2023年中考數(shù)學綜合壓軸題訓練-反比例函數(shù)的實際應用七

2023年中考數(shù)學綜合壓軸題訓練——反比例函數(shù)的實際應用（7）

一、綜合題

1.閱讀材料：以下是我們教科書中的?段內(nèi)容，請仔細閱讀，并解答有關問題.

公元前3世紀，古希臘學家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若杠桿上的兩物體與支點的距離與其重量成反比，則杠桿平

衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，通俗地說，杠桿原理為：請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

阻力x阻力臂=動力x動力臂（1）求這天的溫度y與時間x（0<x<24）的函數(shù)關系式：

）阻力動力（2）恒溫系統(tǒng)設定的恒定溫度為；

I~~I

阻力臂鼻力力臂（3）若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害.問這天內(nèi)，為避免蔬菜受到傷害，恒溫系統(tǒng)最多可以

關閉多少小時？

4.某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快

的新品種.下圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉及關閉后大棚內(nèi)的溫度》（℃）隨時間工（小時）變化的函數(shù)圖象,

其中3c段是雙曲線y=4的一部分.請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

x

（1）（問題解決）

若工人師傅欲用撬棍動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1500N和0.4m.

動力F（N）與動力臂1（m）有怎樣的函數(shù)關系？當動力臂為1.5m時，撬動石頭需要多大的力？

（2）若想使動力F（N）不超過題（1）中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少？

（3）（數(shù)學思考）

（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)的溫度18℃的時間有小時；

請用數(shù)學知識解釋：我們使用棍，當阻力與阻力臂一定時:為什么動力臂越長越省力.

（2）k=；

2.某種消毒藥噴灑釋放完畢開始計時，藥物濃度Mmg/m'）與時間x（"山?）之間的關系如下：

（3）當棚內(nèi)溫度不低于16℃時，該蔬菜能夠快速生長，則這天該蔬菜能夠快速生長小時.

時間x(min)24125.電子體更科讀數(shù)直觀乂便于攜帶，為人們帶來了方便.某綜合實踐活動小組設計了簡易電子體重秤：制作一

個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻Ri，RI與踏板上人的質(zhì)量m之間的函數(shù)關系式為Ri=km+b

藥物濃度Mmg/m）1893

（其中k,b為常數(shù)，0<m<120）,其圖象如圖】所示；圖2的電路中，電源電壓恒為8伏，定值電阻Ro的阻

（1）求）'關于x的關系式;

值為30歐，接通開關，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為Uo,該讀數(shù)可以換算為人的質(zhì)量m,

（2）當藥物濃度不低于6mg/n?并且持續(xù)時間不少于5加〃時消毒算有效，問這次消毒是否有效？.溫馨提示：①導體兩端的電壓U,導體的電阻R,通過導體的電流I,滿足關系式1=2;

3.某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜.如圖是試驗階段的某天恒溫系

②串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓.

統(tǒng)從開啟到關閉后，大棚內(nèi)的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數(shù)關系，其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)

開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關閉階段.

（3）廣告合同約定，當銷售量不低于100萬件，并且持續(xù)天數(shù)不少于12天時，廣告設計師就可以拿到“特

殊貢獻獎”，那么本次廣告策劃，設計師能否拿到“特殊貢獻獎”？

8.“凈揚”水凈化有限公司用160萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用，成功研制出了?種市場急需的小型水凈化產(chǎn)

品，已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售.已知生產(chǎn)這種小型水凈化產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年

的年銷售量（萬件）與銷售價格x（元/件）的關系如圖所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的?部分，BC為

（1）求k,b的值；

一次函數(shù)圖象的一部分.設公司銷售這種水凈化產(chǎn)品的年利潤為z（萬元）.（注：若上一年盈利，則盈利不計

（2）求Ri關于Uo的函數(shù)解析式：

入下?年的年利潤；若上一年虧損，則虧損計作下?年的成本.）

（3）用含Uo的代數(shù)式表示m；

（4）若電壓表量程為0~6伏，為保護電壓表，請確定該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量.

6.某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到?片爛泥濕地，為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線

鋪「若干塊木塊，構筑成一條臨時近道.木板對地面的壓強尸（Pa）是木板面積S（n『）的反比例函數(shù)，其圖

象如圖所示.

（1）請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數(shù)關系式：

（2）求出第?年這種水凈化產(chǎn)品的年利潤z（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關系式，并求出第?年年利

潤的最大值；

（3）假設公司的這種水凈化產(chǎn)品第?年恰好按年利潤z（萬元）取得最大值時進行銷售，現(xiàn)根據(jù)第?年的

（1）求出P與S之間的函數(shù)表達式：盈虧情況，決定第二年將這種水凈化產(chǎn)品每件的銷售價格x（元）定在8元以上（x>8）,當?shù)诙甑哪昀?/p>

（2）如果要求壓強不超過3OOOPa,木板的面積至少要多大？潤不低于103萬元時，請結合年利潤z（萬元）與銷售價格x（元/件）的函數(shù)示意圖，求銷售價格x件）

7.某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其銷售量與上市的天數(shù)之間成正比，當廣告停止后，銷售量與的取值范圍.

上市的天數(shù)之間成反比（如圖），現(xiàn)已知上市30天時，當日銷售量為120萬件.9.解題方法回顧：

在求某邊上的高之類問題時，常常利用同一個圖形面積不變或等底等高面積不變或多個圖形面積之和不變

的原理來解決，稱為“等積法”.

解題方法應用：

（1）已知：如圖I,矩形ABCD中，AB=5,BC=12,對角線AC、BD相交于點O,點P是線段AD上

任意一點，且PE_LAC于點E,PF_LBD于點F.求PE+PF的值.

（I）寫出該商品上市以后銷售量y（萬件）與時間x（天數(shù)）之間的表達式；

（2）求上市至第100天（含第100天），日銷售量在36萬件以下（不含36萬件）的天數(shù);

小陳同學想到了利用"等積法''解決本題，過程如下：（如圖2）

解：連接P0，1矩形ABCD的兩邊AB=5,BC=12,

Sm形八A88C=6°，OA=OC,OB=OD,AC=BD,

???AC=ylAB2+BC2=7122+52=13,

圖1圖2

???S=OA=OD=-AC=—

、AUOLD）4n'.nfnDCD22f

（1）求k的值.

???SAOD=SAOP+Snop=-OAPE+-ODPF=-OA（PE+PF]

,/IUUMirIMJr）?2'/（2）設點A.D的橫坐標分別為x,z,將z關于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”.如圖2,小李畫出了%>0時

=1x-yX（PE+PF）=15,

“Z函數(shù)”的圖象.

???PE+PF=.（請你填上小陳計算的正確答案）①求這個“Z函數(shù)”的表達式.

（2）如圖，正方形ABCD的邊長為2,點P為邊BC上任意一點（可與B點或C點重合），分別過B、②補畫x<0時“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）.

C、D作射線AP的垂線，垂足分別是8',C,17.③過點（3,2）作一直線，與這個“Z函數(shù)”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標.

11.王老師駕駛小汽車從A地行駛到B地，行駛里程為480千米，設小汽車的行駛時間為t（單位：小時），

行駛的平均速度為v（單位：千米/小時），且全程速度限定為不超過120千米/小時.

（1）求v關于t的函數(shù)表達式；

（2）王老師上午8點駕駛小汽車從A地出發(fā).

①王老師需要在當天13點至14點（含13點和14點）間到達B地，求小汽車行駛的平均速度v需達到的

①設AP=x,BB'+CC+DD'=y,求y與x的函數(shù)關系式，并求出x取值范圍;

范圍；

②直接寫出y的最大值為▲,最小值為▲.

②王老師能否在當天11點30分前到達B地？說明理由.

10.背景：點A在反比例函數(shù)y=［僅>0）的圖象上，AB1X軸于點B,ACLy軸于點C,分別在

12.某市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在溫度為15C~20"C的條件下生

射線AC,BO上取點D,E,使得四邊形ABED為正方形.如圖1,點A在第一象限內(nèi)，當AC=4

長最快的新品種，下圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉及關閉后，大棚里溫度y（C）隨時間x（h）變化的函數(shù)

時，小李測得。。=3.

圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線>-=-的?部分，請根據(jù)圖中信息解答下列問題.

探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點D,A的橫坐標之間存在函數(shù)關系.請幫助小李解決下列問題.

（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度為20c的時間有多少小時？

（1）如圖1,圖形（填序號）是準菱形；

（2）求。的值.

（2）如圖2,四邊形ABCD中，AB/7DC,ZB+ZD=180°,AB=AD,求證：四邊形ABCD是準菱形：

（3）恒溫系統(tǒng)在一天24h內(nèi)保持大棚溫度在I5°C?20uC的時間有多少小時？（3）如圖3,在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA,OC分別落在y軸，x軸上，反比例函數(shù)y

=-（k>0）的圖象分別與邊AB,BC交于點D,E.已知AD=DE,△ADE的面積為10,AD：DB=5：

x

3,若點F是坐標平面上一點，四邊形ADEF是準菱形，當準菱形ADEF面積最大時，求點F的坐標.

15.某?農(nóng)家計劃利用已有的?堵長為8m的墻，用籬笆圈成一個面積為12m2的矩形ABCD花園，現(xiàn)在可用

的筒笆總長為Hm.

(1)探究：如圖1,AH_LBC于點H,貝IJAH=,AC=,△ABC的面積SMBC

（1）若設AB=x,BC=y.請寫出y關于x的函數(shù)表達式；

（2）拓展：如圖2,點D在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E、（2）若要使11m的籬笆全部用完，能否圍成面積為15m2的花園？若能，請求出長和寬：若不能，請說明

理由；

F,設BD=x,AE=m,CF=n,（當點D與A重合時，我們認為S^BD=0）.

（3）若要使11m的籬笆全部用完，請寫出y關于x的第二種函數(shù)解析式.請在坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖

I.用含x、m或n的代數(shù)式表示SMBD及、“加；

象，觀察圖象，滿足條件的圍法有幾種？請說明理由.

II.求（m+n）與x的函數(shù)關系式，并求（m+n）的最大值和最小值：

16.汛期到來，山洪暴發(fā)，下表記錄了某水庫20h內(nèi)水位的變化情況，其中工表示時間（單位：h）,

III.對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D,指出這樣的x的取值范圍.

V表示水位高度（單位：m）,當x=8（h）時，達到警戒水位，開始開閘放水.

發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個

x/h02468101214161820

最小值.

y/m141516171814.41210.3987.2

14.定義：只有三邊相等的四邊形稱為準菱形.

（1）在給出的平面直角坐標系中，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出水位變化圖象，并寫出水位高出16米的時間x

的取值范圍▲.（精確到0.1）

個*初I(2)從水壺中的水燒開(100C)降到90C就可以泡茶，問從水燒開到泡茶需要等待多長時間？

(2)請分別求出開閘放水前和放水后最符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式.

(3)據(jù)估計，開閘放水后，水位的這種變化規(guī)律還會持續(xù)一段時間，預測何時水位達到6m.

17.小明在媽媽的幫助下，利用社區(qū)提供的免費攤點賣玩具，已知小明所有玩具的進價均2元/個.在銷售過

程中發(fā)現(xiàn)：每天玩具銷售量y(件)與銷售價格％(元/件)的關系如圖所示，其中AB段為反比例函

數(shù)圖象的?部分，BC段為?次函數(shù)圖象的一部分，設小明銷售這種玩具的日利潤為H-元.

(1)根據(jù)圖象，求出V與％之間的函數(shù)關系式；

(2)求銷售這種玩具的日利潤卬(元)與x(元/件)之間的函數(shù)關系式，并求每天利潤的最大值.

18.泡茶需要將電熱水壺中的水先燒到100C,然后停止燒水，等水溫降低到適合的溫度時再泡茶，燒水時水

溫y("C)與時間x(min)成一次函數(shù)關系；停止加熱過了1分鐘后，水壺中水的溫度y(°C)與時間x(min)近似于反

比例函數(shù)關系(如圖).已知水壺中水的初始溫度是20℃,降溫過程中水溫不低于20C.

(1)分別求出圖中所對應的函數(shù)關系式，并且寫出自變量x的取值范圍:

設雙曲線解析式為:

答案解析部分CDy=k(k#0),

x

1.【答案】⑴解：根據(jù)“杠桿定律”有FL=1500x0.4,VC(10,20),

.?.函數(shù)的解析式為F=等，

.?.k2=2OO,

7(X)

當L=L5時，F(xiàn)=黑=400,因此，撬動石頭需要400N的力；???雙曲線CD的解析式為：y=—(10<x<24)；

x

關于x的函數(shù)解析式為：

(2)解：由⑴知FL=600,

函數(shù)解析式可以表示為：L=—,

F2x+10(0?x<5)

y="20(5,,x<10)

當F=400X-=200時，L=3,3-1.5=1.5(m),

2

—(10Sk24)

因此若用力不超過400N的■半，則動力臂至少要加長1.5米；,X

(3)解：因為撬棍工作原理遵循“杠桿定律”，當阻力與阻力臂一定時，其乘積為常數(shù)，設其為k,則動力F(2)20c

K9(X)

與動力臂L的函數(shù)關系式為尸二—，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，動力F隨動力臂1的增大而減小，所以動(3)解：把y=10代入y=-----中，解得：x=20,

力臂越長越省力..*.20-10=10,

2.【答案】(1)解：由表格可知工與V的乘積是個定值為36,答：恒溫系統(tǒng)最多可以關閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害.

???可知x與y呈反比例函數(shù)關系，4.【答案】(1)10

36(2)216

(3)12.5

(2)解：當y=6時，x=—=6,

6「一八?仿=24(

f240=b

*/6—0=6>5?5.【答案】(I)解：把(0,240),(120,0)代入Ri=km+b,得〈八，，解得：1

0=120Ar+Z?k=一一

???此次消毒有效.

3.【答案】(1)解：設線段AB解析式為y=kix+b(k/)),

(2)解：V—=——

???線段AB過點(0,10),(2,14),JU/\1

?MV"。：

fk.=2b=240

解得|b=10'

(3)解：由(1)可知:

???線段AB的解析式為：y=2x+10(0<x<5),

R1=——m+240,

???B在線段AB上當x=5時，y=20,2

，B坐標為(5,20),

空.3。,

???線段BC的解析式為:y=20(5<x<10),

240c八1~480???銷量不到36萬件的天數(shù)為8天；

A---30=一一m+240,即：w=540--

UQ2Uo當。之30時,

人3600-

(4)解：工?電壓表量程為0~6伏,令----<36,

x

???當U°=6時，=540--=460解得：(不符合題意)，

6￡>100

答：該電子體重秤可稱的最大質(zhì)量為460千克.，上市至第100天(含第100天)，日銷售量在36萬件以下(不含36萬件)的天數(shù)為8天；

6.【答案】(1)解：設p=-,將點A(3,200)代入，(3)解：當0<x?3()時，

S

令4xN100,

得左=3x2(X)=600,

解得：x>25

：.p與S之間的函數(shù)表達式為/>=—；

S???254x430,

(2)解：當p=3000時，—=3000,

S???銷量超過100萬件的天數(shù)為6天,

解得s=0.2,當XN30時,

如果要求壓強不超過3000Pa,木板的面積至少要0.2m2.令陋訓，

X

7.【答案】(1)解：根據(jù)題意可知：

解得:x<36

當時，設與的函數(shù)解析式為

0WXW30yxA30<x<36.

.-.120=30^,銷量超過100萬件的天數(shù)為6天,

綜上所述，銷售量不低于100萬件，并且持續(xù)天數(shù)為12天，廣告設計師可以拿到“特殊貢獻獎”.

解得：尢=4,

8.【答案】(1)解：當4WXV8,設丫=&,將A(4,40)代入

X

y=4x(0<x<30)；

得k=4x40=160,

當X230時，設y與x的函數(shù)解析式為丫=&,

X所以y與x之間的函數(shù)關系式為：y=—,

X

當8<x<28時，設y=kx+b,

解得：&=3600將B(8,20)、C(28,0)代入得

產(chǎn)胃230)/8A+b=2O

128&+b=0'

綜上所述，該商品上市以后銷售量(萬件)與時間(天數(shù))之間的表達式為:=4A(0<X<30)；

yxk=-\

解得

3600/6=28

y=-------(x>30).

Ay與x之間的函數(shù)關系為y=x+28,

(2)解：當0W30時,

令4.V36,理(4W8)

???綜上所述得:

解得：rC9,