13.1 軸對(duì)稱（重難點(diǎn)突破）原卷版

13.1軸對(duì)稱（重難點(diǎn)）【知識(shí)點(diǎn)一、軸對(duì)稱及其性質(zhì)】1.軸對(duì)稱圖形的定義：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸.2.軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱（或說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱），這條直線叫做對(duì)稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫對(duì)稱點(diǎn)3.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.4.軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)軸對(duì)稱的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．【知識(shí)點(diǎn)二、垂直平分線的性質(zhì)與判定】1.定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．2.性質(zhì)：性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；性質(zhì)2：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．3.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.考點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形例1．下列電動(dòng)車的品牌圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1-1】我國(guó)是一個(gè)歷史悠久的多民族國(guó)家．針對(duì)各民族的特色元素，某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)了56幅“似圖似字”的圖案．在下面四幅圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練1-2】．下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練1-3】．下列大學(xué)?；?qǐng)D案是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)2：利用軸對(duì)稱求度數(shù)例2．如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線A．A'B' B．B'C' C．BC【變式訓(xùn)練2-1】．如圖，∠A=90°，E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)A和E關(guān)于BD對(duì)稱，點(diǎn)B和C關(guān)于DE對(duì)稱，則∠C的度數(shù)為（）

A．25° B．30° C．35° D．45°【變式訓(xùn)練2-2】．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB，若∠A=50°，則∠B的度數(shù)為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°【變式訓(xùn)練2-3】．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A=50°，∠ABD=26°，則∠ACF的度數(shù)為（）

A．66° B．52° C．46° D．42°考點(diǎn)3：利用軸對(duì)稱求線段長(zhǎng)例3．如圖，在△ABC中，直線MN為BC的垂直平分線，并交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AD=3cm，AC=9cm，則BD的長(zhǎng)為（A．6cm B．7cm C．8cm【變式訓(xùn)練3-1】．如圖，在△ABC中，分別以A，C為圓心，大于12AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，分別交線段BC，AC于點(diǎn)D，E，若AB=3，△ABD的周長(zhǎng)為11，則A．7 B．8 C．9 D．10【變式訓(xùn)練3-2】．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)F，G，且△AEG的周長(zhǎng)是20，則線段BC的長(zhǎng)為（

）A．40 B．20 C．15 D．10【變式訓(xùn)練3-3】．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，用直尺和圓規(guī)作線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，若AD=6，則CD的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．6考點(diǎn)4：折疊問(wèn)題例4．如圖是一張三角形紙片ABC，∠ABC=90°，點(diǎn)M是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)D處，若MD=BC，則∠BCA=（

）A．18° B．54° C．60° D．72°【變式訓(xùn)練4-1】．將一張紙如圖所示折疊后壓平，點(diǎn)F在線段BC上，EF、GF為兩條折痕，若∠EFG＝α，則∠B'FC'的度數(shù)是（）A．α﹣45° B．2α﹣90° C．90°﹣α D．180°﹣2α【變式訓(xùn)練4-2】．如圖，一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，它的四個(gè)內(nèi)角都是直角，將其沿BD折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F，再將△DEF沿DF折疊后，點(diǎn)E落在點(diǎn)G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠DBF的度數(shù)是（

）A．18° B．20° C．36° D．45°【變式訓(xùn)練4-3】．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于F，連接CE，交AD于點(diǎn)G，連接CF交BD于點(diǎn)H．下列結(jié)論①FB=FD；②BD平分∠FBC；③∠DEC=∠FBH；④HC=DH中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④考點(diǎn)5：利用軸對(duì)稱求周長(zhǎng)例5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對(duì)稱．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，則△DBE的周長(zhǎng)為【變式訓(xùn)練5-1】．如圖，在△ABC中，AB=BC=12，D為AB的中點(diǎn)，ED⊥AB，垂足為點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若△AEC的周長(zhǎng)為22，則AC=．【變式訓(xùn)練5-2】．如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)P1,P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，若線段P1【變式訓(xùn)練5-3】．如圖，已知點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P2，P關(guān)于OB對(duì)稱，連接P1P2，分別交OA，OB于C，D【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：最值問(wèn)題例6．如圖，在△ABC中，AC=7，BC=9，AB的垂直平分線DE交AB邊于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，在線段DE上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP、PC，則△APC的周長(zhǎng)最小值為．【變式訓(xùn)練6-1】．如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，且BE=12013，MN垂直平分AB，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，在MN上有一點(diǎn)P，使PB+PD最小，則這個(gè)最小值=【變式訓(xùn)練6-2】．如圖，∠AOB=45°，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，MN=6，△OMN的面積為12，P是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱的點(diǎn)為P2，當(dāng)點(diǎn)P在直線NM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OP【變式訓(xùn)練6-3】．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，點(diǎn)E在AC上，現(xiàn)將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處連接AC'，則AC'長(zhǎng)度的最小值是考點(diǎn)7：利用軸對(duì)稱求面積例7．如圖，△ABC是軸對(duì)稱圖形，且直線AD是△ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是線段AD上的任意兩點(diǎn)，若△ABC的面積為18cm2，則圖中陰影部分的面積是【變式訓(xùn)練7-1】．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作AD，AB的平行線，則圖中陰影部分的面積之和為．

【變式訓(xùn)練7-2】．如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，若AE=6，AB=8，BE=10，則重疊部分的面積是．【變式訓(xùn)練7-3】．如圖，在△ABC中，∠ACB是鈍角，BH是△ABC的高，DE是AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E．若BC恰好平分∠EBH,AE=4,CH=1，則考點(diǎn)8：證明題例8．如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，BD．(1)求證：△ADE≌△CDF；(2)求證：BD垂直平分EF．【變式訓(xùn)練8-1】．如圖，AD為三角形ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)O．

(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度數(shù)；(2)寫出AD