階微分方程的解的存在定理

安徽理工大學(xué)一階微分方程的解的存在定理《數(shù)學(xué)文化》徐正20113051082013/4/9采用皮卡（Picard）的逐步逼近法證明一階微分方程在滿足一定的初值條件時(shí)的解的存在唯一性定理。

一階微分方程的解的存在定理《數(shù)學(xué)文化》的讀書(shū)報(bào)告徐正數(shù)學(xué)11-2,2011305108摘要采用皮卡（Picard）的逐步逼近法證明一階微分方程在滿足一定的初值條件時(shí)的解的存在唯一性定理。關(guān)鍵詞利普希茨條件唯一連續(xù)初值條件引言存在唯一性定理可以明確地肯定微分方程的解在滿足一定條件下的存在性和唯一性，它將是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義。另一方面，由于能夠求得精確解的微分方程不多，所以微分方程的近似解法（包括數(shù)值解法）就具有十分重要的實(shí)際意義，而解的存在和唯一性又是進(jìn)行近似計(jì)算的前提。因此，對(duì)初值問(wèn)題的解的研究就被提高到了重要的地位。那自然要問(wèn)：初值問(wèn)題的解是否存在？如果存在是否唯一呢？定義1設(shè)一階微分方程?y?這里fx,y是在矩形域定義2函數(shù)fx,y稱(chēng)在R上關(guān)于y滿足利普希茨（Lipschitz）條件，如果存在常數(shù)Lf對(duì)于所有x,y1，x,y定理如果fx,y在矩形域R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨條件，則方程（1）存在唯一的解y=φx，定義于區(qū)間x-xo≤h，連續(xù)且滿足初值條件φ證明為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，現(xiàn)只就區(qū)間x0≤x≤有關(guān)逐步逼近法證明解的存在唯一性定理的主要思想可以參考文獻(xiàn)【1】下面分五個(gè)命題來(lái)證明定理成立，則由利普希茨條件，當(dāng)x0φ≤L≤ML于是，對(duì)于所有的正整數(shù)k，有：φkx-φk-1x≤從而可知，當(dāng)x0φkx-φk-1x≤MLk-1k!hk（10）(10)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)k=1∞命題3證畢。設(shè)limn→∞φnx=φx，則φx也在x命題4φx是積分方程（3）定義于x證明由利普希茨條件f以及{φnx}在x0≤x≤x0+h上一致收斂于φx，即知序列{fx,φnx}在x=y0即φx這就是說(shuō)，φx是積分方程（3）定義于x命題4證畢。命題5設(shè)Ψx是積分方程（3）定義于x0≤x≤x0+h證明證Ψx也是序列{φnφ0x=y0，φnx=Ψx=y有：φ0x-φ1x-Ψx≤x0≤MLx0xξ現(xiàn)設(shè)φn-1x-則φ≤Lx≤=ML故對(duì)于所有的正整數(shù)n，有：φnx-Ψx≤因此，在x0φnx-Ψx≤MLnn+1因而{φnx}在x0根據(jù)極限的唯一性，得φx=Ψx（命題5證畢。綜合命題1~5，得存在唯一性定理的證明。定理證畢。定理證明詳情參考文獻(xiàn)【2】參考文獻(xiàn)王