階微分方程的解的存在定理

安徽理工大學(xué)一階微分方程的解的存在定理《數(shù)學(xué)文化》徐正20113051082013/4/9采用皮卡（Picard）的逐步逼近法證明一階微分方程在滿(mǎn)足一定的初值條件時(shí)的解的存在唯一性定理。

一階微分方程的解的存在定理《數(shù)學(xué)文化》的讀書(shū)報(bào)告徐正數(shù)學(xué)11-2,2011305108摘要采用皮卡（Picard）的逐步逼近法證明一階微分方程在滿(mǎn)足一定的初值條件時(shí)的解的存在唯一性定理。關(guān)鍵詞利普希茨條件唯一連續(xù)初值條件引言存在唯一性定理可以明確地肯定微分方程的解在滿(mǎn)足一定條件下的存在性和唯一性，它將是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義。另一方面，由于能夠求得精確解的微分方程不多，所以微分方程的近似解法（包括數(shù)值解法）就具有十分重要的實(shí)際意義，而解的存在和唯一性又是進(jìn)行近似計(jì)算的前提。因此，對(duì)初值問(wèn)題的解的研究就被提高到了重要的地位。那自然要問(wèn)：初值問(wèn)題的解是否存在？如果存在是否唯一呢？定義1設(shè)一階微分方程?y?這里fx,y是在矩形域定義2函數(shù)fx,y稱(chēng)在R上關(guān)于y滿(mǎn)足利普希茨（Lipschitz）條件，如果存在常數(shù)Lf對(duì)于所有x,y1，x,y定理如果fx,y在矩形域R上連續(xù)且關(guān)于y滿(mǎn)足利普希茨條件，則方程（1）存在唯一的解y=φx，定義于區(qū)間x-xo≤h，連續(xù)且滿(mǎn)足初值條件φ證明為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，現(xiàn)只就區(qū)間x0≤x≤有關(guān)逐步逼近法證明解的存在唯一性定理的主要思想可以參考文獻(xiàn)【1】下面分五個(gè)命題來(lái)證明定理成立，則由利普希茨條件，當(dāng)x0φ≤L≤ML于是，對(duì)于所有的正整數(shù)k，有：φkx-φk-1x≤從而可知，當(dāng)x0φkx-φk-1x≤MLk-1k!hk（10）(10)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)k=1∞命題3證畢。設(shè)limn→∞φnx=φx，則φx也在x命題4φx是積分方程（3）定義于x證明由利普希茨條件f以及{φnx}在x0≤x≤x0+h上一致收斂于φx，即知序列{fx,φnx}在x=y0即φx這就是說(shuō)，φx是積分方程（3）定義于x命題4證畢。命題5設(shè)Ψx是積分方程（3）定義于x0≤x≤x0+h證明證Ψx也是序列{φnφ0x=y0，φnx=Ψx=y有：φ0x-φ1x-Ψx≤x0≤MLx0xξ現(xiàn)設(shè)φn-1x-則φ≤Lx≤=ML故對(duì)于所有的正整數(shù)n，有：φnx-Ψx≤因此，在x0φnx-Ψx≤MLnn+1因而{φnx}在x0根據(jù)極限的唯一性，得φx=Ψx（命題5證畢。綜合命題1~5，得存在唯一性定理的證明。定理證畢。定理證明詳情參考文獻(xiàn)【2】參考文獻(xiàn)王