0,2]上是減函數(shù)..?.當(dāng)X=0時(shí),/(X)max=:，即COS。的最大

\l5-\Jx~+55

值為:

【解法二】

z

S3-10

(向量法+基本不等式)以A為原點(diǎn)，分別以射線AB,AD,AQ為x軸,y軸,z軸的正半軸建立空間

直角坐標(biāo)系4-型,如圖3-10所示，

設(shè)=L則4/=1,；,())叫,0,()]

設(shè)M(0,y,l)(噫61)廁.

I，7

^r=8j；+l,re[l,9],ffii^iL=——，當(dāng)，=1時(shí)取等號(hào).

4y+5仆81_25

cos0=

2

當(dāng)y=0時(shí)，即點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合時(shí),cos夕取得最大值為

[例3]

如圖3—11所示，平行六面體中，底面A8CD是邊長(zhǎng)為1的正方形,

AAi=2,ZAtAB=ZA}AD=120°,求異面直線和AQ所成角的余弦值.

【策略點(diǎn)擊】

求兩異面直線所成角的余弦值，從立體幾何角度講，通常采用平移法,但有時(shí)平移后的圖形不易作

出，可用補(bǔ)體的方法，即補(bǔ)體后再平移，當(dāng)然，運(yùn)用向量法求兩異面直線所成的角是好方法而向量法

通常又分為純向量法和坐標(biāo)法.當(dāng)空間直角坐標(biāo)系難認(rèn)建立時(shí),可考慮純向量的方法，還必須提醒

的是兩異面直線所成角的范圍為，而兩向量所成角的范圍是［0，加，這是容易出錯(cuò)的地方.

【解法一】

圖3-12

（補(bǔ)體法）如圖3-12所示,補(bǔ)上一個(gè)同樣的平行六面體ABC。-482c2鼻，則或其補(bǔ)角

即為異面直線AC和4。所成角.

在..CtAD2中,可算出AD2=幣,AC］=yfi,DS=V13.

故由余弦定理得=一恒

cosZC,AD2=訴2+噌?［而>

2xV2xV77

而兩異面直線所成角的范圍為0,',

故異面直線AG和A。所成角的余弦值為中.

【解法二】

圖3-13

(純向量法)注意到從點(diǎn)A出發(fā)的三條棱長(zhǎng)和兩兩夾角都是已知的，故可設(shè)AB

=a,AD=b,,如圖3—13所示.

則=0,4?C=〃?c=1x2x(-;)=-1AC]=a+b+d,A￡)=b—乙

22

故AG.AD=(G+日+右)?(5—3)a-b-a-c+b~-c=-2,|/4J￡)|=\j(b-c)=>/7,

|AC1|=J(a+.+c)2=5/2cos3=|-2|

ACJII4D-V2-V7~7

故異面直線AG和A。所成角的余弦值為”.

方法提煉

1異面直線所成角求解的一般方法

(1)平移法:在異面直線中的一條直線上選擇一“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線;也可在兩條

異面直線外選擇一“特殊點(diǎn)”，分別作兩條異面直線的平行線(單移或雙移).

當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接過(guò)異面直線上的點(diǎn)平移直線有困難時(shí),利用該幾何體中的特

殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)，或通過(guò)構(gòu)造輔助平面實(shí)現(xiàn)平移,再在三角形中計(jì)算.

(2)補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體等，從而發(fā)

現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.

(3)向量法:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩異面直線所在向量的坐標(biāo)，代入向量夾角公式即

可求出.

2過(guò)空間一點(diǎn)P作直線與一對(duì)異面直線都成等角的情況

利用平移法探討過(guò)空間一點(diǎn)尸作直線與一對(duì)異面直線都成等角，這樣的直線有多少條的討論:一

般地，若兩條異面直線。力所成的角為。，則過(guò)空間一點(diǎn)P與直線。力所成的角為氏則過(guò)空間一

點(diǎn)P與直線。/所成角都等于a的直線/的條數(shù)：

⑴當(dāng)a<-時(shí),直線/不存在，即0條；

⑵當(dāng)a=g時(shí)，若,則a=，此時(shí)只存在1條直線/；若。=授，則

01

0=三=二（萬(wàn)一。），此時(shí)存在2條直線/;

22

⑶當(dāng)g<a〈工時(shí)，存在2條直線/;

（4）當(dāng)a=g（萬(wàn)一6）時(shí)存在3條直線I;

7T—f）TT

⑸當(dāng)<?<|時(shí)，存在4條直線/;

JF

⑹當(dāng)a=］時(shí)，存在1條直線/.

3求異面直線AB與。的夾角。

求異面直線AB與CO的夾角。的向量公式:cos6=?.

|AB||C￡>|

三、易錯(cuò)警示

【例】

空間四邊形488中，4）=48=2,。8=。。=1,4）與8。所成的角為600,心尸分別為

AB,CO的中點(diǎn)，求與C。所成的角及￡尸的長(zhǎng).

【錯(cuò)解】

圖3-14

如圖3—14所示，過(guò)點(diǎn)。作。尸//CB，過(guò)點(diǎn)B作BPIICD,DP與BP交于點(diǎn)P.

CB=CD=1,四邊形BCDP是邊長(zhǎng)為1的菱形.

則NAQP就是AO與8C所成的角，即ZADP=60\

Z4BP是AB與CD所成的角.

在r.ADP和,ABP中，AB=AD,PD=PB,AP=AP.

.三ADP三二ABP.ZABP=ZADP=60°,因此，

AB與8所成的角為60°.

在.中,PO=BC=1,ZADP=60°,A￡>=2.

則由余弦定理得AP=712+22-2xlx2xcos60"二有.

取AC的中點(diǎn)為Q廁EQ//BC,QFHAD，且EQ=；,。/=1,.-.ZEQF=60°.

則EF=y/EQ2+QF2-2XEQQF-COS60°二與，因此,EF的長(zhǎng)為乎.

【評(píng)析及正解】

上述解法對(duì)異面直線所成角的概念不清晰，其實(shí)NAOP是AD與BC所成的角或其補(bǔ)角,所認(rèn)在

上述解法的基礎(chǔ)上還應(yīng)補(bǔ)上/AZ>P=120°的情形.如圖3-15所示，不論/4。2=60°還是

NADP=120°,異面直線A5與。。所成角都為60：取AC的中點(diǎn)Q,則E。//BC//。尸

//AT）.且EQ=；，。/=1.NEQF=60°或NEQF=120°.

______________________________J7

當(dāng)ZEQF=60°時(shí)EF=^EQ2+QF2-2-EQQF-cos60°=三

當(dāng)ZEQF=120°時(shí)，瓦'=^EQ1+QF1-2-EQQF-cos120°=--

/?Fj

因此EF的長(zhǎng)為方-或丹-

四、難題攻略

【例】

將邊長(zhǎng)為1的正方形A41ao（及其內(nèi)部）繞。。1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖3—16所示,AC長(zhǎng)為

27r4

5，4片長(zhǎng)為其中片與C在平面A4。。的同側(cè).

⑴求三棱錐C-OA耳的體積；

（2）求異面直線B￡與AA,所成角的大小.

圖3-16

【破難析疑】

本題的載體為圓柱，情景有所不同,但仍然依據(jù)求兩異面直線所成角的3種基本方法求解，即①立

體幾何平移法;②化向量的方法;③向量坐標(biāo)法.

【解】

(l)V=-S/7=-X