關(guān)于梯度、散度與旋度的探討

關(guān)于梯度、散度與旋度的探討中文摘要本論文主要介紹了梯度、散度與旋度的概念以及性質(zhì)，研究了它們的一些應(yīng)用，其中包括共軛梯度法、斯托克斯定理等等。在此基礎(chǔ)之上，我們又進(jìn)而深入探討了它們之間的聯(lián)系，例如梯度場(chǎng)和旋度場(chǎng)的兩個(gè)重要性質(zhì)、亥姆霍茲定理等等，同時(shí)，麥克斯韋方程組對(duì)散度和旋度的應(yīng)用有了進(jìn)一步的詮釋。關(guān)鍵詞：哈密度算子；梯度；散度；旋度；共軛梯度法

DiscussionOnTheGradient,DivergenceAndCurlABSTRACTThispaperdescribesthegradient,divergenceandcurloftheconceptandnatureofsomeoftheirapplications,includingconjugategradientmethod,StokesTheoremandsoon.Onthisbasis,wealsodiscussedindetailthelinksbetweenthem,suchasgradientandcurlfieldofthetwoimportantproperties,theHelmholtzTheorem,andso,whileMaxwell'sequationsfordivergenceandcurlTheapplicationhasbeenfurtherinterpretation.KEYWORD:Hamiltonoperatordegree;Gradient;divergence;rotation;conjugategradientmethod.

TOC\o"1-3"\h\u第一章前言 第一章前言1.1問題的提出梯度是用來作用空間中純量場(chǎng)的一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以用來了解，純量場(chǎng)隨空間的變化。正如所舉，以在地圖上標(biāo)示出某區(qū)域各點(diǎn)高度，則梯度代表該點(diǎn)最陡的向量。例如：若是純量場(chǎng)對(duì)應(yīng)重力位能,則的梯度與該點(diǎn)重力向量的關(guān)系是。而散度與旋度，則是用來作用于向量場(chǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，在處理問題時(shí)我們經(jīng)常希望找出兩種互相獨(dú)立的坐標(biāo)去描述問題，如平面的點(diǎn)可以用,兩互相垂直（垂直就是互相獨(dú)立不相干）去描述平面上任何一種點(diǎn)。而散度與旋度是用來描述所有向量場(chǎng)的兩獨(dú)立“坐標(biāo)”，任何向量場(chǎng)都可以用散度場(chǎng)與旋度場(chǎng)的線性組合表示。恰好電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)僅有散度(而無旋度),而磁場(chǎng)僅有旋度（而無散度），電場(chǎng)可用電力線描述，磁場(chǎng)可用磁力線描述，穩(wěn)定的水流也可以用流線來表示，漩渦形狀的磁力線會(huì)有旋度（磁力線封閉,漩渦的水流線不見得封閉但是都有旋度）。磁場(chǎng)的旋度也就是旋度的值和產(chǎn)生旋度場(chǎng)的源（電流或電場(chǎng)變化成正比）。電場(chǎng)散度也就是散度的值和產(chǎn)生散度場(chǎng)的源（電荷）成正比。對(duì)于水流，若該處是水源，散度值為正,若是下水道，水會(huì)流失之處，散度值為負(fù)，其余則散度值為零。而這一切，都可以用梯度、散度與旋度去加以研究。1.2研究現(xiàn)狀近年來,梯度、散度以及旋度廣泛應(yīng)用于地球物理學(xué)、生命科學(xué)、材料科學(xué)、遙感技術(shù)、模式識(shí)別、信號(hào)處理等領(lǐng)域,有著廣泛而重要的應(yīng)用背景,成為應(yīng)用數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)的一個(gè)熱門學(xué)科。而于物理學(xué)中，梯度、散度、旋度更加發(fā)揮了它的魅力所在，矢量場(chǎng)的唯一性定理說明一個(gè)矢量場(chǎng)在區(qū)域中是唯一確定的，亥姆霍茲定理證明了一個(gè)矢量場(chǎng)的散度和旋度不能單獨(dú)、完備地描述場(chǎng)，拉普拉斯運(yùn)算、格林定理等等都讓它們盡顯鋒芒。本文主要介紹了三者的基本概念、性質(zhì)以及應(yīng)用聯(lián)系,然后簡(jiǎn)單闡述了幾種常見的求解無約束優(yōu)化問題的方法,并且對(duì)共軛梯度法的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了簡(jiǎn)介。1.3研究思路時(shí)間與空間是物理最基本的物理量,我們也常想了解，物理量隨時(shí)間變化因此定義。如：速度＝位移隨時(shí)間變化率，加速度=速度隨時(shí)間變化率,必速度=能量隨時(shí)間變化率等,因?yàn)闀r(shí)間是純量，所以處理起來還算比較簡(jiǎn)易,我們也經(jīng)常想了解物理量隨空間的變化,但是空間有方向性因此其變化比較多些,于是有所謂梯度、散度與旋度等數(shù)學(xué)運(yùn)算.以重力場(chǎng)為例,水平方向能量都一樣,因此重力水平方向沒有差值,因此水平方向沒有作用力。但是垂直方向升高某高度,位能會(huì)增加，因此作用力向下（因?yàn)榱κ秦?fù)的梯度）。位能隨高度增加，梯度是正的，因此作用力就朝下（負(fù)號(hào)的意義）。若是很短的距離內(nèi)位能改變很大表示作用力很大（是否想到較陡的山）；若是相同距離內(nèi)位能變化較小則表示作用力也比較?。ㄝ^平緩的山坡）。因此從能量隨空間的分布，我們可以得知作用力的分布，這就是梯度的用途。散度主要是用于類似電場(chǎng)這類連心線方向的場(chǎng)（開放電力線），而旋度則適用于類似磁場(chǎng)這類（封閉磁力線）的場(chǎng)，例如漩渦的水流中任一點(diǎn)其水流方向與中心點(diǎn)聯(lián)機(jī)并非一致，例如電場(chǎng)的散度和產(chǎn)生徑向場(chǎng)的源（電荷量）成正比。

第二章梯度、散度與旋度的概念與性質(zhì)2.1梯度的概念與性質(zhì)2.1.1梯度的概念1、方向?qū)?shù)設(shè)為標(biāo)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)引一條射線，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，到點(diǎn)的距離為。當(dāng)點(diǎn)沿射線趨近于（即）時(shí)，比值的極限稱為標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即方向?qū)?shù)值既與點(diǎn)有關(guān)，也與方向有關(guān)。因此，標(biāo)量場(chǎng)中，在一個(gè)給定點(diǎn)處沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不同的。方向?qū)?shù)的定義是與坐標(biāo)系無關(guān)的，但方向?qū)?shù)的具體計(jì)算公式與坐標(biāo)系有關(guān)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在直角坐標(biāo)系中設(shè)方向的方向余弦是、、，即，，則得到直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計(jì)算公式為2、梯度的解釋假設(shè)有一個(gè)房間，房間內(nèi)所有點(diǎn)的溫度由一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)給出的，即點(diǎn)的溫度是。假設(shè)溫度不隨時(shí)間改變。然后，在房間的每一點(diǎn)，該點(diǎn)的梯度將顯示變熱最快的方向。梯度的大小將表示在該方向上變熱的速度?？紤]一座高度在點(diǎn)是的山。在一點(diǎn)的梯度是在該點(diǎn)\o"坡度"坡度最陡的方向。梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。梯度也可以告訴我們一個(gè)數(shù)量在不是最快變化方向的其他方向的變化速度。再次考慮山坡的例子?？梢杂袟l直接上山的路其坡度是最大的，則其坡度是梯度的大小。也可以有一條和上坡方向成一個(gè)角度的路，例如投影在水平面上是60°角。則，若最陡的坡度是40%，這條路的坡度小一點(diǎn)，是20%，也就是40%乘以60°的余弦。3、梯度的定義梯度：標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向沿場(chǎng)量變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作，即式中是場(chǎng)量變化率最大的方向上的單位矢量。2.1.2梯度的性質(zhì)1、梯度的計(jì)算式梯度的定義與坐標(biāo)系無關(guān)，但梯度的具體表達(dá)式與坐標(biāo)系有關(guān)。在直角坐標(biāo)系中，若令、結(jié)合方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，可得到由于是與方向無關(guān)的矢量，由上式可知，當(dāng)方向與矢量的方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，且等于矢量的模。根據(jù)梯度的定義，可得到直角坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密頓算子“”，在直角坐標(biāo)系中算子具有矢量和微分的雙重性質(zhì)，故又稱為矢性微分算符。因此，標(biāo)量場(chǎng)的梯度可用哈密度算子表示為這表明，標(biāo)量場(chǎng)的梯度可認(rèn)為是算符作用于標(biāo)量函數(shù)的一種運(yùn)算。在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算式分別是2、梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，所以有與求導(dǎo)十分類似的運(yùn)算公式，如：（1）（為常數(shù)）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2.2散度的概念及性質(zhì)2.2.1散度的概念在分析和描繪矢量場(chǎng)的性質(zhì)時(shí)，矢量場(chǎng)穿過一個(gè)曲面的通量是一個(gè)重要的基本概念，矢量場(chǎng)穿過閉合曲面的通量是一個(gè)積分量，不能反映場(chǎng)域內(nèi)每一點(diǎn)的通量特性，而散度則表示在某點(diǎn)處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的通量。1、散度的定義散度：設(shè)某量場(chǎng)由給出，其中、、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，Σ是場(chǎng)內(nèi)的一片\o"有向曲面"有向曲面，是Σ在點(diǎn)處的單位\o"法向量"法向量，則叫做\o"向量場(chǎng)"向量場(chǎng)通過曲面Σ向著指定側(cè)的通量(或流量)，而叫做向量場(chǎng)的散度，記作或，即。2、散度的計(jì)算式散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為引入哈密頓算子，可將表示為類似地，可推出圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度計(jì)算式，分別為2.2.2散度的性質(zhì)1、散度運(yùn)算的基本公式以下的公式都可以從常見的求導(dǎo)法則推出。最重要的是，散度是一個(gè)\o"線性算子"線性算子，也就是說：其中和是向量場(chǎng)，和是實(shí)數(shù)。設(shè)是標(biāo)量函數(shù)，是向量場(chǎng)，則它們的乘積的散度為：或在直角坐標(biāo)系中，式中，，稱為拉普拉斯（）算子。設(shè)有兩個(gè)向量場(chǎng)和，則它們的向量積的散度為：或其中是旋度。2、散度定理矢量分析中的一個(gè)重要定理是上式稱為散度定理（或高斯定理）?，F(xiàn)在來證明這個(gè)定理。取一閉合面包圍的體積分成許多體積元：、、…，計(jì)算每個(gè)體積元的小閉合面（）上穿出的的通量，然后疊加。由于相鄰倆體積元有一個(gè)公共表面，這個(gè)公共表面上的通量對(duì)這倆個(gè)體積元來說其恰好等值異號(hào)，求和時(shí)就互相抵消了。除了鄰近面的那些體積元外，所有體積元都是由幾個(gè)與相鄰體積元間的公共表面包圍而成的，這些體積元的通量的總和為0。而鄰近面的那些體積元，它們有部分表面是面上的面元，這部分表面的通量沒有被抵消，其總和恰好等于從閉合面穿出的通量，因此有從而，（）故得到這就證明了散度定理。散度定理表明，矢量場(chǎng)的散度在體積上的體積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的閉合面上的面積分，是矢量的散度的體積與該矢量的閉合曲面積分之間的一個(gè)變化關(guān)系，是矢量分析中的一個(gè)重要的恒等式，在電磁理論中非常有用。2.3旋度的概念及性質(zhì)2.3.1由于矢量場(chǎng)在某點(diǎn)的環(huán)流面密度與面元的法線方向有關(guān)，因此，在矢量場(chǎng)中，一個(gè)給定的點(diǎn)沿不同方向，其環(huán)流面密度的值一般是不同的。在某一個(gè)確定的方向上，環(huán)流面密度可能取得最大值，為了描述這個(gè)問題，我們引入了旋度的概念。1、旋度的定義設(shè)有向量場(chǎng)在坐標(biāo)上的投影分別為,,的向量叫做向量場(chǎng)的旋度，記作，或，即,旋度的表達(dá)式可以用行列式記號(hào)形式表示：2、旋度的計(jì)算式旋度的定義與坐標(biāo)系無關(guān)，但旋度的具體表達(dá)式與坐標(biāo)系有關(guān)。在直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式為或?qū)懗稍趫A柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式為或?qū)懗稍谇蜃鴺?biāo)系中，的表達(dá)式為或?qū)懗?.3.2旋度的性質(zhì)旋度運(yùn)算的基本公式：若為，矢量，為標(biāo)量，則

第三章梯度、散度與旋度的應(yīng)用與聯(lián)系3.1梯度、散度與旋度的應(yīng)用3.1.1梯度的應(yīng)用1、流形上的梯度一個(gè)\o"黎曼流形"黎曼流形上的對(duì)于任意可微函數(shù)，的梯度是一個(gè)\o"向量場(chǎng)"向量場(chǎng)使得對(duì)于每個(gè)向量，其中代表M上的\o"內(nèi)積"內(nèi)積（度量），而是在p點(diǎn)取任意點(diǎn)映射到在的\o"方向?qū)?shù)"方向?qū)?shù)的函數(shù)。換句話說，在某些\o"坐標(biāo)圖"坐標(biāo)圖中,將成為：函數(shù)的梯度和\o"外微分"外微分相關(guān)，因?yàn)椤?、共軛梯度法及其基本性質(zhì)［預(yù)置步］任意，計(jì)算，并令?。?指定算法終止常數(shù)，置，進(jìn)入主步；［主步］（1）如果，終止算法，輸出；否則下行；（2）計(jì)算：,;（3）計(jì)算：;（4）置，轉(zhuǎn)入（1）．定理1由共軛梯度法得到的向量組和具有如下性質(zhì)：（1）;（2）;（3）;（4），其中（3.1通常稱之為子空間．［證明］用歸納法．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?,因此定理的結(jié)論成立．現(xiàn)在假設(shè)定理的結(jié)論對(duì)成立，我們來證明其對(duì)也成立．利用等式及歸納假設(shè)，有,又由于，故定理的結(jié)論（1）對(duì)成立．利用歸納假定有,而由（1）所證知，與上述子空間正交，從而有定理的結(jié)論（2）對(duì)也成立。利用等式和并利用歸納法假定和（2）所證之結(jié)論，就有成立；而由的定義得這樣，定理的結(jié)論（3）對(duì)也成立。由歸納法假定知進(jìn)而于是再注意到（2）和（3）所證的結(jié)論表明，向量組和都是線性無關(guān)的，因此定理的結(jié)論（4）對(duì)同樣成立。定理證畢定理1表明，向量和分別是子空間的正交基和共軛正交基。由此可見，共軛梯度法最多步便可得到方程組的解。因此，理論上來講，共軛梯度法是直接法。定理2用共軛梯度法計(jì)算得到的近似解滿足（3.1或（3.1其中，是方程組的解，是由（3.1.1）所定義的子空間。證明：注意到，則（3.1.2）和(3.1.3)是等價(jià)的，因此我們下面只證明(3.1.3)假定共軛梯度法計(jì)算到步出現(xiàn)，那么有此外，對(duì)計(jì)算過程中的任一步，有設(shè)是屬于的任一向量，則由定理1的（4）知，可以表示為于是而再利用定理1的（3）就可以推出于是定理得證。定理證畢由定理1，我們?nèi)菀椎贸?.由此可得,(3.1.4另外，從理論上講，該迭代法經(jīng)次迭代，便能得到精確解。但考慮到計(jì)算誤差，可以作為無限迭代算法進(jìn)行計(jì)算，直到為止。從而，我們得到如下實(shí)用的共軛梯度算法：［預(yù)置步］任意，計(jì)算，并令?。?，指定算法終止常數(shù)，置，進(jìn)入主步；［主步］（1）計(jì)算：,,；（2）如果，轉(zhuǎn)入（3）。否則，終止算法，輸出計(jì)算結(jié)果；（3）計(jì)算：,；（4）置，轉(zhuǎn)入（1）。注：在算法［主步］中，引入變量，及，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。結(jié)合程序設(shè)計(jì)的特點(diǎn)，共軛梯度法可改為如下實(shí)用形式：算法1（解對(duì)稱正定方程組：實(shí)用共軛梯度法）；whileandifelseEnd;;;;end共軛梯度法作為一種實(shí)用的迭代法，它主要有下面的優(yōu)點(diǎn)：算法中，系數(shù)矩陣A的作用僅僅是用來由已知向量產(chǎn)生向量，這不僅可充分利用A的稀疏性，而且對(duì)某些提供矩陣A較為困難而由已知向量產(chǎn)生向量又十分方便的應(yīng)用問題是很有益的；每次迭代所需的計(jì)算，主要是向量之間的運(yùn)算，便于并行化。例：求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度及在矢量方向的方向?qū)?shù)。解：又在方向的單位矢量為于是有3.1.2散度的應(yīng)用奧氏公式的矢量形式：由此可以看出通量與散度之間的一種關(guān)系：穿出封閉曲面的通量，等于所圍的區(qū)域上的散度在上的三重積分。由上可以推論：若在矢量場(chǎng)內(nèi)某些點(diǎn)（或區(qū)域）上有或不存在，而在其他的點(diǎn)上都有，則穿出包圍這些點(diǎn)（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，即為一常數(shù)。證明：（1）在矢量場(chǎng)中任作兩張包圍在內(nèi)但互不相交的封閉曲面與，分別以，為其外向法矢量。則在與所包圍的區(qū)域上，處處有。因此，由奧氏公式有則有其中為矢量在的邊界曲面（即由與所組成的封閉曲面）的外向法矢的方向上的投影。注意到在上與相同，而在上則與的指向相反，因此，由上式有移項(xiàng)即得（2）若所作的封閉曲面與相交，則在矢量場(chǎng)中再作一張同時(shí)包含與在其內(nèi)的封閉曲面，以表其外向法矢量，則分別與，都不相交，按（1）中證明的結(jié)果有，，所以亦有3.1.3旋度的應(yīng)用由旋度的定義式，可以導(dǎo)出一個(gè)很重要的公式—斯托克斯（）定理。取是以閉曲線為邊界的有限開曲面，將表面積劃分成個(gè)面積元（），其單位法向矢量為，且閉曲線包圍的面元為，則當(dāng)時(shí)，對(duì)第個(gè)閉曲線，有對(duì)開曲面上的所有的閉曲線（），將上式求和，得因開曲面上任意倆個(gè)相鄰面元矢量和的公共邊界上的線積分正好抵消，這樣，上式右端相加后只有原來最外面的邊界線上的積分得以保留。因此，當(dāng)，即時(shí)，有這就是斯托克斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它可以將矢量旋度的面積分轉(zhuǎn)換為該矢量的線積分或反之。除斯托克斯定理以外，還有一個(gè)關(guān)于矢量旋度的體積分和矢量閉曲積分之間的關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為此式稱為旋度定理。例：設(shè)矢量場(chǎng)，證明。證：由得于是有3.2梯度、散度與旋度的聯(lián)系標(biāo)量場(chǎng)在空間的變化規(guī)律由其梯度來描述，而矢量場(chǎng)在空間的變化規(guī)律則通過場(chǎng)得散度和旋度來描述。矢量場(chǎng)散度和旋度反映了產(chǎn)生矢量場(chǎng)的兩種不同性質(zhì)的源，相應(yīng)地，不同性質(zhì)的源產(chǎn)生的矢量場(chǎng)也具有不同的性質(zhì)。故此，我們引入它們之間的兩個(gè)重要性質(zhì)及聯(lián)系應(yīng)用。3.2.1兩個(gè)重要性質(zhì)性質(zhì)1梯度場(chǎng)的旋度恒為零，即證明：將在任意開曲面上進(jìn)行面積分，由斯托克斯定理可知又由于，于是這表明在任意開曲面上的面積分等于零，因此被積函數(shù)必然為零，即性質(zhì)1必成立。性質(zhì)2旋度場(chǎng)的散度恒為零，即證明：將在任意的閉曲面包圍的體積上進(jìn)行體積分，由散度定理可知將此閉曲面分割成倆個(gè)開曲面和，它們以公共邊界相連，與和相對(duì)應(yīng)的邊界分別用和表示。然后，將斯托克斯定理應(yīng)用于以為邊界的表面以及以為邊界的表面，于是，上式右端的閉曲面積分變?yōu)槭街校?，分別為和的外法向單位矢量，它們同和的圍線的環(huán)繞方向之間滿足右手螺旋關(guān)系，由于和的圍線是閉曲面上的公共圍線，因此，上式中的第二個(gè)等號(hào)右端的倆個(gè)閉曲線積分是沿相反方向在同一圍線上的積分，倆者相互抵消，從而可知第一個(gè)式左端的體積分等于零。又因?yàn)樵擉w積分對(duì)任何體積均成立，所以被積函數(shù)必須等于零，即性質(zhì)2成立。3.2.2亥姆霍茲定理亥姆霍茲（）定理可敘述為：若矢量場(chǎng)在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)、有界，而源分布在有限區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定?？煞纸鉃闊o旋場(chǎng)（有散度）和無散場(chǎng)（有旋度）之和，即并且可表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和，即例：設(shè)和分別表示自由空間中點(diǎn)和點(diǎn)的矢徑，，表示倆點(diǎn)間的距離。證明：（1）、；（2）、。其中和分別表示對(duì)坐標(biāo)和的哈密頓算子。證：（1）因，故于是，。（2）因，，故從而得證。3.2.3麥克斯韋方程組麥克斯韋把電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律概括為四個(gè)方程式，通常稱之為麥克斯韋方程組。通過任意閉合面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。即2、電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合曲線的線積分等于以該曲線為邊界的任意曲面的磁通量對(duì)時(shí)間變化率的負(fù)值。即這里的電場(chǎng)包括自由電荷產(chǎn)生的庫倫電場(chǎng)和由變化磁場(chǎng)所產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)。3、通過任意閉合曲面的磁通量等于零。即這也是從穩(wěn)恒磁場(chǎng)到對(duì)隨時(shí)間變化的非穩(wěn)恒磁場(chǎng)情況的假設(shè)性推廣。4、磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合曲面的線積分等于穿過以該曲線為邊界的曲面的全電流。即前面我們已對(duì)此作了詳細(xì)論述。歸納起來，麥克斯韋方程組的積分形式為從上面的論述中我們看到，麥克斯韋理論不但提出了渦旋電場(chǎng)、位移電流這樣的概念，還包括了從特殊情況（靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒電場(chǎng)）向一般非穩(wěn)恒情況的假設(shè)性推廣