專題13 利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動態(tài)問題(原卷版)（重點突圍）

專題13利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動態(tài)問題考點一利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點中求時間問題（利用分類討論思想）考點二利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點中求線段長問題（利用分類討論思想）考點三利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點中求線段及線段和最值問題考點四相似三角形中的動點問題與幾何及函數(shù)綜合問題考點一利用相似三角形中的動點求時間問題（利用分類討論思想）例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，中，，，，動點P從點A出發(fā)在線段上以每秒的速度向O運動，動直線從開始以每秒的速度向上平行移動，分別與交于點E，F(xiàn)，連接，設(shè)動點P與動直線同時出發(fā)，運動時間為t秒．當(dāng)t為__________時，與相似．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過______秒時與相似．2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在中，，過點B作射線．動點D從點A出發(fā)沿射線方向以每秒3個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線方向以每秒2個單位的速度運動．過點E作交射線于F，G是中點，連接．設(shè)點D運動的時間為t，當(dāng)與相似且點D位于點E左側(cè)時，t的值為_____________．3．（2021·福建·古田縣玉田中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝5，動點P從點A出發(fā)，沿AD方向以每秒1個單位的速度運動，連接BP，作點A關(guān)于直線BP的對稱點E，設(shè)點P的運動時間為t（s），在動點P在射線AD上運動的過程中，則使點E到直線BC的距離等于3時對應(yīng)的t的值為_____．4．（2022·山東省濟(jì)南燕山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發(fā)，沿方向向點勻速運動，同時動點從B點出發(fā)，沿BA方向向點A勻速運動，P、Q兩點的運動速度都是每秒1個單位，當(dāng)一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設(shè)運動時間為．問：當(dāng)為何值時，以點A、P、Q為項點三角形與相似．5．（2022·陜西·無九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿著邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿著邊BC向點C以2cm/s的速度移動．若P、Q兩點同時開始運動，當(dāng)點P運動到點B時停止，點Q也隨之停止．設(shè)運動時間為．(1)當(dāng)移動幾秒時，的面積為？(2)當(dāng)移動幾秒時，以B、P、Q為頂點的三角形與相似？6．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為？7．（2021·江蘇·陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向運動，連接AE，以AE為邊向上作正方形AEFG．設(shè)點E的運動時間為t秒（t＞0）．(1)如圖1，EF與CD交于點M，當(dāng)DM=2CM時，求此時t的值；(2)當(dāng)點F恰好落在矩形任意兩個頂點的所在直線上時，求出所有符合條件的t的值．8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）閱讀與思考如圖是兩位同學(xué)對一道習(xí)題的交流，請認(rèn)真閱讀下列對話并完成相應(yīng)的任務(wù)．解決問題：(1)寫出正確的比例式及后續(xù)解答．(2)指出另一個錯誤，并給出正確解答．拓展延伸：(3)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．考點二利用相似三角形中的動點求線段長問題（利用分類討論思想）例題：（2022·河南·鄭州市樹人外國語中學(xué)九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D、E為AC、BC上兩個動點，若將∠C沿DE折疊，使點C的對應(yīng)點C′落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時CD的長為（

）A． B． C．或 D．或【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·濟(jì)南外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）在中，，點P在上，且，點Q是邊上一個動點，當(dāng)______時，與相似．2．（2021·河北·唐山市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動點，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時，AE＝__________．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校九年級開學(xué)考試）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AM⊥MN．當(dāng)CN=2時，CM=______．4．（2022·河南·泌陽縣光亞學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，邊長為2的正方形中，點為邊中點，點為射線上一動點，過點作，當(dāng)與相似時，的長度為___________．5．（2021·河南·漯河市第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O（0，0），A（0，2），B（1，0），點P是反比例函數(shù)y＝圖象上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q．若以點O，P，Q為頂點的三角形與△OAB相似，則相應(yīng)的點P共有_____個．6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個動點，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時，DP=__________．考點三利用相似三角形性質(zhì)與判定解決動點中求線段及線段和最值問題例題：（2021·湖南永州·一模）如圖已知中，，，，P是線段BC上的動點，則的最小值是______．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．2．（2021·江蘇宿遷·三模）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，連接BE，則線段BE的最小值為__________________．3．（2022·陜西·西安濱河學(xué)校三模）如圖半徑為，為直徑，弦，點是半圓弧上的動點（不與A、重合），過點作的垂線交的延長線于點，則面積的最大值為______．4．（2022·遼寧·沈陽市第七中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是x軸上的一動點，以點為直角頂點構(gòu)造直角三角形（點A，B，C按順時針排列），使，已知點D的坐標(biāo)是，連接DB，則的最小值為___________．5．（2022·福建·九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接PB，過點P作PE⊥PB，交射線DC于點E，已知AD＝3，AC＝5．設(shè)AP的長為x．(1)AB＝_______；當(dāng)x＝1時，＝______；(2)試探究：是否是定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)連接BE，設(shè)△PBE的面積為S，求S的最小值．考點四相似三角形中的動點問題與幾何及函數(shù)綜合問題例題：（2022·上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)附屬松江實驗學(xué)?；▓@分校九年級階段練習(xí)）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個動點，PD⊥AB，交邊AC于點D（點D與點A、C都不重合），E是射線DC上一點，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點的距離為x，△BEP的面積為y．(1)求證：AE＝2PE；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)△BEP與△ABC相似時，求△BEP的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川·內(nèi)江市市中區(qū)全安鎮(zhèn)初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊cm，cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/s，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/s．動點E到達(dá)點C時運動終止．連結(jié)DE、CD、AE，設(shè)運動時間為（s）．(1)當(dāng)為何值時，△BDE與△ABC相似?(2)設(shè)△ADE的面積為S，求S與的函數(shù)解析式；(3)在運動過程中是否存在某一時刻，使?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．2．（2022·上海市羅南中學(xué)九年級階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點，作PE⊥AP，PE交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設(shè)BP=x,CE=y(1)如圖，當(dāng)點P在邊BC上時（P點與點B、C不重合），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(2)當(dāng)x=3時，求CF的長；(3)當(dāng)時，求BP的長3．（2021·福建·漳州市第七中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖1，在矩形ABCD中，點E是