第06講 切線長定理與弦切角定理（原卷版）

第06講切線長定理與弦切角定理課程標準學(xué)習(xí)目標①切線長的定義與切線長定理②三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心③弦切角的定義與弦切角定理掌握切線長的定義與切線長定理，并能夠熟練的運用切線長解決問題。掌握并能夠畫三角形的內(nèi)切圓，掌握三角形的內(nèi)心極其性質(zhì)，并能夠運用其解決相關(guān)問題。掌握弦切角的定義與定理并熟練運用。知識點01切線長定理切線長的定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。即如圖，若PA與PB是圓的切線，切點分別是A與B，則PA與PB的長度是切線長。切線長定理：從圓外一點作圓的切線，可以作條，它們的長度。圓心和這一點的連線兩條切線的夾角。即PAPB，∠APO∠BPO。推廣：有切線長定理的結(jié)論可得：①△APO△BPO∠AOP∠BOPABOP。題型考點：①切線長定理的應(yīng)用。【即學(xué)即練1】1．如圖，⊙O與△ABC的邊AB、AC、BC分別相切于點D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的長為．【即學(xué)即練2】2．如圖，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周長為16．若⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點，則DF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6【即學(xué)即練3】3．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．8 D．10【即學(xué)即練4】4．如圖所示，P是⊙O外一點，PA，PB分別和⊙O切于A，B兩點，C是上任意一點，過C作⊙O的切線分別交PA，PB于D，E．若△PDE的周長為12，則PA的長為（）A．12 B．6 C．8 D．4知識點02三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心內(nèi)切圓的定義：如圖：與三角形各邊都的圓叫三角形的。三角形叫做圓的。內(nèi)心：三角形的的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角的交點。所以圓心到三角形三邊的距離相等。特別說明：任意三角形有且只有一個內(nèi)切圓，圓有無數(shù)個外切三角形。直角三角形內(nèi)切圓半徑與直角三角形的邊的關(guān)系：若a、b是直角三角形的直角邊，c是直角三角形的斜邊。則這個直角三角形的內(nèi)切圓半徑為。三角形的面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系：若三角形的三邊長分別是a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則此三角形的面積可表示為：?？键c題型：內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)的應(yīng)用。【即學(xué)即練1】5．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點O是△ABC的（）A．三條邊的垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三條高的交點【即學(xué)即練2】6．如圖，在△ABC中，∠C＝58°，點O為△ABC的內(nèi)心，則∠AOB的度數(shù)為（）A．119° B．120° C．121° D．122°【即學(xué)即練3】7．如圖，已知等邊△ABC的內(nèi)切圓⊙O半徑為3，則AB的長為（）A．3 B．3 C．6 D．6【即學(xué)即練4】8．已知△ABC的三邊長a＝3，b＝4，c＝5，則它的內(nèi)切圓半徑是．【即學(xué)即練5】9．已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半徑r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半徑r．知識點03弦切角定理弦切角的定義：如圖，像∠ACP這樣頂點在，一邊與圓，一邊與圓的角叫弦切角。即圓的切線與弦構(gòu)成的夾角。弦切角定理：弦切角的度數(shù)與它所夾的弧的圓周角度數(shù)。等于它所夾弧的圓心角度數(shù)的。證明提示：連接圓心與切點，過圓心作弦的切點即可證明。題型考點：①利用弦切角定理計算?！炯磳W(xué)即練1】10．如圖，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切線，過B點作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E點，若AE平分∠BAD，則∠ABD的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．60°【即學(xué)即練2】11．如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【即學(xué)即練3】12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點C，∠PCB＝35°，則∠B等于55度．題型01切線長定理求長度【典例1】如圖，⊙O與△ABC的邊AB、AC、BC分別相切于點D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的長為．【典例2】如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別為P、C、D，若AB＝4，AC＝3，則BD的長是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【典例3】如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長度為（）A．8 B．9 C．10 D．11【典例4】如圖，直線AB、CD、BC分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，則BE+CG的長等于（）A．13 B．12 C．11 D．10題型02切線長與周長【典例1】如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【典例2】如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝8，CD＝15，則四邊形ABCD的周長為．【典例3】以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AB邊于點E，若△CDE的周長為12，則直角梯形ABCE周長為（）A．12 B．13 C．14 D．15題型03三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)【典例1】如圖，已知圓O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠A＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（）?A．140° B．135° C．125° D．110°【典例2】如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，點M為△ABC的內(nèi)心，若∠C＝80°，則∠MAN的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．80°【典例3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，點M是AB上一點（不與點A重合），點P是△ACM的內(nèi)心，則∠MPC的度數(shù)（）A．等于115° B．可以等于80° C．等于120° D．無法確定【典例4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點D、E、F，則圓心O到頂點A的距離是（）A． B．3 C． D．【典例5】如圖，在⊙?O中，＝，BC＝6．AC＝3，I是△ABC的內(nèi)心，則線段OI的值為（）A．1 B．﹣3 C．5﹣ D．【典例6】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，題型04弦切角定理的應(yīng)用【典例1】如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【典例2】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交直徑AB的延長線于點D，若∠ABC＝65°，則∠D的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【典例3】如圖，BD為圓O的直徑，直線ED為圓O的切線，A、C兩點在圓上，AC平分∠BAD且交BD于F點．若∠ADE＝19°，則∠AFB的度數(shù)為何？（）A．97° B．104° C．116° D．142°【典例4】如圖，PA、PB分別是⊙O的切線，A、B是切點，AC是⊙O的直徑．已知∠APB＝70°，則∠ACB的度數(shù)為°．1．如圖，AB、AC、BD分別切⊙O于點P、C、D．若AB＝5，AC＝3，則BD的長是（）A．4 B．3 C．2 D．12．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．8 D．103．如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，若⊙O的半徑為2，AD?DB＝24，則AB的長（）A．11 B．10 C．9 D．85．如圖，△ABC的內(nèi)切圓圓O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，若∠DEF＝53°，則∠A的度數(shù)是（）A．36° B．53° C．74° D．128°6．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，下列選項中，⊙O的半徑為（）A． B． C． D．7．點P是⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，∠P＝70°，點C是⊙O上的點（不與點A、B重合），則∠ACB等于（）A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°8．如圖，等邊△ABC邊長為a，點O是△ABC的內(nèi)心，∠FOG＝120°，繞點O旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點，連接DE，給出下列四個結(jié)論：①△ODE形狀不變；②△ODE的面積最小不會小于四邊形ODBE的面積的四分之一；③四邊形ODBE的面積始終不變；④△BDE周長的最小值為1.5a．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．19．如圖，小明同學(xué)測量一個光盤的直徑，他只有一把直尺和一塊三角板，他將直尺、光盤和三角板如圖放置于桌面上，并量出AB＝3cm，則此光盤的直徑是cm．10．如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6，，則⊙O的半徑為．第10題第11題第12題11．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為．12．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角邊BC在x軸上，其內(nèi)切圓的圓心坐標為I（0，1），拋物線y＝ax2+2ax+1的頂點為A，則a＝．13．如圖，PA、PB、DE切⊙