歐拉法完整分

4.3一階微分方程的求解一階微分方程的求解可歸結(jié)為在給定初始條件下，求微分方程的初值問題

數(shù)值解法的基本思想：在初值問題存在唯一解的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，在若干個(gè)時(shí)間離散點(diǎn)上，用差分方程代替微分方程，然后逐點(diǎn)求解差分方程，得到各時(shí)間離散點(diǎn)、…處的函數(shù)近似值、…

當(dāng)兩相鄰離散點(diǎn)之間的間隔較小時(shí)，用一階差商取代一階導(dǎo)數(shù)

一.前向歐拉法令步長，則其近似值為：

前向歐拉法的幾何意義：在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)的曲線，此直線段的斜率等于該函數(shù)在該步長起點(diǎn)的斜率。

例1.應(yīng)用前向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計(jì)算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)前向歐拉法又有：微分方程是一階線性微分方程，

可求出其通解：則方程的解為：

從而有：

帶入初值可得計(jì)算結(jié)果列表（為前向歐拉法計(jì)算近似值，

為精確值）n

01.000011.10.2718281830.3459198770.074019169421.20.6847555780.866642536031.2769783441.6072150780.33023673641.42.0935476882.6203595510.52681186351.53.1874451223.9676662940.78022117261.64.6208178465.7209615261.10014368071.76.4663963787.9638734781.497477100分析：當(dāng)步長不是很小時(shí)，前向歐拉法的精度不是很高。步長取定后，步數(shù)越多，誤差越大。由于前向歐拉法舍棄一階導(dǎo)數(shù)以后諸項(xiàng)，造成的截?cái)嗾`差是的數(shù)量級，故稱為二階精度。用一階差商近似代替在一個(gè)步長終點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，則原微分方程化為：二、后向歐拉法對于給定初始條件的微分方程

其近似值：

在任一步長內(nèi)，用一段直線代替函數(shù)的曲線，此直線段的斜率等于該函數(shù)在該步長終點(diǎn)的斜率。

后向歐拉法的幾何意義：

例2.應(yīng)用后向歐拉法解初值問題取步長h=0.1，并把計(jì)算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)后向歐拉法又計(jì)算結(jié)果列表（為后向歐拉法計(jì)算近似值，

為精確值）n

01.000011.10.4442827750.345919877-0.09836289821.21.1068555350.866642536-0.24021299931.32.0409606121.607215078-0.43374553441.43.3084097732.620359551-0.68805022251.54.9809113233.967666294-1.01324502961.67.1415858565.720961526-1.42062433071.79.8866975397.963873478-1.922824061三.梯形法及其預(yù)估-校正法用一階差商近似地代替函數(shù)在一個(gè)步長起點(diǎn)和終點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)的平均值

梯形公式（歐拉中點(diǎn)公式）近似值：顯然，梯形公式是隱式法，一般求需要解方程，常采用迭代法，初值由顯式的歐拉公式給出：然后將替代梯形公式等式右邊出現(xiàn)的當(dāng)步長h足夠小，且由前向歐拉法計(jì)算的已是較好的近似，則迭代一、二次即可例3.應(yīng)用梯形預(yù)估-校正法解初值問題取步長h=0.1，并把計(jì)算結(jié)果與精確解比較解：據(jù)前向歐拉法梯形預(yù)估-校正計(jì)算結(jié)果列表（為梯形預(yù)估-校正法計(jì)算

近似值，為精確值）n

01.000011.10.3423777890.3459198770.00354208821.20.8583145370.8666425360.00832799831.31.5927496431.6072150780.01446543541.42.5982982392.6203595510.02206131251.53.9364441143.9676662940.03122218061.65.6789071035.7209615260.04205442371.77.9092092167.9638734780.054664262Matlab程序:y(1)=0;t=1:0.1:2;h=0.1;fork=1:10y0(k+1)=y(k)+h*(0.2/t(k))*y(k)+t(k)^2*exp(t(k)));

%前向歐拉法預(yù)估y(k+1)=y(k)+h/2*(0.2/t(k))*y(k)+t(k)^2*exp(t(k))+0.2/t(k+1))*y0(k+1)+t(k+1)^2*exp(t(k+1)));

%一次校正end四、龍格－庫塔法（R－K法）前向歐拉法為顯式的一步法，使用方便，