第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．2．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．1．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O的半徑為r(r＞0)，圓心到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系可用下表表示：2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1，O2的半徑分別為R，r(R＞r)，兩圓圓心間的距離為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示：1．牢記3個(gè)相關(guān)結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．兩圓相交時(shí)公共弦的性質(zhì)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時(shí)：(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程(不包括C2)．4．求過(guò)一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(1)若點(diǎn)在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線只有一條；(2)若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條；(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)，切線為零條．1．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P93·T1改編)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為

(

)A．相切

B．相交但直線不過(guò)圓心C．直線過(guò)圓心

D．相離答案：B3．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P98·T1改編)兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是________．答案：內(nèi)切5．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P98·T8改編)過(guò)兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程為_(kāi)_____________________．層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)直線與圓的位置關(guān)系的判斷

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．(2021·青島二模)在平面直角坐標(biāo)系中，直線l為雙曲線x2－y2＝1的一條漸近線，則

(

)A．直線l與圓(x－2)2＋y2＝1相交

B．直線l與圓(x－2)2＋y2＝1相切C．直線l與圓(x－2)2＋y2＝2相離

D．直線l與圓(x－2)2＋y2＝2相切2．已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(

)A．相切

B．相交

C．相離

D．不確定3．(2021·新高考Ⅱ卷改編)

已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說(shuō)法不正確的是

(

)A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切基礎(chǔ)點(diǎn)(二)圓與圓的位置關(guān)系

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為

(

)A．內(nèi)切

B．相交

C．外切

D．相離[方法技巧]求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法[方法技巧]圓的切線方程的求法幾何法設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k代數(shù)法設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0，進(jìn)而求出k不會(huì)利用特征直角三角形如圖，從圓外一點(diǎn)P向圓C引兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則稱Rt△PMC，Rt△PNC為特征Rt△.以四邊形PMCN為背景，長(zhǎng)度、面積、向量的數(shù)量積、過(guò)兩切點(diǎn)的弦的方程、弦長(zhǎng)以及有關(guān)的最值等均可以利用特征Rt△的特點(diǎn)求解．——————————————————————————————————[典例]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為

(

)A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0特征直角三角形中的長(zhǎng)度，如切線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離來(lái)表示．所以涉及從圓外一點(diǎn)向圓引兩條切線的相關(guān)線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題，常將雙切線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條切線問(wèn)題，抓住“特征直角三角形”，向點(diǎn)與圓心的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化．[針對(duì)訓(xùn)練]1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y＝kx＋6上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝4的切線，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＋y1y2＝－2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)___________________．層級(jí)三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))一、全面清查易錯(cuò)易誤點(diǎn)1．(忽視直線過(guò)定點(diǎn))直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9的位置關(guān)系是

(

)A．相交

B．相切

C．相離

D．無(wú)法確定解析：圓x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，直線mx－y＋2＝0恒過(guò)點(diǎn)A(0,2)，而02＋22＝4<9，所以點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9相交．故選A.答案：A

2．(忽視切線斜率不存在)過(guò)點(diǎn)P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為

(

)A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝03．(忽視兩圓相切有兩種情況)若半徑為r，圓心為(0,1)的圓和定圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，則r的值等于________．4．(忽視割線斜率不存在)若直線過(guò)點(diǎn)P(4,1)且被圓x2＋y2＝25截得的弦長(zhǎng)是6，則該直線的方程為_(kāi)_______________________．二、融會(huì)貫通應(yīng)用創(chuàng)新題5．(走向生產(chǎn)生活)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20米，圓O的半徑為1米，圓心是正方形的中心，點(diǎn)P，Q分別在線段AD，CB上，若線段PQ與圓O有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中，已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng)，則在點(diǎn)P從A向D移動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)約為_(kāi)_______秒(精確到0.1)．答案：4.46.(結(jié)合新定義問(wèn)題)我們把圓心在一條直線上，且相鄰兩圓彼此外切的一組圓叫做“串圓”．在如圖所示的“串圓”中，圓C1和圓C3的方程分別為x2＋y2＝1和(x－4)2＋(y－2)2＝1，若直線ax＋2by－2＝0(