現(xiàn)代控制理論的論文

1-第一章經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論本學(xué)期學(xué)習(xí)了現(xiàn)代控制理論課程的主要內(nèi)容，現(xiàn)代控制理論建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的一種控制理論，是自動(dòng)控制理論的一個(gè)主要組成部分。在現(xiàn)代控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)主要是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的描述來(lái)進(jìn)行的，基本的方法是時(shí)間域方法。現(xiàn)代控制理論比經(jīng)典控制理論所能處理的控制問(wèn)題要廣泛得多，包括線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，單變量系統(tǒng)和多變量系統(tǒng)。它所采用的方法和算法也更適合于在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。現(xiàn)代控制理論還為設(shè)計(jì)和構(gòu)造具有指定的性能指標(biāo)的最優(yōu)控制系統(tǒng)提供了可能性?，F(xiàn)代控制理論的名稱是在1960年以后開(kāi)始出現(xiàn)的，用以區(qū)別當(dāng)時(shí)已經(jīng)相當(dāng)成熟并在后來(lái)被稱為經(jīng)典控制理論的那些方法。現(xiàn)代控制理論已在航空航天技術(shù)、軍事技術(shù)、通信系統(tǒng)、生產(chǎn)過(guò)程等方面得到廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)代控制理論的某些概念和方法，還被應(yīng)用于人口控制、交通管理、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等的研究中。以下是經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的比較：1、經(jīng)典控制理論：理論基礎(chǔ)：Evens的根軌跡，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。研究對(duì)象：線性定常SISO系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。分析問(wèn)題：穩(wěn)、準(zhǔn)、快采用方法：是以頻率域中傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的外部描述方法。數(shù)學(xué)描述：高階微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性;方塊圖、信號(hào)流圖、頻率特性曲線。研究方法：時(shí)域法、根軌跡法、頻率法?，F(xiàn)代控制理論：(1)理論基礎(chǔ)：李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，Bellman動(dòng)態(tài)規(guī)劃，Понтрягин極值原理，Kalman濾波。(2)研究對(duì)象：MIMO系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)（復(fù)雜系統(tǒng)：多變量、時(shí)變、非線性）(3)分析問(wèn)題：穩(wěn)、準(zhǔn)、快(4)設(shè)計(jì)（綜合）問(wèn)題：1)采用方法：是以時(shí)域中（狀態(tài)變量）描述系統(tǒng)內(nèi)部特征的狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)的內(nèi)部描述方法。2)數(shù)學(xué)描述：狀態(tài)方程及輸出方程、傳遞函數(shù)陣、頻率特性；狀態(tài)圖、信號(hào)流圖、頻率特性曲線。3)研究方法：狀態(tài)空間法（時(shí)域法）、頻率法。多采用計(jì)算機(jī)軟硬件教學(xué)輔助設(shè)計(jì)——MATLAB軟件(5)特點(diǎn)：1）系統(tǒng)：MIMO、非線性、時(shí)變。2）方法將矩陣?yán)碚摵头椒☉?yīng)用到控制理論中，不僅能描述系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系，而且在任何初始條件下，都能揭示系統(tǒng)內(nèi)部的行為。3）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)可能有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出，并且以某種方式相互關(guān)聯(lián)或耦合。為了分析這樣的系統(tǒng)，必須簡(jiǎn)化其數(shù)學(xué)表達(dá)式，轉(zhuǎn)而借助于計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行各種大量而乏味的分析與計(jì)算。從這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)看，狀態(tài)空間法對(duì)于系統(tǒng)分析是最適宜的。第二章現(xiàn)代控制理論的主要方法一、變分法1.1、變分法的基本概念、泛函的概念設(shè)為一函數(shù)集合，若對(duì)于每一個(gè)函數(shù)有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱是定義在上的泛函，記作。稱為的容許函數(shù)集。例如，在上光滑曲線y(x)的長(zhǎng)度可定義為（2）考慮幾個(gè)具體曲線，取，若，則若y(x)為懸鏈線，則對(duì)應(yīng)中不同的函數(shù)y(x)，有不同曲線長(zhǎng)度值J，即J依賴于y(x)，是定義在函數(shù)集合上的一個(gè)泛函，此時(shí)我們可以寫(xiě)成我們稱如下形式的泛函為最簡(jiǎn)泛函（3）被積函數(shù)包含自變量，未知函數(shù)(t)及導(dǎo)數(shù)(t)。上述曲線長(zhǎng)度泛函即為一最簡(jiǎn)泛函。、泛函極值問(wèn)題考慮上述曲線長(zhǎng)度泛函，我們可以提出下面問(wèn)題：在所有連接定點(diǎn)的平面曲線中，試求長(zhǎng)度最小的曲線。即，求，使取最小值。此即為泛函極值問(wèn)題的一個(gè)例子。以極小值為例，一般的泛函極值問(wèn)題可表述為，稱泛函在取得極小值，如果對(duì)于任意一個(gè)與接近的，都有。所謂接近，可以用距離來(lái)度量，而距離可以定義為泛函的極大值可以類(lèi)似地定義。其中稱為泛函的極值函數(shù)或極值曲線。泛函的變分如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛函的自變量，函數(shù)在的增量記為也稱函數(shù)的變分。由它引起的泛函的增量記作如果可以表為其中為的線性項(xiàng)，而是的高階項(xiàng)，則稱為泛函在的變分，記作。用變動(dòng)的代替，就有。泛函變分的一個(gè)重要形式是它可以表為對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（4）這是因?yàn)楫?dāng)變分存在時(shí)，增量根據(jù)和的性質(zhì)有所以泛函極值的相關(guān)結(jié)論泛函極值的變分表示利用變分的表達(dá)式（4），可以得到有關(guān)泛函極值的重要結(jié)論。泛函極值的變分表示：若在達(dá)到極值（極大或極?。?，則（5）證明：對(duì)任意給定的，是變量的函數(shù)，該函數(shù)在處達(dá)到極值。根據(jù)函數(shù)極值的必要條件知再由（4）式，便可得到（5）式。變分法的基本引理：，，，有，則。證明略。泛函極值的必要條件考慮最簡(jiǎn)泛函（3），其中F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，容許函數(shù)類(lèi)S取為滿足端點(diǎn)條件為固定端點(diǎn)（6）的二階可微函數(shù)。，（6）泛函極值的必要條件：設(shè)泛函（3）在x(t)∈S取得極值，則x(t)滿足歐拉方程（7）歐拉方程推導(dǎo)：首先計(jì)算（3）式的變分：對(duì)上式右端第二項(xiàng)做分布積分，并利用，有，所以利用泛函極值的變分表示，得因?yàn)榈娜我庑?，及，由基本引理，即得?）。（7）式也可寫(xiě)成（8）通常這是關(guān)于x(t)的二階微分方程，通解中的任意常數(shù)由端點(diǎn)條件（6）確定。3幾個(gè)經(jīng)典的例子1.3.1最速降線問(wèn)題最速降線問(wèn)題設(shè)和是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點(diǎn)，在所有連結(jié)和的平面曲線中，求一曲線，使質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用，初速度為零時(shí)，沿此曲線從滑行至的時(shí)間最短。解將A點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，B點(diǎn)取為B(x1,y1)，如圖1。根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點(diǎn)在曲線上任一點(diǎn)處的速度滿足（為弧長(zhǎng)） A(0,0)x將代入上式得B(x1,y1)y圖1最速降線問(wèn)題于是質(zhì)點(diǎn)滑行時(shí)間應(yīng)表為的泛函端點(diǎn)條件為 最速降線滿足歐拉方程，因?yàn)椴缓宰兞?，所以方程?）可寫(xiě)作等價(jià)于作一次積分得令則方程化為又因積分之，得由邊界條件，可知，故得這是擺線（園滾線）的參數(shù)方程，其中常數(shù)可利用另一邊界條件來(lái)確定。1.3.2最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題對(duì)于平面上過(guò)定點(diǎn)和的每一條光滑曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體。旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線的泛函，易得容許函數(shù)集可表示為解因不包含，故有首次積分化簡(jiǎn)得令，代入上式，由于積分之，得消去，就得到。這是懸鏈線方程，適當(dāng)選擇條件（令該懸鏈線過(guò)（0，1/a）點(diǎn)，且該點(diǎn)處的切線是水平的）就可得到（1）。本例說(shuō)明，對(duì)于平面上過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的所有光滑曲線，其中繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積最小的是懸鏈線！最大（?。┲翟恚?1、泛函極值問(wèn)題２.1.1、泛函極值的幾個(gè)簡(jiǎn)單推廣（ⅰ）含多個(gè)函數(shù)的泛函使泛函取極值且滿足固定邊界條件的極值曲線必滿足歐拉方程組（=2\*romanii）含高階導(dǎo)數(shù)的泛函使泛函取極值且滿足固定邊界條件,的極值曲線必滿足微分方程（=3\*romaniii）含多元函數(shù)的泛函設(shè)，使泛函取極值且在區(qū)域的邊界線上取已知值的極值函數(shù)必滿足方程上式稱為奧式方程。2.1.2、端點(diǎn)變動(dòng)的情況（橫截條件）設(shè)容許曲線在固定，在另一端點(diǎn)時(shí)不固定，是沿著給定的曲線上變動(dòng)。于是端點(diǎn)條件表示為這里是變動(dòng)的，不妨用參數(shù)形式表示為尋找端點(diǎn)變動(dòng)情況的泛函極值必要條件，可仿照前面端點(diǎn)固定情況進(jìn)行推導(dǎo)，即有（9）再對(duì)（9）式做如下分析：（=1\*romani）對(duì)每一個(gè)固定的，都滿足歐拉方程，即（9）式右端的第一項(xiàng)積分為零；（=2\*romanii）為考察（9）式的第二、第三項(xiàng)，建立與之間的關(guān)系，因?yàn)閷?duì)求導(dǎo)并令得即（10）把（10）代入（9）并利用的任意性，得（11）式就是確定歐拉方程通解中另一常數(shù)的定解條件，稱為橫截條件。橫截條件有兩種常見(jiàn)的特殊情況：（=1\*romani）當(dāng)是垂直橫軸的直線時(shí)，固定，自由，并稱為自由端點(diǎn)。此時(shí)（9）式中及的任意性，便得自由端點(diǎn)的橫截條件（12）（=2\*romanii）當(dāng)是平行橫軸的直線時(shí)，自由，固定，并稱為平動(dòng)端點(diǎn)。此時(shí)，（11）式的橫截條件變?yōu)?（13）注意，橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構(gòu)成泛函極值的必要條件。2.2、有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問(wèn)題，其典型形式是對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)*（14）尋求最優(yōu)性能指標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)）*（15）其中是控制策略，是軌線，固定，及自由，，（不受限，充滿空間），連續(xù)可微。下面推導(dǎo)取得目標(biāo)函數(shù)極值的最優(yōu)控制策略和最優(yōu)軌線的必要條件。采用拉格朗日乘子法，化條件極值為無(wú)條件極值，即考慮（16）的無(wú)條件極值，首先定義（14）式和（15）式的哈密頓（Hamilton）函數(shù)為（19）（17）將其代入（16）式，得到泛函（20）(18)下面先對(duì)其求變分注意到，，因而再令，由的任意性，便得（=1\*romani）必滿足正則方程：=1\*GB3①狀態(tài)方程=2\*GB3②協(xié)態(tài)方程。（=2\*romanii）哈密頓函數(shù)作為的函數(shù)，也必滿足并由此方程求得。（=3\*romaniii）求時(shí)，必利用邊界條件=1\*GB3①，（用于確定）=2\*GB3②，（用于確定）=3\*GB3③，（確定）如果受控系統(tǒng)，其控制策略的全體構(gòu)成有界集，求，使性能指標(biāo)達(dá)到最大（?。┲?。2.3、最大（?。┲翟砣绻投际沁B續(xù)可微的，那么最優(yōu)控制策略和相應(yīng)的最優(yōu)軌線由下列的必要條件決定：（=1\*romani）最優(yōu)軌線，協(xié)態(tài)向量由下列的必要條件決定：，，（=2\*romanii）哈密頓函數(shù)作為的函數(shù)，最優(yōu)策略必須使或使(最小值原理)（=3\*romaniii）滿足相應(yīng)的邊界條件=1\*GB3①若兩端點(diǎn)固定，則正則方程的邊界條件為，。=2\*GB3②若始端固定，終端也固定，而自由，則正則方程的邊界條件為，。=3\*GB3③若始端固定，終端都自由，則正則方程的邊界條件為，，。三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是系統(tǒng)分析中一種常用的方法。在水資源規(guī)劃中,往往涉及到地表水庫(kù)調(diào)度、水資源量的合理分配、優(yōu)化調(diào)度等問(wèn)題,而這些問(wèn)題又可概化為多階段決策過(guò)程問(wèn)題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是解決此類(lèi)問(wèn)題的有效方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法是20世紀(jì)50年代由貝爾曼（R.Bellman）等人提出,用來(lái)解決多階段決策過(guò)程問(wèn)題的一種最優(yōu)化方法。所謂多階段決策過(guò)程,就是把研究問(wèn)題分成若干個(gè)相互聯(lián)系的階段,由每個(gè)階段都作出決策,從而使整個(gè)過(guò)程達(dá)到最優(yōu)化。許多實(shí)際問(wèn)題利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法處理,常比線性規(guī)劃法更為有效,特別是對(duì)于那些離散型問(wèn)題。實(shí)際上,動(dòng)態(tài)規(guī)劃法就是分多階段進(jìn)行決策,其基本思路是：按時(shí)空特點(diǎn)將復(fù)雜問(wèn)題劃分為相互聯(lián)系的若干個(gè)階段,在選定系統(tǒng)行進(jìn)方向之后,逆著這個(gè)行進(jìn)方向,從終點(diǎn)向始點(diǎn)計(jì)算,逐次對(duì)每個(gè)階段尋找某種決策,使整個(gè)過(guò)程達(dá)到最優(yōu),故又稱為逆序決策過(guò)程。動(dòng)態(tài)規(guī)劃是為了解決一類(lèi)多階段決策問(wèn)題而誕生的。多階段決策過(guò)程，是指這樣的一類(lèi)特殊的活動(dòng)過(guò)程，問(wèn)題可以按時(shí)間順序分解成若干相互聯(lián)系的階段，在每一個(gè)階段都要做出決策，全部過(guò)程的決策是一個(gè)決策序列。要使整個(gè)活動(dòng)的總體效果達(dá)到最優(yōu)的問(wèn)題，稱為多階段決策問(wèn)題

從上述的定義中，我們可以明顯地看出，這類(lèi)問(wèn)題有兩個(gè)要素。一個(gè)是階段，一個(gè)是決策。階段：將所給問(wèn)題的過(guò)程，按時(shí)間或空間特征分解成若干相互聯(lián)系的階段，以便按次序去求每階段的解。

狀態(tài)：各階段開(kāi)始時(shí)的客觀條件叫做狀態(tài)。描述各階段狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量

應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一個(gè)重要條件。那就是將各階段按照一定的次序排列好之后，對(duì)于某個(gè)給定的階段狀態(tài)，它以前各階段的狀態(tài)無(wú)法直接影響它未來(lái)的發(fā)展，而只能通過(guò)當(dāng)前的這個(gè)狀態(tài)。換句話說(shuō)，每個(gè)狀態(tài)都是“過(guò)去歷史的一個(gè)完整總結(jié)[1]”。這就是無(wú)后效性。

決策：當(dāng)各段的狀態(tài)取定以后，就可以做出不同的決定，從而確定下一階段的狀態(tài)，這種決定稱為決策。

有了決策，我們可以定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移：動(dòng)態(tài)規(guī)劃中本階段的狀態(tài)往往是上一階段和上一階段的決策結(jié)果，由第k段的狀態(tài)sk和本階段的決策uk確定第k+1段的狀態(tài)sk+1的過(guò)程叫狀態(tài)轉(zhuǎn)移。狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃有很多典型的例子，下面剖析一下最簡(jiǎn)單的例子就可以理解動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本應(yīng)用方法了

例：數(shù)字三角形PKU

給出以下的數(shù)字三角形：

7

38

810

2744

45265

求出從頂端向下走，每一步只能向左下或右下走,讓經(jīng)過(guò)的路程所得到的數(shù)字和最大，輸出總和。

本例來(lái)說(shuō)走的路程為：7->3->8->7->5

輸出就是30

在這個(gè)問(wèn)題中，我們按走過(guò)的行數(shù)來(lái)劃分階段，以走到每一行時(shí)所在的位置來(lái)作為狀態(tài)，決策就是向左下走或向右下走。

我們輸入的時(shí)候可以將整個(gè)三角形存到一個(gè)2維數(shù)組中去：

012345

0

17

238

3810

42744

545265

為方便起見(jiàn)我們忽略0的下標(biāo),從1開(kāi)始儲(chǔ)存

對(duì)于規(guī)模很小的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō),例如本題只有5行,當(dāng)然可以通過(guò)枚舉所有的情況來(lái)解決

這樣我們搜索的順序就是7-3-8-2-4

7-3-8-2-5

7-3-8-7-2

7-3-1-4-6

7-3-8-7-5

但是，如果數(shù)據(jù)量增大到1000*1000,我們要搜多少遍?很難想象啊

在用枚舉的時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)單純的對(duì)于7-3-8來(lái)說(shuō),這一階段當(dāng)然應(yīng)該選擇7-8的狀態(tài),但是枚舉的時(shí)候重復(fù)搜索了很多次,那么能不能將這個(gè)值記錄下來(lái)以便以后不用搜索了呢？這就用到了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想：

如我們建立一個(gè)數(shù)組DP[6][6];

從7開(kāi)始：我們將每走一行劃分為一個(gè)階段

在第一階段當(dāng)然就是7，于是DP[1][1]=7

第二階段,我們有2個(gè)選擇3或者8，于是DP[2][1]=7+3=10,DP[2][2]=7+8=15;

第三階段,我們面臨了一種比較大小的選擇：DP[3][1]沒(méi)有選擇只能加上DP[2][1]=8+10=18；DP[3][2]就有選擇了DP[3][2]可以加上DP[2][1]或者DP[2][2]，于是我們選擇大的即DP[2][2]所以DP[3][2]=1+15=16

這就引出了我們的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

DP[i][j]=DP[i-1][j]+num[i][j];(j==1的情況下)

DP[i-1][j-1]+num[i][j];(j==n的情況下)

(DP[i-1][j-1]>DP[i-1][j]?DP[i-1][j-1]:DP[i-1][j])+num[i][j]；

一直到最后我們DP數(shù)組的最后一行保存的就是從7一直走到最后的不同路徑能得到的最大值，從中再找到最大的值就是整個(gè)題目的解了。

四、線性二次型最優(yōu)控制對(duì)于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和(或)控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題，簡(jiǎn)稱為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題或線性二次問(wèn)題。線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)解可以寫(xiě)成統(tǒng)一的解析表達(dá)式和實(shí)現(xiàn)求解過(guò)程的規(guī)范化，并可簡(jiǎn)單地采用狀態(tài)線性反饋控制律構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)，能夠兼顧多項(xiàng)性能指標(biāo)，因此得到特別的重視，為現(xiàn)代控制理論中發(fā)展較為成熟的一部分。

第三章單級(jí)倒立擺LQR控制1、問(wèn)題與建模在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示。FFθXM其中：M小車(chē)質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車(chē)摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I擺桿慣量F加在小車(chē)上的力x小車(chē)位置φ擺桿與垂直向上方向的夾角θ擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）采用牛頓動(dòng)力學(xué)方法可建立單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的微分方程如下：倒立擺的平衡是使倒立擺的擺桿垂直于水平方向倒立，所以假設(shè)，為足夠小的角度，即可近似處理得：，，。用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)方程如下：取狀態(tài)變量：即擺桿的角度和角速度以及小車(chē)的位移和速度四個(gè)狀態(tài)變量。則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 將上式寫(xiě)成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 這里設(shè)： 將參數(shù)帶入，有：2、LQR控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型?？紤]線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 找一狀態(tài)反饋控制律：，使得二次型性能指標(biāo)最小化： 其中，為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；、為起始時(shí)間與終止時(shí)間；為終態(tài)約束矩陣；為運(yùn)動(dòng)約束矩陣；為約束控制矩陣。其中、決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性。為使最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為： 式中，矩陣為微分Riccatti方程：的解。如果令終止時(shí)間，為一個(gè)常數(shù)矩陣，且，因此以上的Riccatti方程簡(jiǎn)化為。對(duì)于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣，使用Matlab中專(zhuān)門(mén)的求解工具lqr()來(lái)求取。將LQR控制方法用于倒立擺控制的原理如下圖所示。 用Matlab求解lqr(A,B,Q,R)可以求出最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣的值。lqr函數(shù)需要選擇兩個(gè)參數(shù)和，這兩個(gè)參數(shù)是用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。其中，代表擺桿角度的權(quán)重，而是小車(chē)位置的權(quán)重。這里選擇：通過(guò)matlab求得：K=[-82.4246-10.7034-10.0000-11.8512]。3、仿真通過(guò)matlab仿真，LQR控制倒立擺擺角和小車(chē)位移仿真結(jié)果如下圖所示。 倒立擺擺角：小車(chē)位移：第四章現(xiàn)代控制技術(shù)前沿簡(jiǎn)介目前，自動(dòng)控制技術(shù)已廣泛地應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸和國(guó)防建設(shè)。經(jīng)典控制理論至今仍被成功地應(yīng)用于單變量定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中?，F(xiàn)代控制技術(shù)應(yīng)用現(xiàn)代控制理論與計(jì)算機(jī)的最新技術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì),它適用于系統(tǒng)的綜合與解析設(shè)計(jì),更適于多輸入多輸出、多回路的復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì),也易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),因此受到工程界越來(lái)越多的重視并得到廣泛的應(yīng)用。近年來(lái),控制理論在非線性系統(tǒng)控制、最優(yōu)控制理論智能化控制等幾個(gè)主要方向上取得了重要進(jìn)展。1、最優(yōu)控制理論

最優(yōu)控制理論是研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門(mén)學(xué)科。它是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分。這方面的開(kāi)創(chuàng)性工作主要是由貝爾曼(R.E.Bellman)提出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃[1]和龐特里雅金(П.с·Понтрягин)等人提出的極小值原理[2]。動(dòng)態(tài)規(guī)劃、最大值原理和變分法是最優(yōu)控制理論的基本內(nèi)容和常用方法。最優(yōu)化技術(shù)是研究和解決如何將最優(yōu)化問(wèn)題表示為數(shù)學(xué)模型以及如何根據(jù)數(shù)學(xué)模型盡快求出其最優(yōu)解這兩大問(wèn)題。最優(yōu)化問(wèn)題,就是尋找一個(gè)最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律,使系統(tǒng)能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

最優(yōu)化方式有離線靜態(tài)優(yōu)化方式和在線動(dòng)態(tài)優(yōu)化方式,而最優(yōu)化問(wèn)題的求解方法大致可分為四類(lèi)：(1)解析法；(2)數(shù)值解法(直接法)；(3)解析與數(shù)值相結(jié)合的尋優(yōu)方法；(4)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法。

環(huán)境的變動(dòng)、觸媒和設(shè)備的老化以及原料成分的變動(dòng)等因素形成了對(duì)工業(yè)過(guò)程的擾動(dòng),因此原來(lái)設(shè)計(jì)的工況條件就不是最優(yōu)的。解決此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)方法一般歸結(jié)為在線優(yōu)化方法包括：(1)局部參數(shù)最優(yōu)化和整體最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；(2)預(yù)測(cè)控制中的滾動(dòng)優(yōu)化算法；(3)穩(wěn)態(tài)遞階控制；(4)系統(tǒng)優(yōu)化和參數(shù)估計(jì)的集成研究方法。隨著工程實(shí)際的越來(lái)越復(fù)雜化，許多實(shí)際工程問(wèn)題是很難或不可能得到其精確的數(shù)學(xué)模型的。這就限制了上述經(jīng)典優(yōu)化方法的實(shí)際應(yīng)用。隨著模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展。近年來(lái),智能式的優(yōu)化方法得到了重視和發(fā)展。非線性系統(tǒng)控制

非線性控制是復(fù)雜控制理論中一個(gè)重要的基本問(wèn)題,也是一個(gè)難點(diǎn)課題,它的發(fā)展幾乎與線性系統(tǒng)平行由于非線性系統(tǒng)的研究缺乏系統(tǒng)的、一般性的理論及方法,于是綜合方法得到較大的發(fā)展,主要有:(1)李雅普諾夫方法:它是迄今為止最完善、最一般的非線性方法,但是由于它的一般性,在用來(lái)分析穩(wěn)定性或用來(lái)鎮(zhèn)定綜合時(shí)都欠缺構(gòu)造性。(2)變結(jié)構(gòu)控制:由于其滑動(dòng)模態(tài)具有對(duì)干擾與攝動(dòng)的不變性,到80年代受到重視,是一種實(shí)用的非線性控制的綜合方法。(3)微分幾何法:在過(guò)去的的20年中,微分幾何法一直是非線性控制系統(tǒng)研究的主流,它對(duì)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析、分解以及與結(jié)構(gòu)有關(guān)的控制設(shè)計(jì)帶來(lái)極大方便。用微分幾何法研究非線性系統(tǒng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然產(chǎn)物,正如意大利教授Isidori指出:“用微分幾何法研究非線性系統(tǒng)所取得的成績(jī),就象50年代用拉氏變換及復(fù)變函數(shù)理論對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)的研究,或用線性代數(shù)對(duì)多變量系統(tǒng)的研究。”但這種方法也有它的缺點(diǎn),體現(xiàn)在它的復(fù)雜性、無(wú)層次性、準(zhǔn)線性控制以及空間測(cè)度被破壞等。因此最近又有學(xué)者提出引入新的、更深刻的數(shù)學(xué)工具去開(kāi)拓新的方向,例如:微分動(dòng)力學(xué)、微分拓?fù)渑c代數(shù)拓?fù)?。智能控制技術(shù)及應(yīng)用

智能控制系統(tǒng)可認(rèn)為是一種能在各種復(fù)雜的不確定環(huán)境中,以一個(gè)或多個(gè)常規(guī)控制系統(tǒng)為“執(zhí)行機(jī)構(gòu)”,以這種復(fù)雜過(guò)程為“控制對(duì)象”,面向目標(biāo)任務(wù)的閉環(huán)自動(dòng)控制系統(tǒng)。它具有多層次系統(tǒng)結(jié)構(gòu),復(fù)合型的信息結(jié)構(gòu),能利用知識(shí)進(jìn)行推理、學(xué)習(xí)與聯(lián)想。一個(gè)好的智能控制系統(tǒng)應(yīng)能滿足多目標(biāo)與高性能指標(biāo)的要求,對(duì)環(huán)境干擾與不確定因素具有魯棒性,對(duì)故障具有屏蔽和自恢復(fù)能力,系統(tǒng)有相當(dāng)?shù)脑诰€實(shí)時(shí)響應(yīng)能力,能適應(yīng)對(duì)象特性,運(yùn)行條件等變化,并具有友好的人-機(jī)界面,便于操作與維護(hù)。

智能控制IC(IntelligentControl)是人工智能、控制論和運(yùn)籌學(xué)的交叉。人工智能主要包括專(zhuān)家系統(tǒng)、模糊理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；控制論主要指古典控制和現(xiàn)代控制；運(yùn)